Номер 501, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 501, страница 89.

Условие.

501. Упростите выражение:

1) $ (a - 2)(a - 1) - a(a + 1); $

2) $ (b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8); $

3) $ (2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7); $

4) $ (3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d). $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(a - 2)(a - 1) - a(a + 1)$

Для упрощения выражения раскроем скобки. Сначала перемножим первые две скобки, затем вторую часть выражения.

$(a - 2)(a - 1) = a \cdot a - a \cdot 1 - 2 \cdot a - 2 \cdot (-1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$

$a(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 = a^2 + a$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 - 3a + 2) - (a^2 + a)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$a^2 - 3a + 2 - a^2 - a$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-3a - a) + 2 = 0 - 4a + 2 = -4a + 2$

Ответ: $-4a + 2$

2) $(b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(b - 5)(b + 10) = b^2 + 10b - 5b - 50 = b^2 + 5b - 50$

$(b + 6)(b - 8) = b^2 - 8b + 6b - 48 = b^2 - 2b - 48$

Теперь сложим полученные выражения:

$(b^2 + 5b - 50) + (b^2 - 2b - 48)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 5b - 50 + b^2 - 2b - 48 = (b^2 + b^2) + (5b - 2b) + (-50 - 48) = 2b^2 + 3b - 98$

Ответ: $2b^2 + 3b - 98$

3) $(2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7)$

Раскроем скобки в первой части выражения. Вторую часть упростим, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(2c + 3)(3c + 2) = 2c \cdot 3c + 2c \cdot 2 + 3 \cdot 3c + 3 \cdot 2 = 6c^2 + 4c + 9c + 6 = 6c^2 + 13c + 6$

$(2c + 7)(2c - 7) = (2c)^2 - 7^2 = 4c^2 - 49$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(6c^2 + 13c + 6) - (4c^2 - 49)$

Раскроем скобки, меняя знаки:

$6c^2 + 13c + 6 - 4c^2 + 49$

Приведем подобные слагаемые:

$(6c^2 - 4c^2) + 13c + (6 + 49) = 2c^2 + 13c + 55$

Ответ: $2c^2 + 13c + 55$

4) $(3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(3d + 5)(5d - 1) = 3d \cdot 5d - 3d \cdot 1 + 5 \cdot 5d - 5 \cdot 1 = 15d^2 - 3d + 25d - 5 = 15d^2 + 22d - 5$

$(6d - 3)(2 - 8d) = 6d \cdot 2 - 6d \cdot 8d - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-8d) = 12d - 48d^2 - 6 + 24d = -48d^2 + 36d - 6$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(15d^2 + 22d - 5) - (-48d^2 + 36d - 6)$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене:

$15d^2 + 22d - 5 + 48d^2 - 36d + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(15d^2 + 48d^2) + (22d - 36d) + (-5 + 6) = 63d^2 - 14d + 1$

Ответ: $63d^2 - 14d + 1$