Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

461. Выполните умножение:

1) $3x(4x^2 - x);$

2) $-5a^2(a^2 - 6a - 3);$

3) $(8b^2 - 10b + 2) \cdot 0,5b;$

4) $x^3(x^5 - x^2 + 7x - 1);$

5) $-2c^2d^4(4c^2 - c^3d + 5d^4);$

6) $(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6) \cdot (-4m^2n^8).$

1) Чтобы умножить одночлен $3x$ на многочлен $(4x^2 - x)$, мы применяем распределительный закон: умножаем одночлен на каждый член многочлена и затем складываем результаты.

$3x(4x^2 - x) = (3x \cdot 4x^2) - (3x \cdot x)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $3x \cdot 4x^2 = (3 \cdot 4) \cdot (x^1 \cdot x^2) = 12x^{1+2} = 12x^3$.

Второй член: $3x \cdot x = 3x^1 \cdot x^1 = 3x^{1+1} = 3x^2$.

Объединяем результаты: $12x^3 - 3x^2$.

Ответ: $12x^3 - 3x^2$

2) Умножим одночлен $-5a^2$ на каждый член многочлена $(a^2 - 6a - 3)$ по распределительному закону.

$-5a^2(a^2 - 6a - 3) = (-5a^2 \cdot a^2) - (-5a^2 \cdot 6a) - (-5a^2 \cdot 3)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $-5a^2 \cdot a^2 = -5a^{2+2} = -5a^4$.

Второй член: $-5a^2 \cdot (-6a) = (-5 \cdot -6) \cdot (a^2 \cdot a) = 30a^{2+1} = 30a^3$.

Третий член: $-5a^2 \cdot (-3) = (-5 \cdot -3) \cdot a^2 = 15a^2$.

Складываем полученные выражения: $-5a^4 + 30a^3 + 15a^2$.

Ответ: $-5a^4 + 30a^3 + 15a^2$

3) Умножим каждый член многочлена $(8b^2 - 10b + 2)$ на одночлен $0,5b$.

$(8b^2 - 10b + 2) \cdot 0,5b = (8b^2 \cdot 0,5b) - (10b \cdot 0,5b) + (2 \cdot 0,5b)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $8b^2 \cdot 0,5b = (8 \cdot 0,5) \cdot (b^2 \cdot b) = 4b^3$.

Второй член: $-10b \cdot 0,5b = (-10 \cdot 0,5) \cdot (b \cdot b) = -5b^2$.

Третий член: $2 \cdot 0,5b = (2 \cdot 0,5) \cdot b = 1b = b$.

Собираем результат: $4b^3 - 5b^2 + b$.

Ответ: $4b^3 - 5b^2 + b$

4) Применим распределительный закон для умножения одночлена $x^3$ на многочлен $(x^5 - x^2 + 7x - 1)$.

$x^3(x^5 - x^2 + 7x - 1) = (x^3 \cdot x^5) - (x^3 \cdot x^2) + (x^3 \cdot 7x) - (x^3 \cdot 1)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого, помня, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

Первый член: $x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$.

Второй член: $-x^3 \cdot x^2 = -x^{3+2} = -x^5$.

Третий член: $x^3 \cdot 7x = 7x^{3+1} = 7x^4$.

Четвертый член: $-x^3 \cdot 1 = -x^3$.

Объединяем все члены: $x^8 - x^5 + 7x^4 - x^3$.

Ответ: $x^8 - x^5 + 7x^4 - x^3$

5) Умножим одночлен $-2c^2d^4$ на каждый член многочлена $(4c^2 - c^3d + 5d^4)$.

$-2c^2d^4(4c^2 - c^3d + 5d^4) = (-2c^2d^4 \cdot 4c^2) - (-2c^2d^4 \cdot c^3d) + (-2c^2d^4 \cdot 5d^4)$

Вычисляем каждое произведение:

Первый член: $-2c^2d^4 \cdot 4c^2 = (-2 \cdot 4) \cdot (c^2 \cdot c^2) \cdot d^4 = -8c^4d^4$.

Второй член: $-2c^2d^4 \cdot (-c^3d) = (-2 \cdot -1) \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot (d^4 \cdot d) = 2c^5d^5$.

Третий член: $-2c^2d^4 \cdot 5d^4 = (-2 \cdot 5) \cdot c^2 \cdot (d^4 \cdot d^4) = -10c^2d^8$.

Складываем результаты и для удобства располагаем в порядке убывания степени переменной $c$: $2c^5d^5 - 8c^4d^4 - 10c^2d^8$.

Ответ: $2c^5d^5 - 8c^4d^4 - 10c^2d^8$

6) Умножим каждый член многочлена $(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6)$ на одночлен $(-4m^2n^8)$.

$(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6) \cdot (-4m^2n^8) = (5m^3n \cdot (-4m^2n^8)) - (8mn^2 \cdot (-4m^2n^8)) - (2n^6 \cdot (-4m^2n^8))$

Вычисляем каждое произведение:

Первый член: $5m^3n \cdot (-4m^2n^8) = (5 \cdot -4) \cdot (m^3 \cdot m^2) \cdot (n^1 \cdot n^8) = -20m^5n^9$.

Второй член: $-8mn^2 \cdot (-4m^2n^8) = (-8 \cdot -4) \cdot (m^1 \cdot m^2) \cdot (n^2 \cdot n^8) = 32m^3n^{10}$.

Третий член: $-2n^6 \cdot (-4m^2n^8) = (-2 \cdot -4) \cdot m^2 \cdot (n^6 \cdot n^8) = 8m^2n^{14}$.

Собираем итоговое выражение: $-20m^5n^9 + 32m^3n^{10} + 8m^2n^{14}$.

Ответ: $-20m^5n^9 + 32m^3n^{10} + 8m^2n^{14}$

462. Упростите выражение:

1) $8x - 2x(3x + 4)$;

2) $7a^2 + 3a(9 - 5a)$;

3) $6x(4x - 7) - 12(2x^2 + 1)$;

4) $c(c^2 - 1) + c^2(c - 1)$;

5) $2m(m - 3n) + m(5m + 11n)$;

6) $8x(x^2 + y^2) - 9x(x^2 - y^2)$;

7) $5b^3(2b - 3) - 2.5b^3(4b - 6)$;

8) $x(5x^2 + 6x + 8) - 4x(2 + 2x + x^2)$.

1) Чтобы упростить выражение $8x - 2x(3x + 4)$, сначала раскроем скобки, умножив $-2x$ на каждый член в скобках с помощью распределительного свойства:
$8x - 2x \cdot 3x - 2x \cdot 4 = 8x - 6x^2 - 8x$
Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $8x$ и $-8x$ взаимно уничтожаются:
$(8x - 8x) - 6x^2 = 0 - 6x^2 = -6x^2$
Ответ: $-6x^2$

2) Упростим выражение $7a^2 + 3a(9 - 5a)$. Раскроем скобки, умножив $3a$ на каждый член в скобках:
$7a^2 + 3a \cdot 9 + 3a \cdot (-5a) = 7a^2 + 27a - 15a^2$
Приведем подобные слагаемые ($7a^2$ и $-15a^2$):
$(7a^2 - 15a^2) + 27a = -8a^2 + 27a$
Ответ: $-8a^2 + 27a$

3) Рассмотрим выражение $6x(4x - 7) - 12(2x^2 + 1)$. Раскроем обе скобки:
$(6x \cdot 4x - 6x \cdot 7) - (12 \cdot 2x^2 + 12 \cdot 1) = (24x^2 - 42x) - (24x^2 + 12)$
$24x^2 - 42x - 24x^2 - 12$
Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $24x^2$ и $-24x^2$ взаимно уничтожаются:
$(24x^2 - 24x^2) - 42x - 12 = -42x - 12$
Ответ: $-42x - 12$

4) Упростим выражение $c(c^2 - 1) + c^2(c - 1)$. Раскроем обе скобки:
$(c \cdot c^2 - c \cdot 1) + (c^2 \cdot c - c^2 \cdot 1) = (c^3 - c) + (c^3 - c^2)$
$c^3 - c + c^3 - c^2$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $c$:
$(c^3 + c^3) - c^2 - c = 2c^3 - c^2 - c$
Ответ: $2c^3 - c^2 - c$

5) Упростим выражение $2m(m - 3n) + m(5m + 11n)$. Раскроем скобки в обоих слагаемых:
$(2m \cdot m - 2m \cdot 3n) + (m \cdot 5m + m \cdot 11n) = (2m^2 - 6mn) + (5m^2 + 11mn)$
$2m^2 - 6mn + 5m^2 + 11mn$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2m^2 + 5m^2) + (-6mn + 11mn) = 7m^2 + 5mn$
Ответ: $7m^2 + 5mn$

6) Рассмотрим выражение $8x(x^2 + y^2) - 9x(x^2 - y^2)$. Раскроем обе скобки:
$(8x \cdot x^2 + 8x \cdot y^2) - (9x \cdot x^2 - 9x \cdot y^2) = (8x^3 + 8xy^2) - (9x^3 - 9xy^2)$
$8x^3 + 8xy^2 - 9x^3 + 9xy^2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(8x^3 - 9x^3) + (8xy^2 + 9xy^2) = -x^3 + 17xy^2$
Ответ: $-x^3 + 17xy^2$

7) Упростим выражение $5b^3(2b - 3) - 2,5b^3(4b - 6)$. Сначала раскроем скобки:
$(5b^3 \cdot 2b - 5b^3 \cdot 3) - (2,5b^3 \cdot 4b - 2,5b^3 \cdot 6) = (10b^4 - 15b^3) - (10b^4 - 15b^3)$
$10b^4 - 15b^3 - 10b^4 + 15b^3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(10b^4 - 10b^4) + (-15b^3 + 15b^3) = 0 + 0 = 0$
Альтернативный способ: заметим, что во второй скобке можно вынести за скобки общий множитель 2.
$5b^3(2b - 3) - 2,5b^3 \cdot 2(2b - 3) = 5b^3(2b - 3) - 5b^3(2b - 3) = 0$
Ответ: $0$

8) Упростим выражение $x(5x^2 + 6x + 8) - 4x(2 + 2x + x^2)$. Раскроем обе скобки:
$(x \cdot 5x^2 + x \cdot 6x + x \cdot 8) - (4x \cdot 2 + 4x \cdot 2x + 4x \cdot x^2)$
$(5x^3 + 6x^2 + 8x) - (8x + 8x^2 + 4x^3)$
$5x^3 + 6x^2 + 8x - 8x - 8x^2 - 4x^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5x^3 - 4x^3) + (6x^2 - 8x^2) + (8x - 8x) = x^3 - 2x^2 + 0 = x^3 - 2x^2$
Ответ: $x^3 - 2x^2$

463. Упростите выражение:

1) $7x(x - 4) - x(6 - x);$

2) $5ab(4a + 3b) - 10a^2(2b - 4);$

3) $xy(2x - 11y) - x(xy + 14y^2);$

4) $5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12).$

1) Для упрощения выражения $7x(x - 4) - x(6 - x)$ необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $a(b \pm c) = ab \pm ac$:
$7x(x - 4) = 7x \cdot x - 7x \cdot 4 = 7x^2 - 28x$
$-x(6 - x) = -x \cdot 6 - x \cdot (-x) = -6x + x^2$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:
$7x^2 - 28x - 6x + x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$(7x^2 + x^2) + (-28x - 6x)$
Выполним сложение в каждой группе:
$8x^2 - 34x$
Ответ: $8x^2 - 34x$

2) Для упрощения выражения $5ab(4a + 3b) - 10a^2(2b - 4)$ раскроем скобки в каждом из двух слагаемых.
Для первого слагаемого:
$5ab(4a + 3b) = 5ab \cdot 4a + 5ab \cdot 3b = 20a^2b + 15ab^2$
Для второго слагаемого (обращаем внимание на знак "минус" перед ним):
$-10a^2(2b - 4) = -10a^2 \cdot 2b - 10a^2 \cdot (-4) = -20a^2b + 40a^2$
Теперь сложим полученные результаты:
$20a^2b + 15ab^2 - 20a^2b + 40a^2$
Приведем подобные слагаемые. Члены $20a^2b$ и $-20a^2b$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются.
$(20a^2b - 20a^2b) + 15ab^2 + 40a^2 = 0 + 15ab^2 + 40a^2$
Итоговое упрощенное выражение:
$15ab^2 + 40a^2$
Ответ: $15ab^2 + 40a^2$

3) Для упрощения выражения $xy(2x - 11y) - x(xy + 14y^2)$ последовательно раскроем скобки.
$xy(2x - 11y) = xy \cdot 2x - xy \cdot 11y = 2x^2y - 11xy^2$
$-x(xy + 14y^2) = -x \cdot xy - x \cdot 14y^2 = -x^2y - 14xy^2$
Объединим все члены вместе:
$2x^2y - 11xy^2 - x^2y - 14xy^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Отдельно сгруппируем члены, содержащие $x^2y$, и члены, содержащие $xy^2$.
$(2x^2y - x^2y) + (-11xy^2 - 14xy^2)$
Выполним действия в каждой группе:
$x^2y - 25xy^2$
Ответ: $x^2y - 25xy^2$

4) Для упрощения выражения $5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12)$ раскроем скобки.
$5c^3(4c - 3) = 5c^3 \cdot 4c - 5c^3 \cdot 3 = 20c^4 - 15c^3$
$-2c^2(8c^2 - 12) = -2c^2 \cdot 8c^2 - 2c^2 \cdot (-12) = -16c^4 + 24c^2$
Теперь запишем все члены вместе и приведем подобные:
$20c^4 - 15c^3 - 16c^4 + 24c^2$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями переменной $c$:
$(20c^4 - 16c^4) - 15c^3 + 24c^2$
Выполним вычитание для членов с $c^4$:
$4c^4 - 15c^3 + 24c^2$
Ответ: $4c^4 - 15c^3 + 24c^2$

464. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $3x(2x - 5) - 8x(4x - 3)$, если $x = -1$;

2) $2x(14x^2 - x + 5) + 4x(2,5 + 3x - 7x^2)$, если $x = 7$;

3) $8ab(a^2 - 2b^2) - 7a(a^2b - 3b^3)$, если $a = -3, b = 2$.

1) Сначала упростим данное выражение $3x(2x - 5) - 8x(4x - 3)$.

Для этого раскроем скобки, умножив одночлены на многочлены:

$3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 - (8x \cdot 4x - 8x \cdot 3) = 6x^2 - 15x - (32x^2 - 24x)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$6x^2 - 15x - 32x^2 + 24x$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(6x^2 - 32x^2) + (-15x + 24x) = -26x^2 + 9x$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим значение $x = -1$:

$-26(-1)^2 + 9(-1) = -26(1) - 9 = -26 - 9 = -35$

Ответ: -35

2) Упростим выражение $2x(14x^2 - x + 5) + 4x(2.5 + 3x - 7x^2)$.

Раскроем скобки:

$(2x \cdot 14x^2 - 2x \cdot x + 2x \cdot 5) + (4x \cdot 2.5 + 4x \cdot 3x - 4x \cdot 7x^2)$

Выполним умножение:

$(28x^3 - 2x^2 + 10x) + (10x + 12x^2 - 28x^3)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(28x^3 - 28x^3) + (-2x^2 + 12x^2) + (10x + 10x) = 0 + 10x^2 + 20x = 10x^2 + 20x$

Подставим значение $x = 7$ в полученное упрощенное выражение:

$10(7)^2 + 20(7) = 10 \cdot 49 + 140 = 490 + 140 = 630$

Ответ: 630

3) Упростим выражение $8ab(a^2 - 2b^2) - 7a(a^2b - 3b^3)$.

Раскроем скобки:

$(8ab \cdot a^2 - 8ab \cdot 2b^2) - (7a \cdot a^2b - 7a \cdot 3b^3) = (8a^3b - 16ab^3) - (7a^3b - 21ab^3)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$8a^3b - 16ab^3 - 7a^3b + 21ab^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(8a^3b - 7a^3b) + (-16ab^3 + 21ab^3) = a^3b + 5ab^3$

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = 2$ в упрощенное выражение:

$(-3)^3 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) \cdot (2)^3 = (-27) \cdot 2 + 5 \cdot (-3) \cdot 8 = -54 - 15 \cdot 8 = -54 - 120 = -174$

Ответ: -174

465. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $6x(6x - 4) + 9x(3 - 4x)$, если $x = -\frac{1}{9}$;

2) $2m(m - n) - n(3m - n) - n(n + 6)$, если $m = -4$, $n = 0,5$.

466. Решите уравнение:

1) $5x(3x - 2) - 15x(4 + x) = 140;$

2) $1.2x(4 + 5x) = 3x(2x + 1) - 9;$

3) $6x(7x - 8) - 2x(21x - 6) = 3 - 30x;$

4) $12x - 3x(6x - 9) = 9x(4 - 2x) + 3x;$

5) $7x^2 - x(7x - 5) - 2(2.5x + 1) - 3 = 0;$

6) $8(x^2 - 4) - 4x(3.5x - 7) = 20x - 6x^2.$

1) $5x(3x - 2) - 15x(4 + x) = 140$. Раскроем скобки в левой части уравнения: $5x \cdot 3x + 5x \cdot (-2) - 15x \cdot 4 - 15x \cdot x = 140$, что дает $15x^2 - 10x - 60x - 15x^2 = 140$. Приведем подобные слагаемые: $(15x^2 - 15x^2) + (-10x - 60x) = 140$. Уравнение упрощается до $-70x = 140$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на -70: $x = \frac{140}{-70}$. $x = -2$.
Ответ: -2.

2) $1,2x(4 + 5x) = 3x(2x + 1) - 9$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $1,2x \cdot 4 + 1,2x \cdot 5x = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 1 - 9$, что дает $4,8x + 6x^2 = 6x^2 + 3x - 9$. Перенесем слагаемые с $x^2$ и $x$ в левую часть. Слагаемые $6x^2$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются: $4,8x + 6x^2 - 6x^2 - 3x = -9$. Приведем подобные слагаемые: $1,8x = -9$. Найдем $x$, разделив обе части на 1,8: $x = \frac{-9}{1,8}$. $x = -5$.
Ответ: -5.

3) $6x(7x - 8) - 2x(21x - 6) = 3 - 30x$. Раскроем скобки в левой части: $6x \cdot 7x + 6x \cdot (-8) - 2x \cdot 21x - 2x \cdot (-6) = 3 - 30x$, что дает $42x^2 - 48x - 42x^2 + 12x = 3 - 30x$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $(42x^2 - 42x^2) + (-48x + 12x) = 3 - 30x$, что упрощается до $-36x = 3 - 30x$. Перенесем слагаемое $-30x$ в левую часть, изменив знак: $-36x + 30x = 3$. Сложим слагаемые с $x$: $-6x = 3$. Найдем $x$: $x = \frac{3}{-6}$. $x = -0,5$.
Ответ: -0,5.

4) $12x - 3x(6x - 9) = 9x(4 - 2x) + 3x$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $12x - 18x^2 + 27x = 36x - 18x^2 + 3x$. Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях отдельно. Слева: $(12x + 27x) - 18x^2 = 39x - 18x^2$. Справа: $(36x + 3x) - 18x^2 = 39x - 18x^2$. Получаем тождество: $39x - 18x^2 = 39x - 18x^2$. Это равенство верно при любом значении переменной $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.
Ответ: $x$ - любое число.

5) $7x^2 - x(7x - 5) - 2(2,5x + 1) - 3 = 0$. Раскроем все скобки: $7x^2 - 7x^2 + 5x - 5x - 2 - 3 = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(7x^2 - 7x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 3) = 0$. После упрощения получаем $0 + 0 - 5 = 0$, что равносильно неверному числовому равенству $-5 = 0$. Так как мы получили неверное равенство, не зависящее от $x$, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

6) $8(x^2 - 4) - 4x(3,5x - 7) = 20x - 6x^2$. Раскроем скобки в левой части уравнения: $8x^2 - 32 - 14x^2 + 28x = 20x - 6x^2$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $(8x^2 - 14x^2) + 28x - 32 = -6x^2 + 28x - 32$. Теперь уравнение выглядит так: $-6x^2 + 28x - 32 = 20x - 6x^2$. Слагаемые $-6x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Получаем линейное уравнение: $28x - 32 = 20x$. Перенесем $20x$ влево и $-32$ вправо: $28x - 20x = 32$. Упростим: $8x = 32$. Найдем $x$: $x = \frac{32}{8}$. $x = 4$.
Ответ: 4.

467. Найдите корень уравнения:

1) $0,4x(5x - 6) + 7,2 = 2x(x + 0,6)$

2) $x(3x + 2) - 9(x^2 - 7x) = 6x(10 - x)$

3) $12(x^3 - 2) - 7x(x^2 - 1) = 5x^3 + 2x + 6$

1) $0,4x(5x - 6) + 7,2 = 2x(x + 0,6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4x \cdot 5x - 0,4x \cdot 6 + 7,2 = 2x \cdot x + 2x \cdot 0,6$

$2x^2 - 2,4x + 7,2 = 2x^2 + 1,2x$

Перенесем слагаемые с $x^2$ и $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. Члены $2x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$2x^2 - 2x^2 - 2,4x - 1,2x = -7,2$

$-3,6x = -7,2$

Найдем $x$:

$x = \frac{-7,2}{-3,6}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $x(3x + 2) - 9(x^2 - 7x) = 6x(10 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 2x - 9x^2 + 63x = 60x - 6x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x^2 - 9x^2) + (2x + 63x) = 60x - 6x^2$

$-6x^2 + 65x = 60x - 6x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть. Члены $-6x^2$ взаимно уничтожаются:

$-6x^2 + 6x^2 + 65x - 60x = 0$

$5x = 0$

Найдем $x$:

$x = 0$

Ответ: $0$.

3) $12(x^3 - 2) - 7x(x^2 - 1) = 5x^3 + 2x + 6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12x^3 - 24 - 7x^3 + 7x = 5x^3 + 2x + 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12x^3 - 7x^3) + 7x - 24 = 5x^3 + 2x + 6$

$5x^3 + 7x - 24 = 5x^3 + 2x + 6$

Перенесем слагаемые с $x^3$ и $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Члены $5x^3$ взаимно уничтожаются:

$5x^3 - 5x^3 + 7x - 2x = 6 + 24$

$5x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Ответ: $6$.

468. Докажите тождество:

1) $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = abc;$

2) $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a^2;$

3) $a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b);$

4) $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c.$

1) Для доказательства тождества $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = abc$ преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$ab(b - c) = ab^2 - abc$
$ac(c - b) = ac^2 - abc$
$-a(b^2 - 3bc + c^2) = -ab^2 + 3abc - ac^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$ab^2 - abc + ac^2 - abc - ab^2 + 3abc - ac^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-abc - abc + 3abc) = 0 + 0 + abc = abc$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества: $abc = abc$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a^2$ преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки:
$4a(a + b) = 4a^2 + 4ab$
$-a(3a - 4b) = -3a^2 + 4ab$
Подставим раскрытые скобки в выражение и приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 4ab - 3a^2 + 4ab - 8ab = (4a^2 - 3a^2) + (4ab + 4ab - 8ab) = a^2 + 8ab - 8ab = a^2$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества: $a^2 = a^2$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть:
$a(a + 2b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2$
Преобразуем правую часть:
$b(2a + b) + a(a + b) = 2ba + b^2 + a^2 + ab = 2ab + b^2 + a^2 + ab = a^2 + 3ab + b^2$
Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $a^2 + 3ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = ab + ac - abc - (ba + bc - bac) = ab + ac - abc - ab - bc + abc$
Приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (ac - bc) + (-abc + abc) = 0 + ac - bc + 0 = ac - bc$
Теперь преобразуем правую часть:
$(a - b)c = ac - bc$
Левая и правая части тождества равны: $ac - bc = ac - bc$.
Ответ: Тождество доказано.