Вопрос, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - страница 88.

Условие.

Как умножить многочлен на многочлен?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. После этого, если есть подобные слагаемые, их нужно привести.

Общее правило

Если мы умножаем многочлен $(a + b)$ на многочлен $(c + d)$, то это делается по следующей формуле, основанной на распределительном законе:

$(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Этот же принцип работает для многочленов с любым количеством членов.

Пример 1: Умножение двух двучленов

Выполним умножение многочленов $(3x + 2)$ и $(2x - 1)$.

1. Умножаем первый член первого многочлена ($3x$) на каждый член второго:

$3x \cdot 2x = 6x^2$

$3x \cdot (-1) = -3x$

2. Умножаем второй член первого многочлена ($2$) на каждый член второго:

$2 \cdot 2x = 4x$

$2 \cdot (-1) = -2$

3. Складываем все полученные результаты и приводим подобные слагаемые (в данном случае $-3x$ и $4x$):

$(3x + 2)(2x - 1) = 6x^2 - 3x + 4x - 2 = 6x^2 + x - 2$

Ответ: $6x^2 + x - 2$

Пример 2: Умножение многочлена на трехчлен

Умножим многочлен $(y - 5)$ на многочлен $(y^2 + 2y - 3)$.

1. Умножаем первый член первого многочлена ($y$) на каждый член второго:

$y \cdot (y^2 + 2y - 3) = y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot (-3) = y^3 + 2y^2 - 3y$

2. Умножаем второй член первого многочлена ($-5$) на каждый член второго:

$-5 \cdot (y^2 + 2y - 3) = (-5) \cdot y^2 + (-5) \cdot 2y + (-5) \cdot (-3) = -5y^2 - 10y + 15$

3. Складываем полученные выражения и приводим подобные слагаемые:

$(y^3 + 2y^2 - 3y) + (-5y^2 - 10y + 15) = y^3 + 2y^2 - 5y^2 - 3y - 10y + 15$

Приводим подобные члены: $2y^2 - 5y^2 = -3y^2$ и $-3y - 10y = -13y$.

Итоговый результат:

$y^3 - 3y^2 - 13y + 15$

Ответ: $y^3 - 3y^2 - 13y + 15$