Номер 520, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 520, страница 90.

Условие.

520. При всех ли натуральных значениях $n$ значение выражения $(n + 9) \times (n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ кратно 12?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы проверить, кратно ли значение выражения $(n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ числу 12 при всех натуральных $n$, необходимо это выражение упростить.

1. Раскроем скобки в каждом произведении, используя формулу $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$.

Первое произведение:

$(n + 9)(n + 11) = n \cdot n + n \cdot 11 + 9 \cdot n + 9 \cdot 11 = n^2 + 11n + 9n + 99 = n^2 + 20n + 99$

Второе произведение:

$(n + 3)(n + 5) = n \cdot n + n \cdot 5 + 3 \cdot n + 3 \cdot 5 = n^2 + 5n + 3n + 15 = n^2 + 8n + 15$

2. Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 20n + 99) - (n^2 + 8n + 15)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$n^2 + 20n + 99 - n^2 - 8n - 15$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (20n - 8n) + (99 - 15) = 0 + 12n + 84 = 12n + 84$

4. Проанализируем полученное выражение $12n + 84$ на делимость на 12. Для этого вынесем общий множитель за скобку.

$12n + 84 = 12 \cdot n + 12 \cdot 7 = 12(n + 7)$

По условию задачи $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Это означает, что сумма $(n+7)$ также всегда будет целым числом. Поскольку исходное выражение можно представить в виде произведения числа 12 и целого числа $(n+7)$, оно по определению делится на 12 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Да, при всех натуральных значениях $n$ значение данного выражения кратно 12.