Номер 573, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 573, страница 98.

Условие.

573. Вынесите за скобки общий множитель ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+1} + a^n;$

2) $b^n - b^{n-3}, n > 3;$

3) $c^{n+2} + c^{n-4}, n > 4;$

4) $d^{2n} - d^n;$

5) $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1};$

6) $9^{n+1} + 3^{n+2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В выражении $a^{n+1} + a^n$ общим множителем является степень с наименьшим показателем. Сравним показатели $n+1$ и $n$. Так как $n$ - натуральное число, $n+1 > n$. Следовательно, наименьший показатель равен $n$. Выносим за скобки $a^n$. Для этого представим каждое слагаемое в виде произведения, содержащего $a^n$:
$a^{n+1} = a^n \cdot a^1 = a^n \cdot a$
$a^n = a^n \cdot 1$
Получаем: $a^{n+1} + a^n = a^n \cdot a + a^n \cdot 1 = a^n(a+1)$.
Ответ: $a^n(a+1)$.

2) В выражении $b^n - b^{n-3}$ (где $n > 3$) сравним показатели $n$ и $n-3$. Так как $n > n-3$, наименьший показатель равен $n-3$. Выносим за скобки общий множитель $b^{n-3}$. Представим $b^n$ через $b^{n-3}$:
$b^n = b^{(n-3)+3} = b^{n-3} \cdot b^3$
Тогда выражение примет вид: $b^{n-3} \cdot b^3 - b^{n-3} \cdot 1$.
Выносим $b^{n-3}$ за скобки: $b^{n-3}(b^3 - 1)$.
Ответ: $b^{n-3}(b^3 - 1)$.

3) В выражении $c^{n+2} + c^{n-4}$ (где $n > 4$) сравним показатели $n+2$ и $n-4$. Так как $n+2 > n-4$, наименьший показатель равен $n-4$. Выносим за скобки $c^{n-4}$. Представим $c^{n+2}$ через $c^{n-4}$:
$c^{n+2} = c^{(n-4)+6} = c^{n-4} \cdot c^6$
Тогда выражение примет вид: $c^{n-4} \cdot c^6 + c^{n-4} \cdot 1$.
Выносим $c^{n-4}$ за скобки: $c^{n-4}(c^6 + 1)$.
Ответ: $c^{n-4}(c^6 + 1)$.

4) В выражении $d^{2n} - d^n$ сравним показатели $2n$ и $n$. Так как $n$ - натуральное число, $2n > n$. Наименьший показатель равен $n$. Выносим за скобки $d^n$. Представим $d^{2n}$ через $d^n$:
$d^{2n} = d^{n+n} = d^n \cdot d^n$
Тогда выражение примет вид: $d^n \cdot d^n - d^n \cdot 1$.
Выносим $d^n$ за скобки: $d^n(d^n - 1)$.
Ответ: $d^n(d^n - 1)$.

5) В выражении $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1}$ общим множителем является степень двойки с наименьшим показателем. Сравним показатели $n+3$, $n+2$ и $n+1$. Наименьший из них $n+1$. Выносим за скобки $2^{n+1}$. Для этого представим каждое слагаемое в виде произведения, содержащего $2^{n+1}$:
$2^{n+3} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n+1}$
$3 \cdot 2^{n+2} = 3 \cdot 2^{(n+1)+1} = 3 \cdot 2^{n+1} \cdot 2^1 = 6 \cdot 2^{n+1}$
$5 \cdot 2^{n+1}$
Подставим в исходное выражение: $4 \cdot 2^{n+1} + 6 \cdot 2^{n+1} - 5 \cdot 2^{n+1}$.
Вынесем $2^{n+1}$ за скобки и вычислим значение в скобках: $2^{n+1}(4+6-5) = 2^{n+1}(5) = 5 \cdot 2^{n+1}$.
Ответ: $5 \cdot 2^{n+1}$.

6) В выражении $9^{n+1} + 3^{n+2}$ приведем степени к одному основанию. Так как $9 = 3^2$, то:
$9^{n+1} = (3^2)^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}$
Выражение принимает вид: $3^{2n+2} + 3^{n+2}$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель. Сравним показатели $2n+2$ и $n+2$. Так как $n$ - натуральное число, $2n+2 > n+2$. Наименьший показатель равен $n+2$. Выносим за скобки $3^{n+2}$.
Представим $3^{2n+2}$ через $3^{n+2}$: $3^{2n+2} = 3^{(n+2)+n} = 3^{n+2} \cdot 3^n$.
Получаем: $3^{n+2} \cdot 3^n + 3^{n+2} \cdot 1$.
Выносим $3^{n+2}$ за скобки: $3^{n+2}(3^n+1)$.
Ответ: $3^{n+2}(3^n+1)$.