Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

558. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

1) $(y + 1)^2 - 4y(y + 1);$

2) $10(a^2 - 5) + (a^2 - 5)^2;$

3) $(a - 2)^2 - 6(a - 2);$

4) $(x - 6)(2x - 4) + (x - 6)(8 - x);$

5) $(x^2 - 2)(3y + 5) - (x^2 - 2)(y + 12);$

6) $(4a - 3b)(5a + 8b) + (3b - 4a)(2a + b);$

7) $3a(b - 8) + 7c(8 - b).$

1) Для того чтобы представить выражение $(y + 1)^2 - 4y(y + 1)$ в виде произведения многочленов, вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки.

$(y + 1)^2 - 4y(y + 1) = (y + 1) \cdot ((y + 1) - 4y)$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(y + 1) - 4y = y + 1 - 4y = 1 - 3y$

Таким образом, получаем произведение:

$(y + 1)(1 - 3y)$

Ответ: $(y + 1)(1 - 3y)$

2) В выражении $10(a^2 - 5) + (a^2 - 5)^2$ общим множителем является $(a^2 - 5)$. Вынесем его за скобки.

$10(a^2 - 5) + (a^2 - 5)^2 = (a^2 - 5) \cdot (10 + (a^2 - 5))$

Упростим выражение во второй скобке:

$10 + a^2 - 5 = a^2 + 5$

В результате получаем:

$(a^2 - 5)(a^2 + 5)$

Ответ: $(a^2 - 5)(a^2 + 5)$

3) В выражении $(a - 2)^2 - 6(a - 2)$ вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки.

$(a - 2)^2 - 6(a - 2) = (a - 2) \cdot ((a - 2) - 6)$

Упростим выражение во второй скобке:

$a - 2 - 6 = a - 8$

Получаем произведение:

$(a - 2)(a - 8)$

Ответ: $(a - 2)(a - 8)$

4) В выражении $(x - 6)(2x - 4) + (x - 6)(8 - x)$ общий множитель $(x - 6)$ можно вынести за скобки.

$(x - 6) \cdot ((2x - 4) + (8 - x))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$2x - 4 + 8 - x = (2x - x) + (-4 + 8) = x + 4$

В итоге получаем:

$(x - 6)(x + 4)$

Ответ: $(x - 6)(x + 4)$

5) В выражении $(x^2 - 2)(3y + 5) - (x^2 - 2)(y + 12)$ общим множителем является $(x^2 - 2)$. Вынесем его за скобки.

$(x^2 - 2) \cdot ((3y + 5) - (y + 12))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение во второй скобке. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой.

$3y + 5 - y - 12 = (3y - y) + (5 - 12) = 2y - 7$

Таким образом, получаем произведение:

$(x^2 - 2)(2y - 7)$

Ответ: $(x^2 - 2)(2y - 7)$

6) В выражении $(4a - 3b)(5a + 8b) + (3b - 4a)(2a + b)$ заметим, что множители $(4a - 3b)$ и $(3b - 4a)$ противоположны. Можно записать $(3b - 4a) = -(4a - 3b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4a - 3b)(5a + 8b) - (4a - 3b)(2a + b)$

Теперь вынесем общий множитель $(4a - 3b)$ за скобки:

$(4a - 3b) \cdot ((5a + 8b) - (2a + b))$

Упростим выражение во второй скобке:

$5a + 8b - 2a - b = (5a - 2a) + (8b - b) = 3a + 7b$

Получаем произведение:

$(4a - 3b)(3a + 7b)$

Ответ: $(4a - 3b)(3a + 7b)$

7) В выражении $3a(b - 8) + 7c(8 - b)$ множители $(b - 8)$ и $(8 - b)$ являются противоположными. Представим $(8 - b)$ как $-(b - 8)$.

Выражение примет вид:

$3a(b - 8) - 7c(b - 8)$

Теперь вынесем общий множитель $(b - 8)$ за скобки:

$(b - 8)(3a - 7c)$

Ответ: $(b - 8)(3a - 7c)$

559. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $(x - 3)(x + 7) - (x + 7)(x - 8) = 0;$

2) $(4x - 9)(x - 2) + (1 - x)(x - 2) = 0;$

3) $0,2x(x - 5) + 8(x - 5) = 0;$

4) $7(x - 7) - (x - 7)^2 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x - 3)(x + 7) - (x + 7)(x - 8) = 0$.

В левой части уравнения есть общий множитель $(x + 7)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 7)((x - 3) - (x - 8)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение во второй скобке:

$(x + 7)(x - 3 - x + 8) = 0$

$(x + 7)(5) = 0$

$5(x + 7) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x + 7 = 0$

Отсюда находим x:

$x = -7$

Ответ: $-7$.

2) Исходное уравнение: $(4x - 9)(x - 2) + (1 - x)(x - 2) = 0$.

Общий множитель здесь — $(x - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(x - 2)((4x - 9) + (1 - x)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2)(4x - 9 + 1 - x) = 0$

$(x - 2)(3x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0$ или $3x - 8 = 0$

Решаем первое уравнение:

$x_1 = 2$

Решаем второе уравнение:

$3x = 8$

$x_2 = \frac{8}{3}$

Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

3) Исходное уравнение: $0,2x(x - 5) + 8(x - 5) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(0,2x + 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 5 = 0$ или $0,2x + 8 = 0$

Решаем первое уравнение:

$x_1 = 5$

Решаем второе уравнение:

$0,2x = -8$

$x_2 = \frac{-8}{0,2} = \frac{-80}{2} = -40$

Ответ: $-40; 5$.

4) Исходное уравнение: $7(x - 7) - (x - 7)^2 = 0$.

Представим $(x - 7)^2$ как $(x - 7)(x - 7)$ и вынесем общий множитель $(x - 7)$ за скобки:

$(x - 7)(7 - (x - 7)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(x - 7)(7 - x + 7) = 0$

$(x - 7)(14 - x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 7 = 0$ или $14 - x = 0$

Решаем первое уравнение:

$x_1 = 7$

Решаем второе уравнение:

$14 = x$

$x_2 = 14$

Ответ: $7; 14$.

560. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0;$

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0;$

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0;$

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0.$

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0$
В левой части уравнения есть общий множитель $(x + 6)$, который можно вынести за скобки:
$(x + 6)((2x - 9) - x) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 6)(2x - 9 - x) = 0$
$(x + 6)(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 6 = 0$ или $x - 9 = 0$
$x_1 = -6$
$x_2 = 9$
Ответ: -6; 9.

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0$
Заметим, что множитель $(10 - x)$ можно представить как $-(x - 10)$. Подставим это в уравнение:
$(3x + 4)(x - 10) - (x - 10)(x - 8) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки:
$(x - 10)((3x + 4) - (x - 8)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(x - 10)(3x + 4 - x + 8) = 0$
$(x - 10)(2x + 12) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 10 = 0$ или $2x + 12 = 0$
$x_1 = 10$
$2x = -12 \Rightarrow x_2 = -6$
Ответ: -6; 10.

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(3x + 1)$ за скобки:
$(3x + 1)(3(3x + 1) - 4) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(3x + 1)(9x + 3 - 4) = 0$
$(3x + 1)(9x - 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$3x + 1 = 0$ или $9x - 1 = 0$
$3x = -1 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{3}$
$9x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{9}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$.

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0$
Выражение $(9x - 12)$ является общим множителем. Представим уравнение как $1 \cdot (9x - 12) - x(9x - 12) = 0$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(9x - 12)(1 - x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$9x - 12 = 0$ или $1 - x = 0$
$9x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{9} \Rightarrow x_1 = \frac{4}{3}$
$x_2 = 1$
Ответ: 1; $\frac{4}{3}$.

561. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $(2x - 6)^2$

2) $(5y + 5)^2$

3) $(36x + 30y)^2$

4) $(2x + 4)^4$

5) $(6x - 9y)^3$

6) $(a^2 + ab)^2$

7) $(-7a - 14ab)^2$

8) $(3c^4 - 6c^3)^4$

1) Чтобы вынести общий множитель из выражения $(2x - 6)^2$, сначала найдем общий множитель для слагаемых в скобках. В выражении $2x - 6$ общим множителем является 2. Вынесем его за скобки внутри основного выражения: $2x - 6 = 2(x - 3)$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(2x - 6)^2 = (2(x - 3))^2$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:

$(2(x - 3))^2 = 2^2 \cdot (x - 3)^2 = 4(x - 3)^2$

Ответ: $4(x - 3)^2$

2) В выражении $(5y + 5)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $5y + 5$. Общий множитель здесь 5. Выносим его: $5y + 5 = 5(y + 1)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(5y + 5)^2 = (5(y + 1))^2$

Применяем свойство степени произведения:

$(5(y + 1))^2 = 5^2 \cdot (y + 1)^2 = 25(y + 1)^2$

Ответ: $25(y + 1)^2$

3) В выражении $(36x + 30y)^2$ рассмотрим слагаемые в скобках $36x + 30y$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 36 и 30. НОД(36, 30) = 6. Вынесем 6 за скобки:

$36x + 30y = 6(6x + 5y)$

Подставляем в исходное выражение:

$(36x + 30y)^2 = (6(6x + 5y))^2$

Используем свойство степени произведения:

$(6(6x + 5y))^2 = 6^2 \cdot (6x + 5y)^2 = 36(6x + 5y)^2$

Ответ: $36(6x + 5y)^2$

4) В выражении $(2x + 4)^4$ общий множитель для слагаемых в скобках $2x + 4$ равен 2. Вынесем его: $2x + 4 = 2(x + 2)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(2x + 4)^4 = (2(x + 2))^4$

Применяем свойство степени произведения:

$(2(x + 2))^4 = 2^4 \cdot (x + 2)^4 = 16(x + 2)^4$

Ответ: $16(x + 2)^4$

5) В выражении $(6x - 9y)^3$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $6x - 9y$. НОД(6, 9) = 3. Выносим 3 за скобки: $6x - 9y = 3(2x - 3y)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(6x - 9y)^3 = (3(2x - 3y))^3$

Используем свойство степени произведения:

$(3(2x - 3y))^3 = 3^3 \cdot (2x - 3y)^3 = 27(2x - 3y)^3$

Ответ: $27(2x - 3y)^3$

6) В выражении $(a^2 + ab)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $a^2 + ab$. Общим множителем является переменная $a$. Выносим ее: $a^2 + ab = a(a + b)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(a^2 + ab)^2 = (a(a + b))^2$

Применяем свойство степени произведения:

$(a(a + b))^2 = a^2 \cdot (a + b)^2$

Ответ: $a^2(a + b)^2$

7) В выражении $(-7a - 14ab)^2$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $-7a - 14ab$. Общий числовой множитель -7, а общий буквенный множитель $a$. Таким образом, общий множитель равен $-7a$. Выносим его: $-7a - 14ab = -7a(1 + 2b)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(-7a - 14ab)^2 = (-7a(1 + 2b))^2$

Используем свойство степени произведения:

$(-7a(1 + 2b))^2 = (-7a)^2 \cdot (1 + 2b)^2 = 49a^2(1 + 2b)^2$

Ответ: $49a^2(1 + 2b)^2$

8) В выражении $(3c^4 - 6c^3)^4$ найдем общий множитель для слагаемых в скобках $3c^4 - 6c^3$. Общий числовой множитель - это НОД(3, 6) = 3. Общий буквенный множитель для $c^4$ и $c^3$ - это $c^3$ (младшая степень). Таким образом, общий множитель равен $3c^3$. Выносим его: $3c^4 - 6c^3 = 3c^3(c - 2)$.

Подставляем в исходное выражение:

$(3c^4 - 6c^3)^4 = (3c^3(c - 2))^4$

Используем свойство степени произведения, а также свойство степени степени $(a^m)^n=a^{mn}$:

$(3c^3(c - 2))^4 = (3c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 3^4 \cdot (c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 81c^{12}(c - 2)^4$

Ответ: $81c^{12}(c - 2)^4$

562. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $(4x - 4y)^2;$

2) $(18a + 27b)^2;$

3) $(8m - 10n)^3;$

4) $(a^2 - 9a)^2;$

5) $(16x^2y + 40xy^2)^2;$

6) $(22x^4 - 28x^2y^3)^5.$

1) В выражении, находящемся в скобках, $(4x - 4y)$, оба члена имеют общий множитель $4$. Вынесем его за скобку, получив $4(x - y)$. Теперь исходное выражение можно записать как $(4(x - y))^2$. Используя свойство возведения произведения в степень $((ab)^n = a^n b^n)$, мы получаем $4^2(x - y)^2$. После вычисления $4^2$, окончательный вид выражения будет $16(x - y)^2$.

Ответ: $16(x - y)^2$

2) Рассмотрим выражение в скобках: $18a + 27b$. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов $18$ и $27$ равен $9$. Выносим $9$ за скобки: $9(2a + 3b)$. Исходное выражение принимает вид $(9(2a + 3b))^2$. Применим свойство степени произведения: $9^2(2a + 3b)^2$. Вычислив $9^2 = 81$, получим итоговое выражение: $81(2a + 3b)^2$.

Ответ: $81(2a + 3b)^2$

3) Для выражения в скобках $8m - 10n$, найдем общий множитель для коэффициентов $8$ и $10$. НОД(8, 10) = 2. Вынесем $2$ за скобки, что дает $2(4m - 5n)$. Исходное выражение теперь $(2(4m - 5n))^3$. Применяя свойство степени произведения, получим $2^3(4m - 5n)^3$. Вычисляем $2^3 = 8$ и получаем ответ: $8(4m - 5n)^3$.

Ответ: $8(4m - 5n)^3$

4) В выражении $a^2 - 9a$ общим множителем является переменная $a$. Выносим $a$ за скобки: $a(a - 9)$. Таким образом, исходное выражение $(a^2 - 9a)^2$ можно переписать как $(a(a - 9))^2$. По свойству степени произведения, это равно $a^2(a - 9)^2$.

Ответ: $a^2(a - 9)^2$

5) Проанализируем выражение в скобках: $16x^2y + 40xy^2$. Общий множитель для коэффициентов $16$ и $40$ — это $8$. Общий множитель для переменных — $xy$ (выбираем наименьшие степени для каждой переменной). Таким образом, общий множитель всего выражения в скобках — $8xy$. Выносим его: $8xy(2x + 5y)$. Исходное выражение становится $(8xy(2x + 5y))^2$. Применяем свойство степени: $(8xy)^2(2x + 5y)^2$. Возводим в степень первый множитель: $8^2x^2y^2 = 64x^2y^2$. Окончательный результат: $64x^2y^2(2x + 5y)^2$.

Ответ: $64x^2y^2(2x + 5y)^2$

6) В выражении $22x^4 - 28x^2y^3$ находим общий множитель. Для коэффициентов $22$ и $28$ НОД равен $2$. Для переменной $x$ общий множитель — $x^2$ (наименьшая степень). Переменная $y$ не является общей. Итак, выносим за скобки $2x^2$, получая $2x^2(11x^2 - 14y^3)$. Исходное выражение принимает вид $(2x^2(11x^2 - 14y^3))^5$. Используя свойство степени, получаем $(2x^2)^5(11x^2 - 14y^3)^5$. Возводим в степень первый множитель: $2^5(x^2)^5 = 32x^{10}$. Конечный ответ: $32x^{10}(11x^2 - 14y^3)^5$.

Ответ: $32x^{10}(11x^2 - 14y^3)^5$

563. Докажите, что значение выражения:

1) $19^5 + 19^4$ кратно 20;

2) $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11;

3) $8^7 + 2^{15}$ кратно 5;

4) $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ кратно 10;

5) $27^4 - 9^5$ кратно 24;

6) $12^4 - 4^6$ кратно 130.

1) Чтобы доказать, что выражение $19^5 + 19^4$ кратно 20, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $19^4$.

$19^5 + 19^4 = 19^4 \cdot 19 + 19^4 \cdot 1 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20$.

Так как один из множителей в произведении равен 20, то все выражение делится на 20 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что выражение $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $8^8$.

$8^{10} - 8^9 - 8^8 = 8^8 \cdot 8^2 - 8^8 \cdot 8^1 - 8^8 \cdot 1 = 8^8(8^2 - 8 - 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$8^2 - 8 - 1 = 64 - 8 - 1 = 55$.

Выражение принимает вид: $8^8 \cdot 55$.

Поскольку $55 = 5 \cdot 11$, то $8^8 \cdot 55 = 8^8 \cdot 5 \cdot 11$. Это произведение содержит множитель 11, а значит, делится на 11.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что выражение $8^7 + 2^{15}$ кратно 5, приведем слагаемые к одному основанию 2. Так как $8 = 2^3$, то $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$.

Выражение принимает вид: $2^{21} + 2^{15}$.

Вынесем за скобки общий множитель $2^{15}$:

$2^{15}(2^{21-15} + 1) = 2^{15}(2^6 + 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$.

Выражение принимает вид: $2^{15} \cdot 65$.

Поскольку $65 = 5 \cdot 13$, то $2^{15} \cdot 65 = 2^{15} \cdot 5 \cdot 13$. Это произведение содержит множитель 5, а значит, делится на 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) В выражении $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2004}$.

$3^{2004}(2 \cdot 3^{2006-2004} + 5 \cdot 3^{2005-2004} + 7 \cdot 3^{2004-2004}) = 3^{2004}(2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^1 + 7 \cdot 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$2 \cdot 9 + 5 \cdot 3 + 7 = 18 + 15 + 7 = 40$.

Выражение принимает вид: $3^{2004} \cdot 40$.

Поскольку $40 = 4 \cdot 10$, то $3^{2004} \cdot 40 = 3^{2004} \cdot 4 \cdot 10$. Это произведение содержит множитель 10, а значит, делится на 10.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5$ кратно 24, приведем его члены к одному основанию 3. Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, получаем:

$27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$

$9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$

Выражение принимает вид: $3^{12} - 3^{10}$.

Вынесем за скобки общий множитель $3^{10}$:

$3^{10}(3^2 - 1) = 3^{10}(9 - 1) = 3^{10} \cdot 8$.

Нам нужно доказать кратность 24. Представим $24$ как $3 \cdot 8$.

Наше выражение $3^{10} \cdot 8 = 3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot 24$.

Так как один из множителей равен 24, все произведение делится на 24.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Чтобы доказать, что выражение $12^4 - 4^6$ кратно 130, преобразуем его.

Представим $12^4$ как $(3 \cdot 4)^4 = 3^4 \cdot 4^4 = 81 \cdot 4^4$.

Выражение принимает вид: $81 \cdot 4^4 - 4^6$.

Вынесем за скобки общий множитель $4^4$:

$4^4(81 - 4^2) = 4^4(81 - 16) = 4^4 \cdot 65$.

Нам нужно доказать кратность 130. Разложим 130 на множители: $130 = 10 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.

Преобразуем полученное выражение $4^4 \cdot 65$:

$4^4 \cdot 65 = (2^2)^4 \cdot (5 \cdot 13) = 2^8 \cdot 5 \cdot 13$.

Выделим множитель 130:

$2^8 \cdot 5 \cdot 13 = 2^7 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 13) = 2^7 \cdot 130$.

Так как один из множителей равен 130, все произведение делится на 130.

Ответ: Что и требовалось доказать.

564. Докажите, что значение выражения:

1) $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12;

2) $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10;

3) $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42;

4) $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7.

1) Чтобы доказать, что выражение $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $25^{24}$.
$25^{25} - 25^{24} = 25^{24} \cdot 25 - 25^{24} \cdot 1 = 25^{24}(25 - 1) = 25^{24} \cdot 24$.
Поскольку число 24 делится на 12 ($24 = 2 \cdot 12$), то и все выражение $25^{24} \cdot 24$ делится на 12.
$25^{24} \cdot 24 = 25^{24} \cdot (2 \cdot 12) = 12 \cdot (2 \cdot 25^{24})$.
Так как выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 12, оно делится на 12 нацело.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10, приведем все его члены к общему основанию 2.
$16 = 2^4$, $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$16^4 + 8^5 - 4^7 = (2^4)^4 + (2^3)^5 - (2^2)^7 = 2^{16} + 2^{15} - 2^{14}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{14}$:
$2^{14}(2^2 + 2^1 - 1) = 2^{14}(4 + 2 - 1) = 2^{14} \cdot 5$.
Чтобы доказать делимость на 10, представим полученное выражение в виде произведения, где один из множителей равен 10 ($10 = 2 \cdot 5$).
$2^{14} \cdot 5 = (2^{13} \cdot 2) \cdot 5 = 2^{13} \cdot (2 \cdot 5) = 2^{13} \cdot 10$.
Так как один из множителей равен 10, все выражение делится на 10 нацело.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42, приведем его члены к общему основанию 6.
$36 = 6^2$.
$36^5 + 6^9 = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9$.
Вынесем за скобки общий множитель $6^9$:
$6^9(6^1 + 1) = 6^9(6 + 1) = 6^9 \cdot 7$.
Число 42 можно представить как $6 \cdot 7$. Преобразуем наше выражение:
$6^9 \cdot 7 = (6^8 \cdot 6) \cdot 7 = 6^8 \cdot (6 \cdot 7) = 6^8 \cdot 42$.
Так как один из множителей равен 42, все выражение делится на 42 нацело.
Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7, преобразуем его, представив 10 как $2 \cdot 5$.
$10^5 - 5^7 = (2 \cdot 5)^5 - 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 - 5^7$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^5$:
$5^5(2^5 - 5^2)$.
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^5 - 5^2 = 32 - 25 = 7$.
Таким образом, исходное выражение равно $5^5 \cdot 7$.
Так как один из множителей равен 7, все выражение делится на 7 нацело.
Ответ: Доказано.