Номер 510, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 510, страница 89.

Условие.

510. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ равно -11.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ при любом значении переменной равно -11, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки в первом произведении:

$(x - 3)(x^2 + 7) = x \cdot x^2 + x \cdot 7 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 7 = x^3 - 3x^2 + 7x - 21$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(x - 2)(x^2 - x + 5) = x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 5 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-x) - 2 \cdot 5 = x^3 - x^2 + 5x - 2x^2 + 2x - 10$.

Приведем подобные слагаемые в результате второго умножения:

$x^3 + (-x^2 - 2x^2) + (5x + 2x) - 10 = x^3 - 3x^2 + 7x - 10$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(x^3 - 3x^2 + 7x - 21) - (x^3 - 3x^2 + 7x - 10)$.

Раскроем скобки, помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$x^3 - 3x^2 + 7x - 21 - x^3 + 3x^2 - 7x + 10$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (7x - 7x) + (-21 + 10) = 0 + 0 + 0 - 11 = -11$.

Так как в результате преобразований получилось число -11, и переменная $x$ сократилась, то значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно -11, что и требовалось доказать.

Ответ: -11.