Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

501. Упростите выражение:

1) $ (a - 2)(a - 1) - a(a + 1); $

2) $ (b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8); $

3) $ (2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7); $

4) $ (3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d). $

1) $(a - 2)(a - 1) - a(a + 1)$

Для упрощения выражения раскроем скобки. Сначала перемножим первые две скобки, затем вторую часть выражения.

$(a - 2)(a - 1) = a \cdot a - a \cdot 1 - 2 \cdot a - 2 \cdot (-1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$

$a(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 = a^2 + a$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 - 3a + 2) - (a^2 + a)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$a^2 - 3a + 2 - a^2 - a$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-3a - a) + 2 = 0 - 4a + 2 = -4a + 2$

Ответ: $-4a + 2$

2) $(b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(b - 5)(b + 10) = b^2 + 10b - 5b - 50 = b^2 + 5b - 50$

$(b + 6)(b - 8) = b^2 - 8b + 6b - 48 = b^2 - 2b - 48$

Теперь сложим полученные выражения:

$(b^2 + 5b - 50) + (b^2 - 2b - 48)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 5b - 50 + b^2 - 2b - 48 = (b^2 + b^2) + (5b - 2b) + (-50 - 48) = 2b^2 + 3b - 98$

Ответ: $2b^2 + 3b - 98$

3) $(2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7)$

Раскроем скобки в первой части выражения. Вторую часть упростим, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(2c + 3)(3c + 2) = 2c \cdot 3c + 2c \cdot 2 + 3 \cdot 3c + 3 \cdot 2 = 6c^2 + 4c + 9c + 6 = 6c^2 + 13c + 6$

$(2c + 7)(2c - 7) = (2c)^2 - 7^2 = 4c^2 - 49$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(6c^2 + 13c + 6) - (4c^2 - 49)$

Раскроем скобки, меняя знаки:

$6c^2 + 13c + 6 - 4c^2 + 49$

Приведем подобные слагаемые:

$(6c^2 - 4c^2) + 13c + (6 + 49) = 2c^2 + 13c + 55$

Ответ: $2c^2 + 13c + 55$

4) $(3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(3d + 5)(5d - 1) = 3d \cdot 5d - 3d \cdot 1 + 5 \cdot 5d - 5 \cdot 1 = 15d^2 - 3d + 25d - 5 = 15d^2 + 22d - 5$

$(6d - 3)(2 - 8d) = 6d \cdot 2 - 6d \cdot 8d - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-8d) = 12d - 48d^2 - 6 + 24d = -48d^2 + 36d - 6$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(15d^2 + 22d - 5) - (-48d^2 + 36d - 6)$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене:

$15d^2 + 22d - 5 + 48d^2 - 36d + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(15d^2 + 48d^2) + (22d - 36d) + (-5 + 6) = 63d^2 - 14d + 1$

Ответ: $63d^2 - 14d + 1$

502. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(x+2)(x-5)-(x-3)(x+4)$, если $x=-5,5$;

2) $(y+9)(y-2)+(3-y)(6+5y)$, если $y=-1\frac{1}{2}$.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(x+2)(x-5) - (x-3)(x+4) = (x \cdot x + x \cdot (-5) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-5)) - (x \cdot x + x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4)$

Выполним умножение в скобках:

$(x^2 - 5x + 2x - 10) - (x^2 + 4x - 3x - 12)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x^2 - 3x - 10) - (x^2 + x - 12)$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^2 - 3x - 10 - x^2 - x + 12$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x - x) + (-10 + 12) = 0 - 4x + 2 = -4x + 2$

Теперь, когда выражение упрощено до $-4x + 2$, подставим в него значение $x = -5,5$:

$-4 \cdot (-5,5) + 2 = 22 + 2 = 24$

Ответ: 24

2) Упростим выражение, раскрыв скобки путем перемножения многочленов:

$(y+9)(y-2) + (3-y)(6+5y) = (y \cdot y + y \cdot (-2) + 9 \cdot y + 9 \cdot (-2)) + (3 \cdot 6 + 3 \cdot 5y - y \cdot 6 - y \cdot 5y)$

Выполним умножение в скобках:

$(y^2 - 2y + 9y - 18) + (18 + 15y - 6y - 5y^2)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(y^2 + 7y - 18) + (-5y^2 + 9y + 18)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$y^2 + 7y - 18 - 5y^2 + 9y + 18$

$(y^2 - 5y^2) + (7y + 9y) + (-18 + 18) = -4y^2 + 16y$

Теперь подставим значение $y = -1\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение $-4y^2 + 16y$. Для удобства вычислений представим смешанное число в виде десятичной дроби $y = -1,5$.

$-4y^2 + 16y = -4 \cdot (-1,5)^2 + 16 \cdot (-1,5)$

Сначала возведем в квадрат: $(-1,5)^2 = 2,25$.

$-4 \cdot (2,25) + 16 \cdot (-1,5) = -9 - 24 = -33$

Можно также выполнить вычисления, представив $y = -1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби $y = -\frac{3}{2}$:

$-4 \cdot (-\frac{3}{2})^2 + 16 \cdot (-\frac{3}{2}) = -4 \cdot (\frac{9}{4}) - \frac{16 \cdot 3}{2} = -9 - 8 \cdot 3 = -9 - 24 = -33$

Ответ: -33

503. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(a + 3)(a - 10) - (a + 7)(a - 4)$, если $a = -0,01$;

2) $(8c + 12)(3c - 1) + (3c + 2)(-5c - 6)$, если $c = 1\frac{1}{3}$.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(a+3)(a-10) = a \cdot a + a \cdot (-10) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-10) = a^2 - 10a + 3a - 30 = a^2 - 7a - 30$.

$(a+7)(a-4) = a \cdot a + a \cdot (-4) + 7 \cdot a + 7 \cdot (-4) = a^2 - 4a + 7a - 28 = a^2 + 3a - 28$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(a^2 - 7a - 30) - (a^2 + 3a - 28) = a^2 - 7a - 30 - a^2 - 3a + 28$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-7a - 3a) + (-30 + 28) = -10a - 2$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -0,01$:

$-10a - 2 = -10 \cdot (-0,01) - 2 = 0,1 - 2 = -1,9$.

Ответ: -1,9.

2) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$(8c+12)(3c-1) = 8c \cdot 3c + 8c \cdot (-1) + 12 \cdot 3c + 12 \cdot (-1) = 24c^2 - 8c + 36c - 12 = 24c^2 + 28c - 12$.

$(3c+2)(-5c-6) = 3c \cdot (-5c) + 3c \cdot (-6) + 2 \cdot (-5c) + 2 \cdot (-6) = -15c^2 - 18c - 10c - 12 = -15c^2 - 28c - 12$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(24c^2 + 28c - 12) + (-15c^2 - 28c - 12) = 24c^2 + 28c - 12 - 15c^2 - 28c - 12$.

Приведем подобные слагаемые:

$(24c^2 - 15c^2) + (28c - 28c) + (-12 - 12) = 9c^2 - 24$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $c = 1\frac{1}{3}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $c = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Подставим значение $c$ в выражение:

$9c^2 - 24 = 9 \cdot (\frac{4}{3})^2 - 24 = 9 \cdot \frac{16}{9} - 24 = 16 - 24 = -8$.

Ответ: -8.

504. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)(4x + 3) - 8x^2 = 33;$

2) $(2x - 6)(8x + 5) + (3 - 4x)(3 + 4x) = 55;$

3) $21x^2 - (3x - 7)(7x - 3) = 37;$

4) $(x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x + 4) = 12;$

5) $(-4x + 1)(x - 1) - x = (5 - 2x)(2x + 3) - 17.$

1) $(2x - 3)(4x + 3) - 8x^2 = 33$

Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(2x - 3)$ и $(4x + 3)$:
$(2x \cdot 4x) + (2x \cdot 3) - (3 \cdot 4x) - (3 \cdot 3) - 8x^2 = 33$
$8x^2 + 6x - 12x - 9 - 8x^2 = 33$
Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(8x^2 - 8x^2) + (6x - 12x) - 9 = 33$
$-6x - 9 = 33$
Перенесем число $-9$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$-6x = 33 + 9$
$-6x = 42$
Разделим обе части уравнения на $-6$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{42}{-6}$
$x = -7$
Ответ: -7

2) $(2x - 6)(8x + 5) + (3 - 4x)(3 + 4x) = 55$

Раскроем скобки. Для первого произведения выполним перемножение многочленов. Второе произведение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=3$ и $b=4x$:
$(2x \cdot 8x + 2x \cdot 5 - 6 \cdot 8x - 6 \cdot 5) + (3^2 - (4x)^2) = 55$
$(16x^2 + 10x - 48x - 30) + (9 - 16x^2) = 55$
Теперь уберем скобки и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$16x^2 - 38x - 30 + 9 - 16x^2 = 55$
$(16x^2 - 16x^2) - 38x + (-30 + 9) = 55$
$-38x - 21 = 55$
Перенесем число $-21$ в правую часть с противоположным знаком:
$-38x = 55 + 21$
$-38x = 76$
Найдем $x$, разделив обе части на $-38$:
$x = \frac{76}{-38}$
$x = -2$
Ответ: -2

3) $21x^2 - (3x - 7)(7x - 3) = 37$

Раскроем скобки $(3x-7)(7x-3)$:
$21x^2 - (3x \cdot 7x + 3x \cdot (-3) - 7 \cdot 7x - 7 \cdot (-3)) = 37$
$21x^2 - (21x^2 - 9x - 49x + 21) = 37$
$21x^2 - (21x^2 - 58x + 21) = 37$
Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус", изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$21x^2 - 21x^2 + 58x - 21 = 37$
Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$58x - 21 = 37$
Перенесем $-21$ в правую часть:
$58x = 37 + 21$
$58x = 58$
$x = \frac{58}{58}$
$x = 1$
Ответ: 1

4) $(x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x + 4) = 12$

Раскроем скобки в обоих произведениях:
$(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x - 3x - 12) = 12$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:
$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x - 12) = 12$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные из-за знака "минус" перед ними:
$x^2 + 3x + 2 - x^2 - x + 12 = 12$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^2 - x^2) + (3x - x) + (2 + 12) = 12$
$2x + 14 = 12$
Перенесем $14$ в правую часть:
$2x = 12 - 14$
$2x = -2$
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$
Ответ: -1

5) $(-4x + 1)(x - 1) - x = (5 - 2x)(2x + 3) - 17$

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности.
Левая часть:
$(-4x + 1)(x - 1) - x = (-4x^2 + 4x + x - 1) - x = -4x^2 + 5x - 1 - x = -4x^2 + 4x - 1$
Правая часть:
$(5 - 2x)(2x + 3) - 17 = (10x + 15 - 4x^2 - 6x) - 17 = (-4x^2 + 4x + 15) - 17 = -4x^2 + 4x - 2$
Теперь приравняем упрощенные части:
$-4x^2 + 4x - 1 = -4x^2 + 4x - 2$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:
$-4x^2 + 4x^2 + 4x - 4x = -2 + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$0 = -1$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений

505. Решите уравнение:

1) $(2x - 1)(15 + 9x) - 6x(3x - 5) = 87;$

2) $(14x - 1)(2 + x) = (2x - 8)(7x + 1);$

3) $(x + 10)(x - 5) - (x - 6)(x + 3) = 16;$

4) $(3x + 7)(8x + 1) = (6x - 7)(4x - 1) + 93x.$

1) $(2x - 1)(15 + 9x) - 6x(3x - 5) = 87$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого перемножим многочлены и умножим одночлен на многочлен:

$(2x \cdot 15 + 2x \cdot 9x - 1 \cdot 15 - 1 \cdot 9x) - (6x \cdot 3x - 6x \cdot 5) = 87$

$(30x + 18x^2 - 15 - 9x) - (18x^2 - 30x) = 87$

Приведем подобные слагаемые внутри первых скобок и раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$18x^2 + 21x - 15 - 18x^2 + 30x = 87$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются ($18x^2 - 18x^2 = 0$):

$(21x + 30x) - 15 = 87$

$51x - 15 = 87$

Перенесем свободный член (-15) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$51x = 87 + 15$

$51x = 102$

Разделим обе части уравнения на 51, чтобы найти $x$:

$x = \frac{102}{51}$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $(14x - 1)(2 + x) = (2x - 8)(7x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножая многочлены:

Левая часть: $(14x - 1)(2 + x) = 14x \cdot 2 + 14x \cdot x - 1 \cdot 2 - 1 \cdot x = 28x + 14x^2 - 2 - x = 14x^2 + 27x - 2$

Правая часть: $(2x - 8)(7x + 1) = 2x \cdot 7x + 2x \cdot 1 - 8 \cdot 7x - 8 \cdot 1 = 14x^2 + 2x - 56x - 8 = 14x^2 - 54x - 8$

Приравняем полученные выражения:

$14x^2 + 27x - 2 = 14x^2 - 54x - 8$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Обратим внимание, что члены $14x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$27x + 54x = -8 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$81x = -6$

Найдем $x$:

$x = \frac{-6}{81}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{2}{27}$

Ответ: $-\frac{2}{27}$

3) $(x + 10)(x - 5) - (x - 6)(x + 3) = 16$

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x^2 - 5x + 10x - 50) - (x^2 + 3x - 6x - 18) = 16$

Упростим выражения внутри каждой пары скобок:

$(x^2 + 5x - 50) - (x^2 - 3x - 18) = 16$

Раскроем вторые скобки, помня о знаке "минус" перед ними (все знаки внутри изменятся на противоположные):

$x^2 + 5x - 50 - x^2 + 3x + 18 = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(5x + 3x) + (-50 + 18) = 16$

$8x - 32 = 16$

Перенесем -32 в правую часть с противоположным знаком:

$8x = 16 + 32$

$8x = 48$

Найдем $x$, разделив обе части на 8:

$x = \frac{48}{8}$

$x = 6$

Ответ: $6$

4) $(3x + 7)(8x + 1) = (6x - 7)(4x - 1) + 93x$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $(3x + 7)(8x + 1) = 24x^2 + 3x + 56x + 7 = 24x^2 + 59x + 7$

Правая часть: $(6x - 7)(4x - 1) + 93x = (24x^2 - 6x - 28x + 7) + 93x = 24x^2 - 34x + 7 + 93x = 24x^2 + 59x + 7$

Приравняем упрощенные части:

$24x^2 + 59x + 7 = 24x^2 + 59x + 7$

Мы видим, что левая и правая части уравнения абсолютно идентичны. Если мы перенесем все члены из правой части в левую, они взаимно уничтожатся:

$(24x^2 - 24x^2) + (59x - 59x) + (7 - 7) = 0$

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ — любое число

506. Выполните умножение:

1) $(x + 2)(x - 1)(x - 4);$

2) $(2x + 1)(x + 5)(x - 6);$

3) $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x - 3);$

4) $(a + 2b - c)(a - 3b + 2c);$

5) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3);$

6) $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).$

1) Для того, чтобы выполнить умножение $(x + 2)(x - 1)(x - 4)$, сначала перемножим первые две скобки:

$(x + 2)(x - 1) = x \cdot x - x \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$.

Теперь умножим полученный многочлен на третью скобку:

$(x^2 + x - 2)(x - 4) = x^2(x - 4) + x(x - 4) - 2(x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-4x^2 + x^2) + (-4x - 2x) + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

Ответ: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

2) Выполним умножение $(2x + 1)(x + 5)(x - 6)$. Сначала перемножим первые две скобки:

$(2x + 1)(x + 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot 5 + 1 \cdot x + 1 \cdot 5 = 2x^2 + 10x + x + 5 = 2x^2 + 11x + 5$.

Теперь умножим результат на третью скобку:

$(2x^2 + 11x + 5)(x - 6) = 2x^2(x - 6) + 11x(x - 6) + 5(x - 6) = 2x^3 - 12x^2 + 11x^2 - 66x + 5x - 30$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + (-12x^2 + 11x^2) + (-66x + 5x) - 30 = 2x^3 - x^2 - 61x - 30$.

Ответ: $2x^3 - x^2 - 61x - 30$.

3) Выполним умножение $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x - 3)$.

Заметим, что это выражение можно представить в виде формулы разности квадратов. Сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x^2 - (2x - 3))(x^2 + (2x - 3))$.

Воспользуемся формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x^2$ и $b = 2x - 3$.

Получаем: $(x^2)^2 - (2x - 3)^2 = x^4 - ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) = x^4 - (4x^2 - 12x + 9)$.

Раскроем скобки: $x^4 - 4x^2 + 12x - 9$.

Ответ: $x^4 - 4x^2 + 12x - 9$.

4) Выполним умножение $(a + 2b - c)(a - 3b + 2c)$.

Перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$a(a - 3b + 2c) + 2b(a - 3b + 2c) - c(a - 3b + 2c)$

$= (a^2 - 3ab + 2ac) + (2ab - 6b^2 + 4bc) - (ac - 3bc + 2c^2)$

$= a^2 - 3ab + 2ac + 2ab - 6b^2 + 4bc - ac + 3bc - 2c^2$.

Приведем подобные слагаемые и сгруппируем их:

$a^2 - 6b^2 - 2c^2 + (-3ab + 2ab) + (2ac - ac) + (4bc + 3bc) = a^2 - 6b^2 - 2c^2 - ab + ac + 7bc$.

Ответ: $a^2 - 6b^2 - 2c^2 - ab + ac + 7bc$.

5) Выполним умножение $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$.

Перемножим каждый член первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Ответ: $a^4 - b^4$.

6) Выполним умножение $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.

Это выражение является известной формулой разности степеней: $(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) = a^n - b^n$.

В нашем случае $a = x$, $b = 1$, и $n = 5$.

Следовательно, $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1^5 = x^5 - 1$.

Проверим это прямым умножением:

$x(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= x^5 + x^4 - x^4 + x^3 - x^3 + x^2 - x^2 + x - x - 1 = x^5 - 1$.

Ответ: $x^5 - 1$.

507. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a + 1)(a - 2)(a - 3);$

2) $(3a - 2)(a + 3)(a - 7);$

3) $(a^2 - 2a + 1)(a^2 + 3a - 2);$

4) $(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1).$

1) Чтобы преобразовать выражение $(a+1)(a-2)(a-3)$ в многочлен, сначала перемножим первые две скобки:
$(a+1)(a-2) = a \cdot a + a \cdot (-2) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.
Теперь умножим полученный многочлен на оставшуюся скобку $(a-3)$:
$(a^2 - a - 2)(a-3) = a^2(a-3) - a(a-3) - 2(a-3) = a^3 - 3a^2 - a^2 + 3a - 2a + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-3a^2 - a^2) + (3a - 2a) + 6 = a^3 - 4a^2 + a + 6$.
Ответ: $a^3 - 4a^2 + a + 6$.

2) Для преобразования выражения $(3a-2)(a+3)(a-7)$ в многочлен, начнем с умножения последних двух скобок:
$(a+3)(a-7) = a \cdot a + a \cdot (-7) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-7) = a^2 - 7a + 3a - 21 = a^2 - 4a - 21$.
Далее, умножим результат на первую скобку $(3a-2)$:
$(3a-2)(a^2 - 4a - 21) = 3a(a^2 - 4a - 21) - 2(a^2 - 4a - 21) = 3a^3 - 12a^2 - 63a - 2a^2 + 8a + 42$.
Приведем подобные слагаемые:
$3a^3 + (-12a^2 - 2a^2) + (-63a + 8a) + 42 = 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$.
Ответ: $3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$.

3) Чтобы преобразовать выражение $(a^2-2a+1)(a^2+3a-2)$, нужно перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a^2-2a+1)(a^2+3a-2) = a^2(a^2+3a-2) - 2a(a^2+3a-2) + 1(a^2+3a-2)$.
Раскроем скобки:
$(a^4 + 3a^3 - 2a^2) + (-2a^3 - 6a^2 + 4a) + (a^2 + 3a - 2)$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^4 + (3a^3 - 2a^3) + (-2a^2 - 6a^2 + a^2) + (4a + 3a) - 2 = a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$.
Ответ: $a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$.

4) В выражении $(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$ можно заметить формулу суммы пятых степеней: $x^5+y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$.
В данном случае $x=a$ и $y=1$, поэтому выражение сворачивается в:
$(a+1)(a^4-a^3 \cdot 1 + a^2 \cdot 1^2 - a \cdot 1^3 + 1^4) = a^5 + 1^5 = a^5 + 1$.
Для проверки можно выполнить умножение почленно:
$a(a^4-a^3+a^2-a+1) + 1(a^4-a^3+a^2-a+1) = (a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a) + (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Приведем подобные члены:
$a^5 + (-a^4+a^4) + (a^3-a^3) + (-a^2+a^2) + (a-a) + 1 = a^5 + 1$.
Ответ: $a^5+1$.

508. Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:

1) $(a+5)^2;$

2) $(4-3b)^2;$

3) $(a+b+c)^2;$

4) $(a-b)^3.$

1)

Сначала заменим степень $(a+5)^2$ на произведение одинаковых множителей:
$(a+5)^2 = (a+5)(a+5)$

Затем преобразуем это произведение в многочлен, раскрыв скобки. Для этого каждый член первой скобки умножим на каждый член второй скобки:
$(a+5)(a+5) = a \cdot a + a \cdot 5 + 5 \cdot a + 5 \cdot 5 = a^2 + 5a + 5a + 25$

Приведем подобные слагаемые ($5a$ и $5a$):
$a^2 + (5a + 5a) + 25 = a^2 + 10a + 25$

Ответ: $a^2 + 10a + 25$

2)

Заменим степень $(4-3b)^2$ на произведение:
$(4-3b)^2 = (4-3b)(4-3b)$

Преобразуем произведение в многочлен, раскрыв скобки:
$(4-3b)(4-3b) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-3b) - 3b \cdot 4 - 3b \cdot (-3b) = 16 - 12b - 12b + 9b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-12b$ и $-12b$):
$16 - 24b + 9b^2$

Для стандартного вида запишем члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $b$:
$9b^2 - 24b + 16$

Ответ: $9b^2 - 24b + 16$

3)

Заменим степень $(a+b+c)^2$ на произведение:
$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Преобразуем произведение в многочлен. Умножим каждый член первого многочлена $(a+b+c)$ на каждый член второго:
$a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = (a^2 + ab + ac) + (ba + b^2 + bc) + (ca + cb + c^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые, помня, что $ab=ba$, $ac=ca$, $bc=cb$:
$a^2 + b^2 + c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

4)

Заменим степень $(a-b)^3$ на произведение:
$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)$

Выполним умножение пошагово. Сначала перемножим первые два множителя:
$(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(a-b)$:
$(a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

509. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x + 3)(x^2 - 4x + 7) - (x^2 - 5)(x - 1)$ равно 16.

Чтобы доказать, что значение выражения $(x+3)(x^2-4x+7)-(x^2-5)(x-1)$ равно 16 при любом значении переменной, необходимо упростить это выражение.

1. Сначала раскроем скобки в первом произведении $(x+3)(x^2-4x+7)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(x+3)(x^2-4x+7) = x \cdot (x^2-4x+7) + 3 \cdot (x^2-4x+7) = x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 12x + 21$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-4x^2 + 3x^2) + (7x - 12x) + 21 = x^3 - x^2 - 5x + 21$

2. Теперь раскроем скобки во втором произведении $(x^2-5)(x-1)$:
$(x^2-5)(x-1) = x^2 \cdot (x-1) - 5 \cdot (x-1) = (x^3 - x^2) - (5x - 5) = x^3 - x^2 - 5x + 5$

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:
$(x^3 - x^2 - 5x + 21) - (x^3 - x^2 - 5x + 5)$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов на противоположные:
$x^3 - x^2 - 5x + 21 - x^3 + x^2 + 5x - 5$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-x^2 + x^2) + (-5x + 5x) + (21 - 5) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$

В результате упрощения все члены, содержащие переменную $x$, сократились, и мы получили число 16. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной и всегда равно 16.

Ответ: утверждение доказано, так как значение выражения тождественно равно 16.

510. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ равно -11.

Чтобы доказать, что значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ при любом значении переменной равно -11, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки в первом произведении:

$(x - 3)(x^2 + 7) = x \cdot x^2 + x \cdot 7 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 7 = x^3 - 3x^2 + 7x - 21$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(x - 2)(x^2 - x + 5) = x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 5 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-x) - 2 \cdot 5 = x^3 - x^2 + 5x - 2x^2 + 2x - 10$.

Приведем подобные слагаемые в результате второго умножения:

$x^3 + (-x^2 - 2x^2) + (5x + 2x) - 10 = x^3 - 3x^2 + 7x - 10$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(x^3 - 3x^2 + 7x - 21) - (x^3 - 3x^2 + 7x - 10)$.

Раскроем скобки, помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$x^3 - 3x^2 + 7x - 21 - x^3 + 3x^2 - 7x + 10$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (7x - 7x) + (-21 + 10) = 0 + 0 + 0 - 11 = -11$.

Так как в результате преобразований получилось число -11, и переменная $x$ сократилась, то значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно -11, что и требовалось доказать.

Ответ: -11.