Номер 579, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 579, страница 99.

Условие.

579. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10a + b$.

По условию задачи, число должно быть равно произведению своих цифр, каждая из которых увеличена на 1. Составим уравнение на основе этого условия:

$10a + b = (a + 1)(b + 1)$

Цифра десятков $a$ может принимать значения от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а цифра единиц $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$10a + b = ab + a + b + 1$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $b$:

$10a = ab + a + 1$

Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть уравнения:

$10a - a - ab = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$9a - ab = 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(9 - b) = 1$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, то $a$ и $(9 - b)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.
2. Оба множителя равны -1.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Оба множителя равны 1.

$\begin{cases} a = 1 \\ 9 - b = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения системы сразу получаем $a = 1$. Это значение удовлетворяет условию для цифры десятков.

Из второго уравнения находим $b$: $b = 9 - 1 = 8$. Это значение также удовлетворяет условию для цифры единиц.

Таким образом, мы нашли число 18.

Проверим: произведение его цифр, увеличенных на 1, равно $(1+1) \times (8+1) = 2 \times 9 = 18$. Число 18 равно полученному произведению, следовательно, это верное решение.

2. Оба множителя равны -1.

$\begin{cases} a = -1 \\ 9 - b = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $a = -1$. Это значение не является цифрой и не удовлетворяет ограничению $a \in \{1, 2, ..., 9\}$. Следовательно, этот случай не дает решений.

Единственное возможное решение — это число 18.

Ответ: 18