Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

577. При каком значении $a$ не имеет корней уравнение:

1) $(x+1)(x-3)-x(x-3) = ax;$

2) $x(5x-1)-(x-a)(5x-1) = 4x-2a;$

3) $(2x-5)(x+a)-(2x+3)(x+1) = 4?$

1) Исходное уравнение: $(x + 1)(x - 3) - x(x - 3) = ax$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки в левой части уравнения:
$(x - 3)((x + 1) - x) = ax$
Упростим выражение в скобках:
$(x - 3) \cdot 1 = ax$
$x - 3 = ax$
Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены в другую, чтобы привести уравнение к виду $Bx = C$:
$x - ax = 3$
$x(1 - a) = 3$
Линейное уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю. В нашем случае это соответствует условиям: $1 - a = 0$ и $3 \neq 0$.
Условие $3 \neq 0$ выполняется. Решим уравнение $1 - a = 0$:
$a = 1$
При $a = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что неверно при любом значении $x$.
Ответ: $a = 1$.

2) Исходное уравнение: $x(5x - 1) - (x - a)(5x - 1) = 4x - 2a$.
Вынесем общий множитель $(5x - 1)$ за скобки в левой части:
$(5x - 1)(x - (x - a)) = 4x - 2a$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(5x - 1)(x - x + a) = 4x - 2a$
$(5x - 1)a = 4x - 2a$
Раскроем скобки в левой части:
$5ax - a = 4x - 2a$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а остальные — в правой:
$5ax - 4x = -2a + a$
$x(5a - 4) = -a$
Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($5a - 4 = 0$), а правая часть не равна нулю ($-a \neq 0$).
Найдем $a$ из первого условия:
$5a - 4 = 0$
$5a = 4$
$a = \frac{4}{5}$
Проверим второе условие для найденного значения $a$:
$-a = -\frac{4}{5} \neq 0$
Оба условия выполняются.
Ответ: $a = \frac{4}{5}$.

3) Исходное уравнение: $(2x - 5)(x + a) - (2x + 3)(x + 1) = 4$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(2x^2 + 2ax - 5x - 5a) - (2x^2 + 2x + 3x + 3) = 4$
$2x^2 + 2ax - 5x - 5a - (2x^2 + 5x + 3) = 4$
$2x^2 + 2ax - 5x - 5a - 2x^2 - 5x - 3 = 4$
Приведем подобные члены. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(2a - 5 - 5)x - 5a - 3 = 4$
$(2a - 10)x - 5a - 3 = 4$
Перенесем постоянные члены в правую часть:
$(2a - 10)x = 4 + 3 + 5a$
$(2a - 10)x = 7 + 5a$
Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($2a - 10 = 0$), а правая часть не равна нулю ($7 + 5a \neq 0$).
Найдем $a$ из первого условия:
$2a - 10 = 0$
$2a = 10$
$a = 5$
Проверим второе условие при $a = 5$:
$7 + 5a = 7 + 5(5) = 7 + 25 = 32 \neq 0$
Оба условия выполняются.
Ответ: $a = 5$.

578. При каком значении $a$ имеет бесконечно много корней уравнение:

1) $(x - 4)(x + a) - (x + 2)(x - a) = -6;$

2) $x(3x - 2) - (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6?$

Линейное уравнение вида $kx = b$ имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($k = 0$) и свободный член также равен нулю ($b = 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством при любом значении $x$.
Приведем каждое из данных уравнений к виду $kx = b$ и найдем значение $a$, при котором оба условия выполняются.

1) $(x - 4)(x + a) - (x + 2)(x - a) = -6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$(x^2 + ax - 4x - 4a) - (x^2 - ax + 2x - 2a) = -6$
Теперь уберем скобки, поменяв знаки во второй группе слагаемых:
$x^2 + ax - 4x - 4a - x^2 + ax - 2x + 2a = -6$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (ax + ax) + (-4x - 2x) + (-4a + 2a) = -6$
$2ax - 6x - 2a = -6$

Вынесем $x$ за скобки и перенесем свободные члены в правую часть, чтобы получить вид $kx = b$:
$(2a - 6)x = 2a - 6$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $k = 2a - 6$, а свободный член справа равен $b = 2a - 6$.
Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы $k = 0$ и $b = 0$.
$2a - 6 = 0$
$2a = 6$
$a = 3$
При $a = 3$ оба выражения, $k$ и $b$, обращаются в ноль. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.

Ответ: $a = 3$.

2) $x(3x - 2) - (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(3x^2 - 2x) - (3x^2 + 2x + 6ax + 4a) = 5a + 6$
$3x^2 - 2x - 3x^2 - 2x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x^2) + (-2x - 2x - 6ax) - 4a = 5a + 6$
$-4x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Приведем уравнение к виду $kx = b$. Для этого сгруппируем члены с $x$ слева, а остальные перенесем вправо:
$(-4 - 6a)x = 5a + 6 + 4a$
$(-4 - 6a)x = 9a + 6$

Здесь коэффициент при $x$ равен $k = -4 - 6a$, а свободный член $b = 9a + 6$.
Чтобы уравнение имело бесконечное множество корней, необходимо выполнение системы уравнений:
$\begin{cases} -4 - 6a = 0 \\ 9a + 6 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $a$:
$-6a = 4$
$a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению. Подставим $a = -\frac{2}{3}$ во второе уравнение:
$9 \cdot (-\frac{2}{3}) + 6 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$
Поскольку $0 = 0$, второе уравнение также выполняется. Значит, при $a = -\frac{2}{3}$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$.

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$.

579. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10a + b$.

По условию задачи, число должно быть равно произведению своих цифр, каждая из которых увеличена на 1. Составим уравнение на основе этого условия:

$10a + b = (a + 1)(b + 1)$

Цифра десятков $a$ может принимать значения от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а цифра единиц $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$10a + b = ab + a + b + 1$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $b$:

$10a = ab + a + 1$

Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть уравнения:

$10a - a - ab = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$9a - ab = 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(9 - b) = 1$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, то $a$ и $(9 - b)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.
2. Оба множителя равны -1.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Оба множителя равны 1.

$\begin{cases} a = 1 \\ 9 - b = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения системы сразу получаем $a = 1$. Это значение удовлетворяет условию для цифры десятков.

Из второго уравнения находим $b$: $b = 9 - 1 = 8$. Это значение также удовлетворяет условию для цифры единиц.

Таким образом, мы нашли число 18.

Проверим: произведение его цифр, увеличенных на 1, равно $(1+1) \times (8+1) = 2 \times 9 = 18$. Число 18 равно полученному произведению, следовательно, это верное решение.

2. Оба множителя равны -1.

$\begin{cases} a = -1 \\ 9 - b = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $a = -1$. Это значение не является цифрой и не удовлетворяет ограничению $a \in \{1, 2, ..., 9\}$. Следовательно, этот случай не дает решений.

Единственное возможное решение — это число 18.

Ответ: 18

580. Упростите выражение:

1) $0.42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2;$

2) $1.2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6;$

3) $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot \left(\frac{3}{7}np^4\right)^2;$

4) $\left(1\frac{1}{2}x^2y^3\right)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2.$

1) Чтобы упростить выражение $0,42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сгруппируем множители: $(0,42 \cdot 1\frac{3}{7}) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (c^3 \cdot c^2)$.
Преобразуем коэффициенты в удобный для вычисления вид. Десятичную дробь $0,42$ представим как обыкновенную $\frac{42}{100} = \frac{21}{50}$. Смешанное число $1\frac{3}{7}$ представим как неправильную дробь $\frac{10}{7}$.
Перемножим коэффициенты: $0,42 \cdot 1\frac{3}{7} = \frac{21}{50} \cdot \frac{10}{7} = \frac{21 \cdot 10}{50 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 10}{5 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{3}{5} = 0,6$.
Теперь перемножим переменные, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$
$c^3 \cdot c^2 = c^{3+2} = c^5$
Объединим полученные результаты: $0,6a^5c^5$.
Ответ: $0,6a^5c^5$.

2) Упростим выражение $1,2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6$.
Сгруппируем множители: $(1,2 \cdot 2\frac{1}{6}) \cdot (x \cdot x^5) \cdot (y \cdot y^6) \cdot z$.
Преобразуем коэффициенты: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ и $2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$.
Перемножим их: $\frac{6}{5} \cdot \frac{13}{6} = \frac{13}{5} = 2,6$.
Перемножим переменные:
$x \cdot x^5 = x^{1+5} = x^6$
$y \cdot y^6 = y^{1+6} = y^7$
Переменная $z$ остается без изменений.
Собираем все вместе: $2,6x^6y^7z$.
Ответ: $2,6x^6y^7z$.

3) Упростим выражение $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot (\frac{3}{7}np^4)^2$.
Сначала возведем второй множитель в квадрат, используя правило $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(\frac{3}{7}np^4)^2 = (\frac{3}{7})^2 \cdot n^2 \cdot (p^4)^2 = \frac{9}{49}n^2p^8$.
Теперь выражение имеет вид: $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot \frac{9}{49}n^2p^8$.
Преобразуем коэффициент $-2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $-\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$.
Перемножим коэффициенты: $-\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{49} = -\frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 49} = -\frac{7 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 7 \cdot 7} = -\frac{3}{7}$.
Перемножим переменные:
$m^2$ остается без изменений.
$n \cdot n^2 = n^{1+2} = n^3$
$p^3 \cdot p^8 = p^{3+8} = p^{11}$
Объединим результаты: $-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$.
Ответ: $-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$.

4) Упростим выражение $(1\frac{1}{2}x^2y^3)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2$.
Сначала возведем первый множитель в пятую степень. Преобразуем $1\frac{1}{2}$ в $\frac{3}{2}$.
$( \frac{3}{2}x^2y^3)^5 = (\frac{3}{2})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 = \frac{3^5}{2^5}x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5} = \frac{243}{32}x^{10}y^{15}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{243}{32}x^{10}y^{15} \cdot \frac{16}{27}x^8y^2$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{243}{32} \cdot \frac{16}{27} = \frac{243 \cdot 16}{32 \cdot 27}$. Сокращаем 243 и 27 на 27, получаем 9. Сокращаем 16 и 32 на 16, получаем $\frac{1}{2}$. В итоге имеем $9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
Перемножим переменные:
$x^{10} \cdot x^8 = x^{10+8} = x^{18}$
$y^{15} \cdot y^2 = y^{15+2} = y^{17}$
Собираем все вместе: $4,5x^{18}y^{17}$.
Ответ: $4,5x^{18}y^{17}$.

581. За неделю в офисе расходуют 1400 листов бумаги. Какое наименьшее количество пачек бумаги необходимо приобрести, чтобы обеспечить работу офиса в течение 6 недель, если в одной пачке содержится 500 листов?

Для того чтобы определить наименьшее количество пачек бумаги, которое необходимо приобрести, нужно выполнить следующие вычисления:

1. Расчет общего количества листов бумаги на 6 недель.

Сначала найдем, сколько всего листов бумаги потребуется офису на весь период. Известно, что еженедельный расход составляет 1400 листов.

$1400 \text{ листов/неделю} \times 6 \text{ недель} = 8400 \text{ листов}$

Таким образом, на 6 недель работы необходимо 8400 листов бумаги.

2. Расчет необходимого количества пачек.

Теперь разделим общее количество требуемых листов на количество листов в одной пачке, чтобы найти, сколько пачек нужно купить.

$\frac{8400 \text{ листов}}{500 \text{ листов/пачку}} = 16,8 \text{ пачки}$

3. Определение наименьшего целого количества пачек.

Поскольку пачки бумаги нельзя купить по частям, полученное значение 16,8 необходимо округлить до ближайшего целого числа в большую сторону. Если приобрести 16 пачек, то это составит $16 \times 500 = 8000$ листов, чего будет недостаточно. Следовательно, нужно купить 17 пачек, чтобы бумаги точно хватило.

Ответ: 17.

582. Содержание соли в морской воде составляет $5\%$. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученном растворе составило $3\%$?

Для решения задачи сперва найдем массу соли в исходном растворе. Масса морской воды составляет 30 кг, а концентрация соли в ней — 5%. Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется как произведение общей массы раствора на долю соли:$m_{соли} = 30 \text{ кг} \times 5\% = 30 \times 0.05 = 1.5 \text{ кг}$.

При добавлении пресной воды (которая не содержит соли) масса соли в растворе не изменяется. Она остается равной 1.5 кг. Изменяется только общая масса раствора.

Обозначим за $x$ массу пресной воды (в кг), которую необходимо добавить. Тогда новая общая масса раствора будет равна $(30 + x)$ кг.

По условию, концентрация соли в новом растворе должна составить 3%. Зная массу соли и новую общую массу, составим уравнение:$\text{Концентрация} = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}}$

Подставим числовые значения, выразив проценты в долях:$0.03 = \frac{1.5}{30 + x}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:$0.03 \times (30 + x) = 1.5$$0.9 + 0.03x = 1.5$$0.03x = 1.5 - 0.9$$0.03x = 0.6$$x = \frac{0.6}{0.03}$$x = 20$

Следовательно, чтобы концентрация соли в растворе стала 3%, необходимо добавить 20 кг пресной воды.

Ответ: 20 кг.

583. Для ремонта школы купили краску. В первый день потратили на 2 банки краски больше, чем половина всей краски, а во второй — $\frac{5}{8}$ количества банок краски, потраченной в первый день. После этого осталось 2 банки. Сколько банок краски купили?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это общее количество банок краски, которое купили для ремонта школы.

1. Определим, сколько банок краски потратили в первый день. По условию, это на 2 банки больше, чем половина всей краски. Математически это записывается так:

$ \frac{x}{2} + 2 $

2. Определим, сколько банок краски потратили во второй день. По условию, это $ \frac{5}{8} $ от количества, потраченного в первый день:

$ \frac{5}{8} \cdot (\frac{x}{2} + 2) $

3. Известно, что после двух дней осталось 2 банки краски.

4. Теперь можно составить уравнение, приравняв общее количество краски к сумме потраченной за два дня и остатка:

$ x = (\frac{x}{2} + 2) + \frac{5}{8} \cdot (\frac{x}{2} + 2) + 2 $

5. Решим полученное уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с общим множителем $ (\frac{x}{2} + 2) $:

$ x = (1 + \frac{5}{8}) \cdot (\frac{x}{2} + 2) + 2 $

$ x = (\frac{8}{8} + \frac{5}{8}) \cdot (\frac{x}{2} + 2) + 2 $

$ x = \frac{13}{8} \cdot (\frac{x}{2} + 2) + 2 $

6. Раскроем скобки:

$ x = \frac{13}{8} \cdot \frac{x}{2} + \frac{13}{8} \cdot 2 + 2 $

$ x = \frac{13x}{16} + \frac{26}{8} + 2 $

Сократим дробь $ \frac{26}{8} $ до $ \frac{13}{4} $:

$ x = \frac{13x}{16} + \frac{13}{4} + 2 $

7. Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 16:

$ 16 \cdot x = 16 \cdot \frac{13x}{16} + 16 \cdot \frac{13}{4} + 16 \cdot 2 $

$ 16x = 13x + 4 \cdot 13 + 32 $

$ 16x = 13x + 52 + 32 $

$ 16x = 13x + 84 $

8. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$ 16x - 13x = 84 $

$ 3x = 84 $

9. Найдем $x$:

$ x = \frac{84}{3} $

$ x = 28 $

Таким образом, всего купили 28 банок краски.

10. Выполним проверку:

• В первый день потратили: $ \frac{28}{2} + 2 = 14 + 2 = 16 $ банок.
• Во второй день потратили: $ \frac{5}{8} \cdot 16 = 10 $ банок.
• Всего потратили: $ 16 + 10 = 26 $ банок.
• Осталось: $ 28 - 26 = 2 $ банки.

Результаты проверки соответствуют условиям задачи.

Ответ: 28 банок краски купили.

584. Существует ли двузначное число, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц, а разность между данным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10a + b$.

По условию задачи, цифра десятков на 4 больше цифры единиц. Это можно записать в виде уравнения:

$a = b + 4$

Из этого следует, что разность между цифрой десятков и цифрой единиц равна 4:

$a - b = 4$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{ba}$ и в алгебраической форме записывается как $10b + a$.

Второе условие задачи гласит, что разность между исходным числом и числом с переставленными цифрами равна 27. Составим второе уравнение:

$(10a + b) - (10b + a) = 27$

Раскроем скобки и упростим это выражение:

$10a + b - 10b - a = 27$

$9a - 9b = 27$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9(a - b) = 27$

Разделим обе части уравнения на 9:

$a - b = 3$

Теперь у нас есть два утверждения, которые должны выполняться одновременно:

1. Из первого условия следует, что $a - b = 4$.
2. Из второго условия следует, что $a - b = 3$.

Мы получили противоречие: разность одних и тех же чисел ($a$ и $b$) не может быть одновременно равна и 4, и 3. Следовательно, не существует такого двузначного числа, которое удовлетворяло бы обоим условиям задачи.

Ответ: Нет, такого числа не существует.

585. Из листа картона вырезали несколько равных равносторонних треугольников. В вершинах каждого написали цифры 1, 2, 3. Потом эти треугольники сложили в стопку. Может ли получиться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки будет равна 55?

Предположим, что такая ситуация возможна. Пусть количество треугольников в стопке равно $n$.

На каждом треугольнике написаны цифры 1, 2 и 3. Сумма чисел на одном треугольнике составляет $1 + 2 + 3 = 6$. Поскольку в стопке $n$ треугольников, общая сумма всех чисел на всех треугольниках равна $6n$.

С другой стороны, стопка представляет собой треугольную призму, у которой есть три вертикальных ребра. По условию, сумма чисел вдоль каждого из этих трех ребер равна 55. Таким образом, общую сумму всех чисел в стопке можно найти, сложив суммы по трем ребрам: $55 + 55 + 55 = 165$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для общей суммы всех чисел в стопке: $6n = 165$

Найдем $n$ из этого уравнения: $n = \frac{165}{6} = \frac{55}{2} = 27.5$

Количество треугольников $n$ должно быть целым числом, так как "несколько треугольников" подразумевает целое их количество. Полученное значение $n = 27.5$ не является целым числом. Следовательно, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ: нет, не может.