Номер 580, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 580, страница 99.

Условие.

580. Упростите выражение:

1) $0.42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2;$

2) $1.2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6;$

3) $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot \left(\frac{3}{7}np^4\right)^2;$

4) $\left(1\frac{1}{2}x^2y^3\right)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы упростить выражение $0,42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сгруппируем множители: $(0,42 \cdot 1\frac{3}{7}) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (c^3 \cdot c^2)$.
Преобразуем коэффициенты в удобный для вычисления вид. Десятичную дробь $0,42$ представим как обыкновенную $\frac{42}{100} = \frac{21}{50}$. Смешанное число $1\frac{3}{7}$ представим как неправильную дробь $\frac{10}{7}$.
Перемножим коэффициенты: $0,42 \cdot 1\frac{3}{7} = \frac{21}{50} \cdot \frac{10}{7} = \frac{21 \cdot 10}{50 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 10}{5 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{3}{5} = 0,6$.
Теперь перемножим переменные, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$
$c^3 \cdot c^2 = c^{3+2} = c^5$
Объединим полученные результаты: $0,6a^5c^5$.
Ответ: $0,6a^5c^5$.

2) Упростим выражение $1,2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6$.
Сгруппируем множители: $(1,2 \cdot 2\frac{1}{6}) \cdot (x \cdot x^5) \cdot (y \cdot y^6) \cdot z$.
Преобразуем коэффициенты: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ и $2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$.
Перемножим их: $\frac{6}{5} \cdot \frac{13}{6} = \frac{13}{5} = 2,6$.
Перемножим переменные:
$x \cdot x^5 = x^{1+5} = x^6$
$y \cdot y^6 = y^{1+6} = y^7$
Переменная $z$ остается без изменений.
Собираем все вместе: $2,6x^6y^7z$.
Ответ: $2,6x^6y^7z$.

3) Упростим выражение $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot (\frac{3}{7}np^4)^2$.
Сначала возведем второй множитель в квадрат, используя правило $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(\frac{3}{7}np^4)^2 = (\frac{3}{7})^2 \cdot n^2 \cdot (p^4)^2 = \frac{9}{49}n^2p^8$.
Теперь выражение имеет вид: $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot \frac{9}{49}n^2p^8$.
Преобразуем коэффициент $-2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $-\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$.
Перемножим коэффициенты: $-\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{49} = -\frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 49} = -\frac{7 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 7 \cdot 7} = -\frac{3}{7}$.
Перемножим переменные:
$m^2$ остается без изменений.
$n \cdot n^2 = n^{1+2} = n^3$
$p^3 \cdot p^8 = p^{3+8} = p^{11}$
Объединим результаты: $-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$.
Ответ: $-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$.

4) Упростим выражение $(1\frac{1}{2}x^2y^3)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2$.
Сначала возведем первый множитель в пятую степень. Преобразуем $1\frac{1}{2}$ в $\frac{3}{2}$.
$( \frac{3}{2}x^2y^3)^5 = (\frac{3}{2})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 = \frac{3^5}{2^5}x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5} = \frac{243}{32}x^{10}y^{15}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{243}{32}x^{10}y^{15} \cdot \frac{16}{27}x^8y^2$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{243}{32} \cdot \frac{16}{27} = \frac{243 \cdot 16}{32 \cdot 27}$. Сокращаем 243 и 27 на 27, получаем 9. Сокращаем 16 и 32 на 16, получаем $\frac{1}{2}$. В итоге имеем $9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
Перемножим переменные:
$x^{10} \cdot x^8 = x^{10+8} = x^{18}$
$y^{15} \cdot y^2 = y^{15+2} = y^{17}$
Собираем все вместе: $4,5x^{18}y^{17}$.
Ответ: $4,5x^{18}y^{17}$.