Номер 515, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 515, страница 90.

Условие.

515. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Найдите сторону квадрата, если его площадь на 45 $см^2$ больше площади данного прямоугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим длину стороны квадрата через $x$ см.

Согласно условию задачи, сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника. Обозначим эту сторону прямоугольника как $a$. Тогда можно записать следующее соотношение:
$x = a - 3$
Из этого выражения можно выразить сторону $a$:
$a = x + 3$ см.

Также, по условию, сторона квадрата на 5 см больше другой стороны прямоугольника. Обозначим эту вторую сторону как $b$. Тогда:
$x = b + 5$
Отсюда выразим сторону $b$:
$b = x - 5$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат его стороны: $S_{кв} = x^2$.
Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{пр} = a \cdot b$.
Подставив полученные выражения для сторон $a$ и $b$, получим формулу для площади прямоугольника через $x$:
$S_{пр} = (x + 3)(x - 5)$.

В задаче сказано, что площадь квадрата на 45 см² больше площади данного прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения:
$S_{кв} = S_{пр} + 45$
Подставим выражения для площадей:
$x^2 = (x + 3)(x - 5) + 45$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x^2 = x^2 - 5x + 3x - 15 + 45$

Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 = x^2 - 2x + 30$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой. Для этого вычтем $x^2$ из обеих частей и прибавим $2x$:
$x^2 - x^2 + 2x = 30$
$2x = 30$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Таким образом, сторона квадрата равна 15 см.

Выполним проверку:
Если сторона квадрата $x = 15$ см, то его площадь $S_{кв} = 15^2 = 225$ см².
Стороны прямоугольника будут равны:
$a = x + 3 = 15 + 3 = 18$ см.
$b = x - 5 = 15 - 5 = 10$ см.
Площадь прямоугольника $S_{пр} = 18 \cdot 10 = 180$ см².
Разница площадей: $S_{кв} - S_{пр} = 225 - 180 = 45$ см².
Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 15 см.