Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

523. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x+3)(*+5) = 3x^2 + * + *;$

2) $(x-4)(x+*) = * + * + 24.$

1)

Рассмотрим тождество $(x + 3)(* + 5) = 3x^2 + * + *$.

В левой части равенства находится произведение двух многочленов. Правая часть — это результат этого произведения. Слагаемое $3x^2$ в правой части может быть получено только при умножении слагаемого $x$ из первой скобки на слагаемое с $x$ из второй скобки. Обозначим неизвестный одночлен во второй скобке (первую звёздочку) как $A$. Тогда должно выполняться равенство:

$x \cdot A = 3x^2$

Отсюда находим $A$:

$A = \frac{3x^2}{x} = 3x$

Таким образом, первая звёздочка — это одночлен $3x$. Теперь тождество выглядит так:

$(x + 3)(3x + 5) = 3x^2 + * + *$

Чтобы найти остальные одночлены, раскроем скобки в левой части по правилу умножения многочленов:

$(x + 3)(3x + 5) = x \cdot 3x + x \cdot 5 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 = 3x^2 + 5x + 9x + 15$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 + (5x + 9x) + 15 = 3x^2 + 14x + 15$

Теперь мы видим, что правая часть тождества равна $3x^2 + 14x + 15$. Значит, две оставшиеся звёздочки — это одночлены $14x$ и $15$.

Ответ: $(x + 3)(3x + 5) = 3x^2 + 14x + 15$.

2)

Рассмотрим тождество $(x - 4)(x + *) = * + * + 24$.

В правой части тождества есть свободный член (число) $24$. При раскрытии скобок в левой части свободный член получается в результате перемножения свободных членов из каждой скобки. Обозначим неизвестный одночлен во второй скобке (звёздочку в левой части) как $B$. Тогда должно выполняться равенство:

$(-4) \cdot B = 24$

Отсюда находим $B$:

$B = \frac{24}{-4} = -6$

Таким образом, звёздочка в левой части — это $-6$. Теперь тождество выглядит так:

$(x - 4)(x - 6) = * + * + 24$

Чтобы найти одночлены в правой части, раскроем скобки слева:

$(x - 4)(x - 6) = x \cdot x + x \cdot (-6) - 4 \cdot x - 4 \cdot (-6) = x^2 - 6x - 4x + 24$

Приведём подобные слагаемые:

$x^2 + (-6x - 4x) + 24 = x^2 - 10x + 24$

Сравнивая полученный результат с правой частью $* + * + 24$, мы видим, что две звёздочки в правой части — это одночлены $x^2$ и $-10x$.

Ответ: $(x - 4)(x - 6) = x^2 - 10x + 24$.

524. Выбрали некоторые четыре последовательных натуральных числа.

Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел

и произведения первого и четвёртого от выбора чисел?

Для решения этой задачи обозначим четыре последовательных натуральных числа через переменные. Пусть первое число равно $n$, где $n$ — любое натуральное число ($n \ge 1$). Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Таким образом, мы имеем последовательность из четырёх чисел: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

Найдём произведение второго и третьего чисел из этой последовательности:
$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$.

Теперь найдём произведение первого и четвёртого чисел:
$n(n+3) = n^2 + 3n$.

Далее, согласно условию, вычислим разность этих двух произведений. Для этого из произведения второго и третьего чисел вычтем произведение первого и четвёртого:
$(n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$.

В результате вычислений мы получили число 2. Это значение является константой и не зависит от выбора начального числа $n$. Следовательно, искомая разность не зависит от выбора четырёх последовательных натуральных чисел.

Ответ: Нет, разность не зависит от выбора чисел. Она всегда равна 2.

525. Выбрали некоторые три последовательных натуральных числа. Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, представим три последовательных натуральных числа в общем виде. Пусть среднее (второе) число равно $k$, где $k$ — натуральное число, большее 1 (чтобы первое число $k-1$ также было натуральным). Тогда первое число будет $k-1$, а третье — $k+1$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти разность между квадратом второго числа и произведением первого и третьего.

Квадрат второго числа:
$k^2$

Произведение первого и третьего чисел:
$(k-1)(k+1)$

Теперь составим выражение для их разности:
$k^2 - (k-1)(k+1)$

Упростим это выражение. Произведение $(k-1)(k+1)$ можно раскрыть с помощью формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$k^2 - (k^2 - 1^2) = k^2 - (k^2 - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$k^2 - k^2 + 1 = 1$

В результате вычислений мы получили число 1. Этот результат является постоянной величиной (константой) и не зависит от выбора числа $k$. Это означает, что для любой тройки последовательных натуральных чисел указанная разность всегда будет равна 1.

Для проверки можно взять несколько примеров:

• Числа: 2, 3, 4. Разность: $3^2 - (2 \cdot 4) = 9 - 8 = 1$.
• Числа: 9, 10, 11. Разность: $10^2 - (9 \cdot 11) = 100 - 99 = 1$.
• Числа: 50, 51, 52. Разность: $51^2 - (50 \cdot 52) = 2601 - 2600 = 1$.

Таким образом, разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего не зависит от выбора чисел.

Ответ: Нет, не зависит. Эта разность всегда равна 1.

526. Докажите, что значение выражения $ \overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab $ делится нацело на 10 независимо от значений $a$ и $b$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится на 10, необходимо преобразовать его и показать, что оно имеет множитель 10.

Запись $\overline{ab}$ обозначает двузначное число, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно представить как:
$\overline{ab} = 10a + b$

Аналогично, запись $\overline{ba}$ обозначает двузначное число, где b — цифра десятков, а a — цифра единиц:
$\overline{ba} = 10b + a$

Подставим эти представления в исходное выражение $\overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab$:
$(10a + b)(10b + a) - ab$

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:
$10a \cdot 10b + 10a \cdot a + b \cdot 10b + b \cdot a - ab = 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab - ab$

Приведем подобные слагаемые:
$100ab + 10a^2 + 10b^2 + (ab - ab) = 100ab + 10a^2 + 10b^2$

Теперь вынесем общий множитель 10 за скобки:
$10(10ab + a^2 + b^2)$

Так как a и b являются цифрами, то они — целые числа. Следовательно, выражение в скобках $(10ab + a^2 + b^2)$ также является целым числом.

В итоге мы представили исходное выражение в виде произведения числа 10 и некоторого целого числа. Согласно определению делимости, если один из множителей в произведении равен 10, то все произведение делится на 10 нацело. Это справедливо для любых цифр a и b (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, чтобы числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ были двузначными).

Ответ: Мы доказали, что выражение $\overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab$ можно преобразовать к виду $10(10ab + a^2 + b^2)$. Так как полученное выражение содержит множитель 10, оно делится нацело на 10 независимо от значений a и b, что и требовалось доказать.

527. Остаток при делении натурального числа $x$ на 6 равен 3, а остаток при делении натурального числа $y$ на 6 равен 2. Докажите, что произведение чисел $x$ и $y$ делится нацело на 6.

Согласно определению деления с остатком, условие, что остаток при делении натурального числа $x$ на 6 равен 3, можно записать в виде:
$x = 6k + 3$, где $k$ — это частное от деления, являющееся некоторым неотрицательным целым числом.

Аналогично, условие, что остаток при делении натурального числа $y$ на 6 равен 2, можно записать в виде:
$y = 6m + 2$, где $m$ — это частное от деления, также являющееся некоторым неотрицательным целым числом.

Требуется доказать, что произведение $x \cdot y$ делится нацело на 6. Найдем это произведение, подставив выражения для $x$ и $y$:
$x \cdot y = (6k + 3)(6m + 2)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$x \cdot y = 6k \cdot 6m + 6k \cdot 2 + 3 \cdot 6m + 3 \cdot 2$
$x \cdot y = 36km + 12k + 18m + 6$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится на 6, вынесем общий множитель 6 за скобки:
$x \cdot y = 6(6km + 2k + 3m + 1)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то и результат выражения в скобках, $6km + 2k + 3m + 1$, также будет целым числом. Обозначим это целое число как $N$. Тогда произведение можно записать в виде $x \cdot y = 6N$.
Это означает, что произведение чисел $x$ и $y$ является кратным числу 6, то есть делится на 6 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как произведение $xy$ можно представить в виде $6(6km + 2k + 3m + 1)$, что является произведением числа 6 и целого числа, а значит, делится на 6 нацело.

528. Докажите, что если $ab + bc + ac = 0$, то $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства утверждения преобразуем левую часть равенства $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом из трех слагаемых:

• $(a-b)(a-c) = a^2 - ac - ab + bc$
• $(b-c)(b-a) = b^2 - ab - bc + ac$
• $(c-a)(c-b) = c^2 - cb - ac + ab = c^2 - bc - ac + ab$

2. Сложим полученные выражения:

$(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

3. Сгруппируем подобные члены:

$(a^2 + b^2 + c^2) + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac)$

4. Упростим выражение:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

5. Вынесем знак минус за скобки у последних трех членов:

$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

6. Теперь используем условие, данное в задаче: $ab + bc + ac = 0$. Подставим это значение в наше преобразованное выражение:

$a^2 + b^2 + c^2 - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой части при заданном условии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем алгебраических преобразований левая часть выражения $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b)$ была сведена к $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$. Используя условие $ab + bc + ac = 0$, мы получаем, что выражение равно $a^2 + b^2 + c^2$.

529. Остаток при делении натурального числа $a$ на $8$ равен $3$, а остаток при делении натурального числа $b$ на $8$ равен $7$. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на $8$ равен $5$.

По условию, остаток при делении натурального числа $a$ на 8 равен 3. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:

$a = 8k + 3$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $b$ на 8 равен 7. Это означает, что число $b$ можно представить в виде:

$b = 8m + 7$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Чтобы доказать утверждение, найдем произведение чисел $a$ и $b$, подставив в него эти выражения:

$a \cdot b = (8k + 3) \cdot (8m + 7)$

Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a \cdot b = 8k \cdot 8m + 8k \cdot 7 + 3 \cdot 8m + 3 \cdot 7$

Выполним умножение:

$a \cdot b = 64km + 56k + 24m + 21$

Наша цель — представить это произведение в форме $8q + r$, где $r$ будет искомым остатком. Для этого сгруппируем все слагаемые, которые содержат множитель 8:

$a \cdot b = (64km + 56k + 24m) + 21$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m) + 21$

Теперь рассмотрим число 21. Его можно представить в виде суммы числа, кратного 8, и остатка от деления на 8:

$21 = 16 + 5 = 8 \cdot 2 + 5$

Подставим это разложение в наше выражение для произведения $a \cdot b$:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m) + (8 \cdot 2 + 5)$

Снова вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m + 2) + 5$

Обозначим выражение в скобках как $q = 8km + 7k + 3m + 2$. Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то $q$ также будет целым числом. Таким образом, мы получаем:

$a \cdot b = 8q + 5$

Это равенство по определению означает, что при делении произведения $a \cdot b$ на 8 получается неполное частное $q$ и остаток 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5.

530. Остаток при делении натурального числа $m$ на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа $n$ на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на 11 равен 1.

По условию, остаток при делении натурального числа $m$ на 11 равен 9. Согласно определению деления с остатком, это означает, что число $m$ можно представить в виде:

$m = 11k + 9$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 11 равен 5. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:

$n = 11l + 5$, где $l$ — некоторое целое неотрицательное число.

Чтобы найти остаток от деления произведения $m \cdot n$ на 11, перемножим эти выражения:

$m \cdot n = (11k + 9)(11l + 5)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$m \cdot n = 11k \cdot 11l + 11k \cdot 5 + 9 \cdot 11l + 9 \cdot 5$

$m \cdot n = 121kl + 55k + 99l + 45$

Теперь преобразуем полученное выражение, чтобы выделить слагаемые, кратные 11. Заметим, что первые три слагаемых делятся на 11. Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l) + 45$

Из этого выражения видно, что остаток от деления $m \cdot n$ на 11 зависит только от остатка при делении числа 45 на 11, так как первое слагаемое $11(11kl + 5k + 9l)$ делится на 11 нацело.

Найдем остаток от деления 45 на 11:

$45 = 4 \cdot 11 + 1$

Остаток равен 1. Теперь подставим выражение $45 = 11 \cdot 4 + 1$ в нашу формулу для произведения:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l) + (11 \cdot 4 + 1)$

Снова вынесем общий множитель 11 за скобки:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l + 4) + 1$

Пусть $Q = 11kl + 5k + 9l + 4$. Так как $k$ и $l$ — целые числа, то и $Q$ является целым числом. Тогда мы имеем:

$m \cdot n = 11Q + 1$

Эта запись по определению означает, что при делении произведения $m \cdot n$ на 11 получается остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано. Остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на 11 равен 1.

531. Двое рабочих изготовили вместе $108$ деталей. Первый работал $5$ ч, а второй – $3$ ч. Сколько деталей изготавливал ежечасно каждый рабочий, если вместе за $1$ ч они изготавливают $26$ деталей?

Сколько деталей изготавливал ежечасно первый рабочий?

Сначала определим время совместной работы. Первый рабочий работал 5 часов, а второй — 3 часа, следовательно, вместе они работали 3 часа. Зная, что их совместная производительность составляет 26 деталей в час, найдем количество деталей, изготовленных за это время:

$3 \text{ ч} \times 26 \text{ деталей/ч} = 78 \text{ деталей}$.

Всего было изготовлено 108 деталей. Оставшиеся детали были сделаны первым рабочим в то время, когда он трудился один. Найдем их количество, вычитая из общего числа деталей те, что были сделаны совместно:

$108 - 78 = 30 \text{ деталей}$.

Первый рабочий трудился один в течение $5 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 2$ часов. За эти 2 часа он изготовил 30 деталей. Таким образом, его почасовая производительность равна:

$30 \text{ деталей} \div 2 \text{ ч} = 15 \text{ деталей/ч}$.

Ответ: первый рабочий изготавливал ежечасно 15 деталей.

Сколько деталей изготавливал ежечасно второй рабочий?

Совместная почасовая производительность рабочих по условию равна 26 деталей. Производительность первого рабочего составляет 15 деталей в час. Чтобы найти производительность второго рабочего, нужно из общей производительности вычесть производительность первого:

$26 \text{ деталей/ч} - 15 \text{ деталей/ч} = 11 \text{ деталей/ч}$.

Ответ: второй рабочий изготавливал ежечасно 11 деталей.

532. Смешали 72 г пятипроцентного раствора соли и 48 г пятнадцатипроцентного раствора соли. Найдите процентное содержание соли в полученном растворе.

Для того чтобы найти процентное содержание соли в полученном растворе, необходимо сначала вычислить общее количество соли и общую массу раствора, а затем найти их отношение.

1. Найдем массу соли в первом растворе. Пятипроцентный раствор массой 72 г содержит:

$m_{соли1} = 72 \text{ г} \times \frac{5}{100} = 72 \times 0.05 = 3.6 \text{ г}$

2. Найдем массу соли во втором растворе. Пятнадцатипроцентный раствор массой 48 г содержит:

$m_{соли2} = 48 \text{ г} \times \frac{15}{100} = 48 \times 0.15 = 7.2 \text{ г}$

3. Теперь найдем общую массу соли в новом растворе, сложив массы соли из двух исходных растворов:

$m_{соли\_общая} = m_{соли1} + m_{соли2} = 3.6 \text{ г} + 7.2 \text{ г} = 10.8 \text{ г}$

4. Найдем общую массу полученного раствора, сложив массы двух исходных растворов:

$m_{раствора\_общая} = 72 \text{ г} + 48 \text{ г} = 120 \text{ г}$

5. Наконец, вычислим процентное содержание соли в полученном растворе. Для этого разделим общую массу соли на общую массу раствора и умножим результат на 100%:

$C = \frac{m_{соли\_общая}}{m_{раствора\_общая}} \times 100\% = \frac{10.8 \text{ г}}{120 \text{ г}} \times 100\% = 0.09 \times 100\% = 9\%$

Ответ: 9%.

533. Решите уравнение:

1) $\overline{1x} + \overline{2x} = \overline{x6}$;

2) $\overline{x4} + \overline{x8} = \overline{1x2}$.

1) $\overline{1x} + \overline{2x} = \overline{x6}$
В этом уравнении запись вида $\overline{ab}$ обозначает двузначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{ab} = 10a + b$. Здесь $x$ — это неизвестная цифра. Поскольку $x$ стоит в разряде десятков в числе $\overline{x6}$, $x$ не может быть равен 0.
Представим каждое число в уравнении в виде суммы его разрядных слагаемых:
$\overline{1x} = 1 \cdot 10 + x = 10 + x$
$\overline{2x} = 2 \cdot 10 + x = 20 + x$
$\overline{x6} = x \cdot 10 + 6 = 10x + 6$
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(10 + x) + (20 + x) = 10x + 6$
Упростим левую часть уравнения:
$30 + 2x = 10x + 6$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:
$30 - 6 = 10x - 2x$
$24 = 8x$
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$
Проверим найденное значение, подставив его в исходное уравнение:
$13 + 23 = 36$
$36 = 36$
Равенство выполняется, следовательно, решение верно.
Ответ: $x=3$.

2) $\overline{x4} + \overline{x8} = \overline{1x2}$
В этом уравнении $x$ также является цифрой. Так как $x$ стоит на первом месте в двузначных числах $\overline{x4}$ и $\overline{x8}$, то $x$ не может быть равен 0. Запись $\overline{abc}$ означает трехзначное число $\overline{abc} = 100a + 10b + c$.
Запишем числа в развернутом виде:
$\overline{x4} = x \cdot 10 + 4 = 10x + 4$
$\overline{x8} = x \cdot 10 + 8 = 10x + 8$
$\overline{1x2} = 1 \cdot 100 + x \cdot 10 + 2 = 100 + 10x + 2 = 102 + 10x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(10x + 4) + (10x + 8) = 102 + 10x$
Упростим левую часть:
$20x + 12 = 102 + 10x$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$20x - 10x = 102 - 12$
$10x = 90$
$x = \frac{90}{10}$
$x = 9$
Выполним проверку, подставив $x=9$ в исходное уравнение:
$94 + 98 = 192$
$192 = 192$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $x=9$.

534. Докажите тождество:

1) $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$,

2) $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$,

где $n$ - натуральное число.

1)

Для доказательства тождества $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$ преобразуем его правую часть к виду левой части. Для этого разложим основания степеней (12 и 9) на простые множители и воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^m = a^m b^m$, $(a^m)^k = a^{mk}$ и $a^m a^k = a^{m+k}$.

Преобразуем правую часть:

$12^{8n} \cdot 9^{12n} = (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n}$

Применяя свойства степеней, получаем:

$(2^2)^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{2 \cdot 12n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n+24n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n}$

Теперь сгруппируем множители так, чтобы получить основание 18:

$2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = (2 \cdot 3^2)^{16n} = (2 \cdot 9)^{16n} = 18^{16n}$

Таким образом, мы показали, что правая часть равна левой: $18^{16n} = 18^{16n}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$ поступим аналогично, преобразовав правую часть равенства.

Разложим основания 225 и 625 на простые множители:

$225 = 3^2 \cdot 5^2$

$625 = 5^4$

Подставим эти разложения в правую часть и преобразуем, используя свойства степеней:

$225^{4n} \cdot 625^{2n} = (3^2 \cdot 5^2)^{4n} \cdot (5^4)^{2n} = (3^2)^{4n} \cdot (5^2)^{4n} \cdot 5^{4 \cdot 2n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n+8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n}$

Сгруппируем множители для получения основания 75:

$3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = (3 \cdot 5^2)^{8n} = (3 \cdot 25)^{8n} = 75^{8n}$

Правая часть равна левой: $75^{8n} = 75^{8n}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

535. (Старинная греческая задача) Демохар¹ четвёртую часть жизни прожил мальчиком, пятую часть – юношей, третью часть – зрелым мужчиной и 13 лет – в годах. Сколько лет прожил Демохар?

Для решения этой задачи обозначим общую продолжительность жизни Демохара за $x$ лет. Тогда, согласно условию, можем выразить каждый период его жизни как долю от $x$.

• Время, прожитое мальчиком: $\frac{1}{4}x$
• Время, прожитое юношей: $\frac{1}{5}x$
• Время, прожитое зрелым мужчиной: $\frac{1}{3}x$
• Время, прожитое в преклонных годах: 13 лет

Сумма всех этих периодов составляет всю его жизнь, то есть $x$. Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 13 = x$

Перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения, чтобы выразить через них известную величину (13 лет):

$13 = x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{5}x - \frac{1}{3}x$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 5 и 3 равно 60. Вынесем $x$ за скобки:

$13 = x \left(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right)$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{60}{60} - \frac{15}{60} - \frac{12}{60} - \frac{20}{60} = \frac{60 - 15 - 12 - 20}{60} = \frac{13}{60}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$13 = x \cdot \frac{13}{60}$

Чтобы найти $x$, нужно 13 разделить на дробь $\frac{13}{60}$:

$x = 13 \div \frac{13}{60} = 13 \cdot \frac{60}{13}$

$x = 60$

Таким образом, Демохар прожил 60 лет.

Проверим результат:

• Мальчик: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ лет
• Юноша: $\frac{1}{5} \cdot 60 = 12$ лет
• Зрелый мужчина: $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ лет
• В годах: 13 лет

Сумма: $15 + 12 + 20 + 13 = 60$ лет. Все сходится.

Ответ: Демохар прожил 60 лет.