Номер 525, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 525, страница 91.

Условие.

525. Выбрали некоторые три последовательных натуральных числа. Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на этот вопрос, представим три последовательных натуральных числа в общем виде. Пусть среднее (второе) число равно $k$, где $k$ — натуральное число, большее 1 (чтобы первое число $k-1$ также было натуральным). Тогда первое число будет $k-1$, а третье — $k+1$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти разность между квадратом второго числа и произведением первого и третьего.

Квадрат второго числа:
$k^2$

Произведение первого и третьего чисел:
$(k-1)(k+1)$

Теперь составим выражение для их разности:
$k^2 - (k-1)(k+1)$

Упростим это выражение. Произведение $(k-1)(k+1)$ можно раскрыть с помощью формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$k^2 - (k^2 - 1^2) = k^2 - (k^2 - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$k^2 - k^2 + 1 = 1$

В результате вычислений мы получили число 1. Этот результат является постоянной величиной (константой) и не зависит от выбора числа $k$. Это означает, что для любой тройки последовательных натуральных чисел указанная разность всегда будет равна 1.

Для проверки можно взять несколько примеров:

• Числа: 2, 3, 4. Разность: $3^2 - (2 \cdot 4) = 9 - 8 = 1$.
• Числа: 9, 10, 11. Разность: $10^2 - (9 \cdot 11) = 100 - 99 = 1$.
• Числа: 50, 51, 52. Разность: $51^2 - (50 \cdot 52) = 2601 - 2600 = 1$.

Таким образом, разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего не зависит от выбора чисел.

Ответ: Нет, не зависит. Эта разность всегда равна 1.