Номер 506, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 506, страница 89.

Условие.

506. Выполните умножение:

1) $(x + 2)(x - 1)(x - 4);$

2) $(2x + 1)(x + 5)(x - 6);$

3) $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x - 3);$

4) $(a + 2b - c)(a - 3b + 2c);$

5) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3);$

6) $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того, чтобы выполнить умножение $(x + 2)(x - 1)(x - 4)$, сначала перемножим первые две скобки:

$(x + 2)(x - 1) = x \cdot x - x \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$.

Теперь умножим полученный многочлен на третью скобку:

$(x^2 + x - 2)(x - 4) = x^2(x - 4) + x(x - 4) - 2(x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-4x^2 + x^2) + (-4x - 2x) + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

Ответ: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

2) Выполним умножение $(2x + 1)(x + 5)(x - 6)$. Сначала перемножим первые две скобки:

$(2x + 1)(x + 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot 5 + 1 \cdot x + 1 \cdot 5 = 2x^2 + 10x + x + 5 = 2x^2 + 11x + 5$.

Теперь умножим результат на третью скобку:

$(2x^2 + 11x + 5)(x - 6) = 2x^2(x - 6) + 11x(x - 6) + 5(x - 6) = 2x^3 - 12x^2 + 11x^2 - 66x + 5x - 30$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + (-12x^2 + 11x^2) + (-66x + 5x) - 30 = 2x^3 - x^2 - 61x - 30$.

Ответ: $2x^3 - x^2 - 61x - 30$.

3) Выполним умножение $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x - 3)$.

Заметим, что это выражение можно представить в виде формулы разности квадратов. Сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x^2 - (2x - 3))(x^2 + (2x - 3))$.

Воспользуемся формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x^2$ и $b = 2x - 3$.

Получаем: $(x^2)^2 - (2x - 3)^2 = x^4 - ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) = x^4 - (4x^2 - 12x + 9)$.

Раскроем скобки: $x^4 - 4x^2 + 12x - 9$.

Ответ: $x^4 - 4x^2 + 12x - 9$.

4) Выполним умножение $(a + 2b - c)(a - 3b + 2c)$.

Перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$a(a - 3b + 2c) + 2b(a - 3b + 2c) - c(a - 3b + 2c)$

$= (a^2 - 3ab + 2ac) + (2ab - 6b^2 + 4bc) - (ac - 3bc + 2c^2)$

$= a^2 - 3ab + 2ac + 2ab - 6b^2 + 4bc - ac + 3bc - 2c^2$.

Приведем подобные слагаемые и сгруппируем их:

$a^2 - 6b^2 - 2c^2 + (-3ab + 2ab) + (2ac - ac) + (4bc + 3bc) = a^2 - 6b^2 - 2c^2 - ab + ac + 7bc$.

Ответ: $a^2 - 6b^2 - 2c^2 - ab + ac + 7bc$.

5) Выполним умножение $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$.

Перемножим каждый член первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Ответ: $a^4 - b^4$.

6) Выполним умножение $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.

Это выражение является известной формулой разности степеней: $(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) = a^n - b^n$.

В нашем случае $a = x$, $b = 1$, и $n = 5$.

Следовательно, $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1^5 = x^5 - 1$.

Проверим это прямым умножением:

$x(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= x^5 + x^4 - x^4 + x^3 - x^3 + x^2 - x^2 + x - x - 1 = x^5 - 1$.

Ответ: $x^5 - 1$.