Номер 498, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 498, страница 88.

Условие.

498. Выполните умножение:

1) $(a - 2)(b + 5);$

2) $(m + n)(p - k);$

3) $(x - 8)(x + 4);$

4) $(x - 10)(x - 9);$

5) $(c + 5)(c + 8);$

6) $(3y + 1)(4y - 6);$

7) $(-2m - 3)(5 - m);$

8) $(5x^2 - x)(6x^2 + 4x);$

9) $(-c - 4)(c^3 + 3);$

10) $(x - 5)(x^2 + 4x - 3);$

11) $(2a + 3)(4a^2 - 4a + 3);$

12) $a(5a - 4)(3a - 2).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
$(a-2)(b+5) = a \cdot b + a \cdot 5 - 2 \cdot b - 2 \cdot 5 = ab + 5a - 2b - 10$.
Подобных слагаемых нет, поэтому это окончательный вид выражения.
Ответ: $ab + 5a - 2b - 10$.

2) Применяем правило умножения многочленов:
$(m+n)(p-k) = m \cdot p + m \cdot (-k) + n \cdot p + n \cdot (-k) = mp - mk + np - nk$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $mp - mk + np - nk$.

3) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(x-8)(x+4) = x \cdot x + x \cdot 4 - 8 \cdot x - 8 \cdot 4 = x^2 + 4x - 8x - 32$.
Складываем подобные члены ($4x$ и $-8x$):
$x^2 + (4-8)x - 32 = x^2 - 4x - 32$.
Ответ: $x^2 - 4x - 32$.

4) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(x-10)(x-9) = x \cdot x + x \cdot (-9) - 10 \cdot x - 10 \cdot (-9) = x^2 - 9x - 10x + 90$.
Складываем подобные члены ($-9x$ и $-10x$):
$x^2 + (-9-10)x + 90 = x^2 - 19x + 90$.
Ответ: $x^2 - 19x + 90$.

5) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(c+5)(c+8) = c \cdot c + c \cdot 8 + 5 \cdot c + 5 \cdot 8 = c^2 + 8c + 5c + 40$.
Складываем подобные члены ($8c$ и $5c$):
$c^2 + (8+5)c + 40 = c^2 + 13c + 40$.
Ответ: $c^2 + 13c + 40$.

6) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(3y+1)(4y-6) = 3y \cdot 4y + 3y \cdot (-6) + 1 \cdot 4y + 1 \cdot (-6) = 12y^2 - 18y + 4y - 6$.
Складываем подобные члены ($-18y$ и $4y$):
$12y^2 + (-18+4)y - 6 = 12y^2 - 14y - 6$.
Ответ: $12y^2 - 14y - 6$.

7) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(-2m-3)(5-m) = (-2m) \cdot 5 + (-2m) \cdot (-m) - 3 \cdot 5 - 3 \cdot (-m) = -10m + 2m^2 - 15 + 3m$.
Группируем члены и приводим подобные ($-10m$ и $3m$), располагая их по убыванию степеней:
$2m^2 - 10m + 3m - 15 = 2m^2 - 7m - 15$.
Ответ: $2m^2 - 7m - 15$.

8) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(5x^2-x)(6x^2+4x) = 5x^2 \cdot 6x^2 + 5x^2 \cdot 4x - x \cdot 6x^2 - x \cdot 4x = 30x^4 + 20x^3 - 6x^3 - 4x^2$.
Складываем подобные члены ($20x^3$ и $-6x^3$):
$30x^4 + (20-6)x^3 - 4x^2 = 30x^4 + 14x^3 - 4x^2$.
Ответ: $30x^4 + 14x^3 - 4x^2$.

9) Выполняем умножение:
$(-c-4)(c^3+3) = (-c) \cdot c^3 + (-c) \cdot 3 - 4 \cdot c^3 - 4 \cdot 3 = -c^4 - 3c - 4c^3 - 12$.
Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:
$-c^4 - 4c^3 - 3c - 12$.
Ответ: $-c^4 - 4c^3 - 3c - 12$.

10) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(x-5)(x^2+4x-3) = x \cdot (x^2+4x-3) - 5 \cdot (x^2+4x-3) = x \cdot x^2 + x \cdot 4x + x \cdot (-3) - 5 \cdot x^2 - 5 \cdot 4x - 5 \cdot (-3) = x^3 + 4x^2 - 3x - 5x^2 - 20x + 15$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$x^3 + (4x^2 - 5x^2) + (-3x - 20x) + 15 = x^3 - x^2 - 23x + 15$.
Ответ: $x^3 - x^2 - 23x + 15$.

11) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(2a+3)(4a^2-4a+3) = 2a \cdot (4a^2-4a+3) + 3 \cdot (4a^2-4a+3) = 8a^3 - 8a^2 + 6a + 12a^2 - 12a + 9$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$8a^3 + (-8a^2 + 12a^2) + (6a - 12a) + 9 = 8a^3 + 4a^2 - 6a + 9$.
Ответ: $8a^3 + 4a^2 - 6a + 9$.

12) Сначала выполним умножение выражений в скобках, а затем умножим результат на $a$:
$(5a-4)(3a-2) = 5a \cdot 3a + 5a \cdot (-2) - 4 \cdot 3a - 4 \cdot (-2) = 15a^2 - 10a - 12a + 8 = 15a^2 - 22a + 8$.
Теперь умножим полученный многочлен на $a$:
$a(15a^2 - 22a + 8) = a \cdot 15a^2 - a \cdot 22a + a \cdot 8 = 15a^3 - 22a^2 + 8a$.
Ответ: $15a^3 - 22a^2 + 8a$.