Номер 561, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 561, страница 97.

Условие.

561. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $(2x - 6)^2$

2) $(5y + 5)^2$

3) $(36x + 30y)^2$

4) $(2x + 4)^4$

5) $(6x - 9y)^3$

6) $(a^2 + ab)^2$

7) $(-7a - 14ab)^2$

8) $(3c^4 - 6c^3)^4$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы вынести общий множитель из выражения $(2x - 6)^2$, сначала найдем общий множитель для слагаемых в скобках. В выражении $2x - 6$ общим множителем является 2. Вынесем его за скобки внутри основного выражения: $2x - 6 = 2(x - 3)$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(2x - 6)^2 = (2(x - 3))^2$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:

$(2(x - 3))^2 = 2^2 \cdot (x - 3)^2 = 4(x - 3)^2$

Ответ: $4(x - 3)^2$

2) В выражении $(5y + 5)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $5y + 5$. Общий множитель здесь 5. Выносим его: $5y + 5 = 5(y + 1)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(5y + 5)^2 = (5(y + 1))^2$

Применяем свойство степени произведения:

$(5(y + 1))^2 = 5^2 \cdot (y + 1)^2 = 25(y + 1)^2$

Ответ: $25(y + 1)^2$

3) В выражении $(36x + 30y)^2$ рассмотрим слагаемые в скобках $36x + 30y$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 36 и 30. НОД(36, 30) = 6. Вынесем 6 за скобки:

$36x + 30y = 6(6x + 5y)$

Подставляем в исходное выражение:

$(36x + 30y)^2 = (6(6x + 5y))^2$

Используем свойство степени произведения:

$(6(6x + 5y))^2 = 6^2 \cdot (6x + 5y)^2 = 36(6x + 5y)^2$

Ответ: $36(6x + 5y)^2$

4) В выражении $(2x + 4)^4$ общий множитель для слагаемых в скобках $2x + 4$ равен 2. Вынесем его: $2x + 4 = 2(x + 2)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(2x + 4)^4 = (2(x + 2))^4$

Применяем свойство степени произведения:

$(2(x + 2))^4 = 2^4 \cdot (x + 2)^4 = 16(x + 2)^4$

Ответ: $16(x + 2)^4$

5) В выражении $(6x - 9y)^3$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $6x - 9y$. НОД(6, 9) = 3. Выносим 3 за скобки: $6x - 9y = 3(2x - 3y)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(6x - 9y)^3 = (3(2x - 3y))^3$

Используем свойство степени произведения:

$(3(2x - 3y))^3 = 3^3 \cdot (2x - 3y)^3 = 27(2x - 3y)^3$

Ответ: $27(2x - 3y)^3$

6) В выражении $(a^2 + ab)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $a^2 + ab$. Общим множителем является переменная $a$. Выносим ее: $a^2 + ab = a(a + b)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(a^2 + ab)^2 = (a(a + b))^2$

Применяем свойство степени произведения:

$(a(a + b))^2 = a^2 \cdot (a + b)^2$

Ответ: $a^2(a + b)^2$

7) В выражении $(-7a - 14ab)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $-7a - 14ab$. Общий числовой множитель -7, а общий буквенный множитель $a$. Таким образом, общий множитель равен $-7a$. Выносим его: $-7a - 14ab = -7a(1 + 2b)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(-7a - 14ab)^2 = (-7a(1 + 2b))^2$

Используем свойство степени произведения:

$(-7a(1 + 2b))^2 = (-7a)^2 \cdot (1 + 2b)^2 = 49a^2(1 + 2b)^2$

Ответ: $49a^2(1 + 2b)^2$

8) В выражении $(3c^4 - 6c^3)^4$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $3c^4 - 6c^3$. Общий числовой множитель - это НОД(3, 6) = 3. Общий буквенный множитель для $c^4$ и $c^3$ - это $c^3$ (младшая степень). Таким образом, общий множитель равен $3c^3$. Выносим его: $3c^4 - 6c^3 = 3c^3(c - 2)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(3c^4 - 6c^3)^4 = (3c^3(c - 2))^4$

Используем свойство степени произведения, а также свойство степени степени $(a^m)^n=a^{mn}$:

$(3c^3(c - 2))^4 = (3c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 3^4 \cdot (c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 81c^{12}(c - 2)^4$

Ответ: $81c^{12}(c - 2)^4$