Номер 578, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 578, страница 99.

Условие.

578. При каком значении $a$ имеет бесконечно много корней уравнение:

1) $(x - 4)(x + a) - (x + 2)(x - a) = -6;$

2) $x(3x - 2) - (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Линейное уравнение вида $kx = b$ имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($k = 0$) и свободный член также равен нулю ($b = 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством при любом значении $x$.
Приведем каждое из данных уравнений к виду $kx = b$ и найдем значение $a$, при котором оба условия выполняются.

1) $(x - 4)(x + a) - (x + 2)(x - a) = -6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$(x^2 + ax - 4x - 4a) - (x^2 - ax + 2x - 2a) = -6$
Теперь уберем скобки, поменяв знаки во второй группе слагаемых:
$x^2 + ax - 4x - 4a - x^2 + ax - 2x + 2a = -6$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (ax + ax) + (-4x - 2x) + (-4a + 2a) = -6$
$2ax - 6x - 2a = -6$

Вынесем $x$ за скобки и перенесем свободные члены в правую часть, чтобы получить вид $kx = b$:
$(2a - 6)x = 2a - 6$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $k = 2a - 6$, а свободный член справа равен $b = 2a - 6$.
Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы $k = 0$ и $b = 0$.
$2a - 6 = 0$
$2a = 6$
$a = 3$
При $a = 3$ оба выражения, $k$ и $b$, обращаются в ноль. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.

Ответ: $a = 3$.

2) $x(3x - 2) - (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(3x^2 - 2x) - (3x^2 + 2x + 6ax + 4a) = 5a + 6$
$3x^2 - 2x - 3x^2 - 2x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x^2) + (-2x - 2x - 6ax) - 4a = 5a + 6$
$-4x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Приведем уравнение к виду $kx = b$. Для этого сгруппируем члены с $x$ слева, а остальные перенесем вправо:
$(-4 - 6a)x = 5a + 6 + 4a$
$(-4 - 6a)x = 9a + 6$

Здесь коэффициент при $x$ равен $k = -4 - 6a$, а свободный член $b = 9a + 6$.
Чтобы уравнение имело бесконечное множество корней, необходимо выполнение системы уравнений:
$\begin{cases} -4 - 6a = 0 \\ 9a + 6 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $a$:
$-6a = 4$
$a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению. Подставим $a = -\frac{2}{3}$ во второе уравнение:
$9 \cdot (-\frac{2}{3}) + 6 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$
Поскольку $0 = 0$, второе уравнение также выполняется. Значит, при $a = -\frac{2}{3}$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$.

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$.