Номер 499, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 499, страница 88.

Условие.

499. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a+b)(c-d)$;

2) $(x-6)(x-4)$;

3) $(a-3)(a+7)$;

4) $(11-c)(c+8)$;

5) $(d+13)(2d-1)$;

6) $(3y-5)(2y-12)$;

7) $(2x^2-3)(x^2+4)$;

8) $(x-6)(x^2-2x+9)$;

9) $(5x-y)(2x^2+xy-3y^2)$;

10) $b(6b+7)(3b-4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы преобразовать произведение двух многочленов в многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Это правило также известно как распределительный закон.
$(a + b)(c - d) = a \cdot (c - d) + b \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd$.
В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это и есть итоговый многочлен.
Ответ: $ac - ad + bc - bd$.

2) Умножим многочлен $(x - 6)$ на $(x - 4)$:
$(x - 6)(x - 4) = x \cdot (x - 4) - 6 \cdot (x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-4) = x^2 - 4x - 6x + 24$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$-4x - 6x = -10x$.
Таким образом, выражение преобразуется в: $x^2 - 10x + 24$.
Ответ: $x^2 - 10x + 24$.

3) Умножим многочлен $(a - 3)$ на $(a + 7)$:
$(a - 3)(a + 7) = a \cdot (a + 7) - 3 \cdot (a + 7) = a \cdot a + a \cdot 7 - 3 \cdot a - 3 \cdot 7 = a^2 + 7a - 3a - 21$.
Приведем подобные слагаемые:
$7a - 3a = 4a$.
В результате получаем: $a^2 + 4a - 21$.
Ответ: $a^2 + 4a - 21$.

4) Умножим многочлен $(11 - c)$ на $(c + 8)$:
$(11 - c)(c + 8) = 11 \cdot (c + 8) - c \cdot (c + 8) = 11 \cdot c + 11 \cdot 8 - c \cdot c - c \cdot 8 = 11c + 88 - c^2 - 8c$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обычно многочлен записывают в порядке убывания степеней переменной:
$-c^2 + (11c - 8c) + 88 = -c^2 + 3c + 88$.
Ответ: $-c^2 + 3c + 88$.

5) Умножим многочлен $(d + 13)$ на $(2d - 1)$:
$(d + 13)(2d - 1) = d \cdot (2d - 1) + 13 \cdot (2d - 1) = d \cdot 2d + d \cdot (-1) + 13 \cdot 2d + 13 \cdot (-1) = 2d^2 - d + 26d - 13$.
Приведем подобные слагаемые:
$-d + 26d = 25d$.
В результате получаем: $2d^2 + 25d - 13$.
Ответ: $2d^2 + 25d - 13$.

6) Умножим многочлен $(3y - 5)$ на $(2y - 12)$:
$(3y - 5)(2y - 12) = 3y \cdot (2y - 12) - 5 \cdot (2y - 12) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot (-12) - 5 \cdot 2y - 5 \cdot (-12) = 6y^2 - 36y - 10y + 60$.
Приведем подобные слагаемые:
$-36y - 10y = -46y$.
В результате получаем: $6y^2 - 46y + 60$.
Ответ: $6y^2 - 46y + 60$.

7) Умножим многочлен $(2x^2 - 3)$ на $(x^2 + 4)$:
$(2x^2 - 3)(x^2 + 4) = 2x^2 \cdot (x^2 + 4) - 3 \cdot (x^2 + 4) = 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot 4 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4 = 2x^4 + 8x^2 - 3x^2 - 12$.
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 - 3x^2 = 5x^2$.
В результате получаем: $2x^4 + 5x^2 - 12$.
Ответ: $2x^4 + 5x^2 - 12$.

8) Умножим многочлен $(x - 6)$ на $(x^2 - 2x + 9)$:
$(x - 6)(x^2 - 2x + 9) = x \cdot (x^2 - 2x + 9) - 6 \cdot (x^2 - 2x + 9) = (x^3 - 2x^2 + 9x) - (6x^2 - 12x + 54)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^3 - 2x^2 + 9x - 6x^2 + 12x - 54 = x^3 + (-2x^2 - 6x^2) + (9x + 12x) - 54 = x^3 - 8x^2 + 21x - 54$.
Ответ: $x^3 - 8x^2 + 21x - 54$.

9) Умножим многочлен $(5x - y)$ на $(2x^2 + xy - 3y^2)$:
$(5x - y)(2x^2 + xy - 3y^2) = 5x(2x^2 + xy - 3y^2) - y(2x^2 + xy - 3y^2)$.
$ = (5x \cdot 2x^2 + 5x \cdot xy - 5x \cdot 3y^2) - (y \cdot 2x^2 + y \cdot xy - y \cdot 3y^2)$.
$ = (10x^3 + 5x^2y - 15xy^2) - (2x^2y + xy^2 - 3y^3)$.
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$10x^3 + 5x^2y - 15xy^2 - 2x^2y - xy^2 + 3y^3 = 10x^3 + (5x^2y - 2x^2y) + (-15xy^2 - xy^2) + 3y^3$.
$ = 10x^3 + 3x^2y - 16xy^2 + 3y^3$.
Ответ: $10x^3 + 3x^2y - 16xy^2 + 3y^3$.

10) В выражении $b(6b + 7)(3b - 4)$ три множителя. Удобнее сначала перемножить два многочлена в скобках, а затем результат умножить на одночлен $b$.
Шаг 1: Умножим $(6b + 7)$ на $(3b - 4)$.
$(6b + 7)(3b - 4) = 6b \cdot 3b + 6b \cdot (-4) + 7 \cdot 3b + 7 \cdot (-4) = 18b^2 - 24b + 21b - 28$.
Приведем подобные слагаемые: $18b^2 - 3b - 28$.
Шаг 2: Умножим полученный многочлен на $b$.
$b(18b^2 - 3b - 28) = b \cdot 18b^2 - b \cdot 3b - b \cdot 28 = 18b^3 - 3b^2 - 28b$.
Ответ: $18b^3 - 3b^2 - 28b$.