Номер 577, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 577, страница 99.

Условие.

577. При каком значении $a$ не имеет корней уравнение:

1) $(x+1)(x-3)-x(x-3) = ax;$

2) $x(5x-1)-(x-a)(5x-1) = 4x-2a;$

3) $(2x-5)(x+a)-(2x+3)(x+1) = 4?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное уравнение: $(x + 1)(x - 3) - x(x - 3) = ax$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки в левой части уравнения:
$(x - 3)((x + 1) - x) = ax$
Упростим выражение в скобках:
$(x - 3) \cdot 1 = ax$
$x - 3 = ax$
Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены в другую, чтобы привести уравнение к виду $Bx = C$:
$x - ax = 3$
$x(1 - a) = 3$
Линейное уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю. В нашем случае это соответствует условиям: $1 - a = 0$ и $3 \neq 0$.
Условие $3 \neq 0$ выполняется. Решим уравнение $1 - a = 0$:
$a = 1$
При $a = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что неверно при любом значении $x$.
Ответ: $a = 1$.

2) Исходное уравнение: $x(5x - 1) - (x - a)(5x - 1) = 4x - 2a$.
Вынесем общий множитель $(5x - 1)$ за скобки в левой части:
$(5x - 1)(x - (x - a)) = 4x - 2a$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(5x - 1)(x - x + a) = 4x - 2a$
$(5x - 1)a = 4x - 2a$
Раскроем скобки в левой части:
$5ax - a = 4x - 2a$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а остальные — в правой:
$5ax - 4x = -2a + a$
$x(5a - 4) = -a$
Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($5a - 4 = 0$), а правая часть не равна нулю ($-a \neq 0$).
Найдем $a$ из первого условия:
$5a - 4 = 0$
$5a = 4$
$a = \frac{4}{5}$
Проверим второе условие для найденного значения $a$:
$-a = -\frac{4}{5} \neq 0$
Оба условия выполняются.
Ответ: $a = \frac{4}{5}$.

3) Исходное уравнение: $(2x - 5)(x + a) - (2x + 3)(x + 1) = 4$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(2x^2 + 2ax - 5x - 5a) - (2x^2 + 2x + 3x + 3) = 4$
$2x^2 + 2ax - 5x - 5a - (2x^2 + 5x + 3) = 4$
$2x^2 + 2ax - 5x - 5a - 2x^2 - 5x - 3 = 4$
Приведем подобные члены. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(2a - 5 - 5)x - 5a - 3 = 4$
$(2a - 10)x - 5a - 3 = 4$
Перенесем постоянные члены в правую часть:
$(2a - 10)x = 4 + 3 + 5a$
$(2a - 10)x = 7 + 5a$
Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($2a - 10 = 0$), а правая часть не равна нулю ($7 + 5a \neq 0$).
Найдем $a$ из первого условия:
$2a - 10 = 0$
$2a = 10$
$a = 5$
Проверим второе условие при $a = 5$:
$7 + 5a = 7 + 5(5) = 7 + 25 = 32 \neq 0$
Оба условия выполняются.
Ответ: $a = 5$.