Номер 566, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 566, страница 98.

Условие.

566. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$;

2) $a^2 - b^2 = 2ab + 1$, то $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать:

$a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3$

Для упрощения этого выражения вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для всех трех слагаемых является $a^2b^3c^2$.

$a^2b^3c^2(a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$a^2b^3c^2 \cdot (0) = 0$

Таким образом, левая часть равенства равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что если $a^2 - b^2 = 2ab + 1$, то $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать:

$a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6$

Вынесем за скобки общий множитель $a^4b^4$:

$a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2)$

Теперь воспользуемся условием $a^2 - b^2 = 2ab + 1$. Преобразуем его, перенеся $2ab$ из правой части в левую:

$a^2 - b^2 - 2ab = 1$

Перегруппируем слагаемые в левой части, чтобы получить выражение, стоящее в скобках в нашем преобразованном равенстве:

$a^2 - 2ab - b^2 = 1$

Теперь мы можем подставить значение этого выражения (которое равно 1) в преобразованную левую часть исходного равенства:

$a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2) = a^4b^4 \cdot 1 = a^4b^4$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части ($a^4b^4$). Тождество доказано.

Ответ: Доказано.