Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

423. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:

1) $ * - (3x^2 - 4xy + 2y^2) = 9x^2 + y^2; $

2) $ a^3 - 6a^2 + 2a - (*) = a^5 + 2a^2 - 7. $

1) Чтобы найти многочлен, который должен стоять вместо звёздочки, обозначим его через M. Исходное тождество имеет вид:

$* - (3x^2 - 4xy + 2y^2) = 9x^2 + y^2$

Это уравнение, в котором неизвестным является многочлен, стоящий на месте звёздочки. Чтобы его найти, нужно к разности ($9x^2 + y^2$) прибавить вычитаемое ($3x^2 - 4xy + 2y^2$).

$* = (9x^2 + y^2) + (3x^2 - 4xy + 2y^2)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$* = 9x^2 + y^2 + 3x^2 - 4xy + 2y^2$

Сгруппируем подобные члены:

$* = (9x^2 + 3x^2) - 4xy + (y^2 + 2y^2)$

Выполним сложение:

$* = 12x^2 - 4xy + 3y^2$

Проверим, подставив найденный многочлен в исходное равенство:

$(12x^2 - 4xy + 3y^2) - (3x^2 - 4xy + 2y^2) = 12x^2 - 4xy + 3y^2 - 3x^2 + 4xy - 2y^2 = (12-3)x^2 + (-4+4)xy + (3-2)y^2 = 9x^2 + y^2$.

Тождество

424. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:

1) $ (2x^2 - 14x + 9) + (*) = 20 - 10x; $

2) $ (19a^4 - 17a^2b + b^3) - (*) = 20a^4 + 5a^2b. $

1)

Чтобы найти многочлен, который нужно подставить вместо звездочки (*), необходимо выразить его из данного тождества. В уравнении $(2x^2 - 14x + 9) + (*) = 20 - 10x$ искомый многочлен является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Выразим (*) из уравнения:
$(*) = (20 - 10x) - (2x^2 - 14x + 9)$

Теперь раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$(*) = 20 - 10x - 2x^2 + 14x - 9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(*) = -2x^2 + (-10x + 14x) + (20 - 9)$
$(*) = -2x^2 + 4x + 11$

Ответ: $-2x^2 + 4x + 11$

2)

В тождестве $(19a^4 - 17a^2b + b^3) - (*) = 20a^4 + 5a^2b$ искомый многочлен (*) является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Выразим (*) из уравнения:
$(*) = (19a^4 - 17a^2b + b^3) - (20a^4 + 5a^2b)$

Раскроем скобки, изменяя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:
$(*) = 19a^4 - 17a^2b + b^3 - 20a^4 - 5a^2b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(*) = (19a^4 - 20a^4) + (-17a^2b - 5a^2b) + b^3$
$(*) = -a^4 - 22a^2b + b^3$

Ответ: $-a^4 - 22a^2b + b^3$

425. Представьте в виде многочлена число, состоящее из:

1) 4 сотен, $x$ десятков и $y$ единиц;

2) $a$ тысяч, $b$ сотен, 5 десятков и $c$ единиц.

1) 4 сотен, x десятков и y единиц;
Чтобы представить число в виде многочлена, необходимо записать его как сумму разрядных слагаемых. Каждый разряд (единицы, десятки, сотни и т.д.) представляет собой слагаемое, равное произведению количества единиц в этом разряде на его значение.
В данном случае число состоит из:
- 4 сотен, что соответствует слагаемому $4 \cdot 100 = 400$;
- x десятков, что соответствует слагаемому $x \cdot 10 = 10x$;
- y единиц, что соответствует слагаемому $y \cdot 1 = y$.
Складывая эти слагаемые, мы получаем многочлен, который представляет данное число: $400 + 10x + y$.
Ответ: $400 + 10x + y$

2) a тысяч, b сотен, 5 десятков и c единиц.
Аналогично первому пункту, представим каждый разряд в виде слагаемого:
- a тысяч, что соответствует слагаемому $a \cdot 1000 = 1000a$;
- b сотен, что соответствует слагаемому $b \cdot 100 = 100b$;
- 5 десятков, что соответствует слагаемому $5 \cdot 10 = 50$;
- c единиц, что соответствует слагаемому $c \cdot 1 = c$.
Сумма этих слагаемых и будет искомым

426. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $\overline{cba}$;

2) $\overline{abc}-\overline{ab}$;

3) $\overline{a0c}+\overline{ac}$.

1) Выражение $\overline{cba}$ представляет собой запись трехзначного числа в десятичной системе счисления. В этом числе $c$ — это количество сотен, $b$ — количество десятков, а $a$ — количество единиц. Чтобы представить это выражение в виде многочлена, нужно записать его разложение по разрядам (степеням числа 10):
$\overline{cba} = c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 100c + 10b + a$.
Ответ: $100c + 10b + a$.

2) Сначала представим каждое из выражений $\overline{abc}$ и $\overline{ab}$ в виде многочлена, разложив их по разрядам.
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c = 100a + 10b + c$.
$\overline{ab} = a \cdot 10 + b = 10a + b$.
Теперь выполним вычитание полученных многочленов:
$\overline{abc} - \overline{ab} = (100a + 10b + c) - (10a + b)$.
Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена, и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 10a - b = (100a - 10a) + (10b - b) + c = 90a + 9b + c$.
Ответ: $90a + 9b + c$.

3) Представим каждое из выражений $\overline{a0c}$ и $\overline{ac}$ в виде многочлена.
$\overline{a0c}$ — это трехзначное число, где $a$ — цифра сотен, $0$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Его разложение по разрядам выглядит так:
$\overline{a0c} = a \cdot 100 + 0 \cdot 10 + c = 100a + c$.
$\overline{ac}$ — это двузначное число, которое можно записать как:
$\overline{ac} = a \cdot 10 + c = 10a + c$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$\overline{a0c} + \overline{ac} = (100a + c) + (10a + c)$.
Приведем подобные слагаемые:
$100a + 10a + c + c = 110a + 2c$.
Ответ: $110a + 2c$.

427. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $\overline{cab} + \overline{ca};$

2) $\overline{abc} + \overline{bca};$

3) $\overline{ab9} + \overline{7a}.$

1) Для того чтобы представить выражение $\overline{cab} + \overline{ca}$ в виде многочлена, необходимо расписать каждое число, обозначенное чертой сверху, как сумму разрядных слагаемых. В такой записи буквы обозначают цифры числа.
Трехзначное число $\overline{cab}$ можно представить как сумму сотен, десятков и единиц:$\overline{cab} = c \cdot 100 + a \cdot 10 + b = 100c + 10a + b$.
Двузначное число $\overline{ca}$ представляется как:$\overline{ca} = c \cdot 10 + a = 10c + a$.
Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:
$\overline{cab} + \overline{ca} = (100c + 10a + b) + (10c + a) = (100c + 10c) + (10a + a) + b = 110c + 11a + b$.
Ответ: $110c + 11a + b$

2) Аналогично первому пункту, представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{bca}$ в виде многочленов, разложив их по разрядам.
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c = 100a + 10b + c$.
$\overline{bca} = b \cdot 100 + c \cdot 10 + a = 100b + 10c + a$.
Сложим многочлены и сгруппируем подобные члены:
$\overline{abc} + \overline{bca} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) = (100a + a) + (10b + 100b) + (c + 10c) = 101a + 110b + 11c$.
Ответ: $101a + 110b + 11c$

3) В данном случае в записи чисел присутствуют как переменные, обозначающие цифры, так и сами цифры. Разложим числа по разрядам.
Трехзначное число $\overline{ab9}$:$\overline{ab9} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + 9 = 100a + 10b + 9$.
Двузначное число $\overline{7a}$:$\overline{7a} = 7 \cdot 10 + a = 70 + a$.
Найдем сумму этих выражений:
$\overline{ab9} + \overline{7a} = (100a + 10b + 9) + (70 + a)$.
Приведем подобные слагаемые:
$(100a + a) + 10b + (9 + 70) = 101a + 10b + 79$.
Ответ: $101a + 10b + 79$

428. Докажите, что значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ кратно 8 при любом натуральном значении $n$.

Для доказательства того, что значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ кратно 8 при любом натуральном значении $n$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$(9 - 18n) - (6n - 7) = 9 - 18n - 6n + 7$

Далее приведем подобные слагаемые. Сгруппируем и сложим отдельно числа и отдельно слагаемые, содержащие переменную $n$:

$(9 + 7) + (-18n - 6n) = 16 - 24n$

Теперь мы имеем упрощенное выражение $16 - 24n$. Чтобы показать, что оно кратно 8, вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для чисел 16 и 24 равен 8.

$16 - 24n = 8 \cdot 2 - 8 \cdot 3n = 8(2 - 3n)$

Полученное выражение $8(2 - 3n)$ представляет собой произведение числа 8 и выражения $(2 - 3n)$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Следовательно, выражение $(2 - 3n)$ при любом натуральном $n$ всегда будет целым числом. Поскольку один из множителей равен 8, а второй является целым числом, то их произведение всегда будет делиться на 8 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ после упрощения равно $8(2 - 3n)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2 - 3n)$ — целое число. Произведение числа 8 на целое число всегда кратно 8, что и требовалось доказать.

429. Докажите, что значение выражения $(6m + 8) - (3m - 4)$ кратно 3 при любом натуральном значении $m$.

Чтобы доказать, что значение выражения $(6m + 8) - (3m - 4)$ кратно 3 при любом натуральном значении $m$, необходимо сначала упростить это выражение.

1. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$(6m + 8) - (3m - 4) = 6m + 8 - 3m + 4$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ и числовые слагаемые:

$(6m - 3m) + (8 + 4) = 3m + 12$

3. Теперь нужно доказать, что полученное выражение $3m + 12$ делится на 3 без остатка. Для этого вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m + 12 = 3(m + 4)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 3 и выражения $(m + 4)$.

По условию, $m$ — любое натуральное число (т.е. $m \in \{1, 2, 3, ...\}$). Если к натуральному числу $m$ прибавить натуральное число 4, то в результате также получится натуральное число.

Поскольку итоговое выражение $3(m + 4)$ является произведением числа 3 и натурального числа $(m + 4)$, оно по определению кратно 3 при любом натуральном значении $m$.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $3(m + 4)$. Так как $m$ — натуральное число, то и $(m + 4)$ является натуральным числом. Произведение числа 3 на любое натуральное число всегда кратно 3, что и требовалось доказать.

430. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 9) - (5 - 2n)$ при делении на 7 даёт остаток, равный 4.

Для того чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(5n + 9) - (5 - 2n)$.

Раскрываем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$5n + 9 - 5 + 2n$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(5n + 2n) + (9 - 5) = 7n + 4$

В результате упрощения мы получили выражение $7n + 4$.

Теперь нам нужно проанализировать это выражение при делении на 7. По условию, $n$ — это любое натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Выражение $7n + 4$ состоит из двух слагаемых: $7n$ и $4$.

Первое слагаемое, $7n$, представляет собой произведение числа 7 на натуральное число $n$. Следовательно, $7n$ всегда делится на 7 без остатка (нацело) при любом натуральном $n$.

Второе слагаемое — это число 4.

При делении суммы $7n + 4$ на 7, мы можем рассмотреть деление каждого слагаемого в отдельности. Деление $7n$ на 7 дает частное $n$ и остаток 0. Таким образом, остаток от деления всего выражения на 7 будет определяться только вторым слагаемым, то есть числом 4.

По определению деления с остатком, если мы делим число $A$ на число $B$, то это можно представить в виде $A = B \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < B$.

В нашем случае, $A = 7n + 4$ и $B = 7$. Мы можем записать:

$7n + 4 = 7 \cdot n + 4$

Здесь $q = n$ (неполное частное) и $r = 4$ (остаток). Условие $0 \le 4 < 7$ выполняется.

Это доказывает, что при делении выражения $7n + 4$ на 7 остаток всегда будет равен 4, независимо от натурального значения $n$.

Ответ: Выражение $(5n + 9) - (5 - 2n)$ после упрощения равно $7n + 4$. Слагаемое $7n$ делится на 7 без остатка, следовательно, остаток от деления всего выражения на 7 равен 4, что и требовалось доказать.

431. Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения $ (16n + 8) - (7n + 3) $, где $n$ - произвольное натуральное число?

Чтобы найти остаток от деления значения выражения $(16n + 8) - (7n + 3)$ на 9, где $n$ — произвольное натуральное число, сначала упростим это выражение.

1. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$(16n + 8) - (7n + 3) = 16n + 8 - 7n - 3$

2. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $n$ и свободные члены:

$(16n - 7n) + (8 - 3) = 9n + 5$

3. Теперь нам нужно найти остаток от деления полученного выражения $9n + 5$ на 9.

Рассмотрим получившееся выражение. Оно состоит из двух слагаемых: $9n$ и $5$.

• Первое слагаемое, $9n$, при любом натуральном $n$ делится на 9 без остатка, так как является произведением числа 9 и натурального числа $n$. Остаток от деления $9n$ на 9 всегда равен 0.
• Второе слагаемое — это число 5. При делении 5 на 9 мы получаем 0 в частном и 5 в остатке.

Остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы остатков слагаемых. Таким образом, остаток от деления $9n + 5$ на 9 равен $0 + 5 = 5$.

Этот результат не зависит от значения натурального числа $n$.

Ответ: 5

432. Докажите, что значение разности двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$, где m и n – произвольные натуральные числа, делится нацело на 6.

Чтобы доказать, что значение разности двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$ делится нацело на 6, необходимо составить и упростить эту разность.

Запишем разность выражений:
$(13m + 20n) - (7m + 2n)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$13m + 20n - 7m - 2n$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $m$ и члены с переменной $n$:
$(13m - 7m) + (20n - 2n) = 6m + 18n$

В полученном выражении $6m + 18n$ можно вынести за скобки общий множитель. Общий делитель для 6 и 18 — это 6.
$6(m + 3n)$

По условию задачи, $m$ и $n$ — произвольные натуральные числа. Это означает, что $m \ge 1$ и $n \ge 1$.
Следовательно, выражение в скобках $(m + 3n)$ также является натуральным числом, так как сумма и произведение натуральных чисел всегда дают натуральное число.

Поскольку итоговое выражение представляет собой произведение числа 6 и натурального числа $(m + 3n)$, оно по определению делится на 6 нацело при любых натуральных значениях $m$ и $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность данных двучленов равна $6m + 18n = 6(m + 3n)$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то и $(m + 3n)$ является натуральным числом. Следовательно, произведение $6(m + 3n)$ делится нацело на 6.

433. Докажите, что значение суммы двучленов $16a - 6b$ и $27b - 2a$, где a и b — произвольные натуральные числа, делится нацело на 7.

Чтобы доказать, что значение суммы двучленов $16a - 6b$ и $27b - 2a$ делится нацело на 7 для любых натуральных чисел $a$ и $b$, нужно сначала найти эту сумму, а затем упростить полученное выражение.

Запишем сумму данных двучленов:
$(16a - 6b) + (27b - 2a)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$:
$(16a - 2a) + (27b - 6b)$

Выполним вычисления в каждой группе:
$14a + 21b$

Мы получили выражение $14a + 21b$. Чтобы доказать его делимость на 7, вынесем общий множитель за скобки. Оба коэффициента, 14 и 21, делятся на 7. Вынесем 7 за скобки:
$14a + 21b = 7 \cdot 2a + 7 \cdot 3b = 7(2a + 3b)$

Согласно условию, $a$ и $b$ — это произвольные натуральные числа. Это означает, что $a \ge 1$ и $b \ge 1$.
Следовательно, выражение в скобках $2a + 3b$ также будет натуральным числом, так как оно является результатом умножения и сложения натуральных чисел.
Таким образом, вся сумма представляет собой произведение числа 7 и некоторого натурального числа $(2a + 3b)$. По определению, любое число, которое можно представить в виде произведения $7k$, где $k$ — целое число, делится нацело на 7. В нашем случае $k = 2a + 3b$ и является натуральным числом.

Ответ: Сумма двучленов после упрощения равна $7(2a + 3b)$. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то выражение $2a+3b$ также является натуральным числом. Произведение 7 на натуральное число всегда делится на 7 без остатка, что и требовалось доказать.

434. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной $a$:

1) $4a^2 - 3ab + b + 8 + *;$

2) $9a^3 - 9a + 7ab^2 + bc + bm + *.$

1) Чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной $a$, необходимо найти все члены с этой переменной в исходном выражении и добавить такой многочлен (вместо звёздочки), который их взаимно уничтожит. В выражении $4a^2 - 3ab + b + 8$ члены, содержащие $a$, это $4a^2$ и $-3ab$. Чтобы их сумма с новыми членами стала равна нулю, нужно добавить противоположные им одночлены. Противоположным для $4a^2$ является $-4a^2$, а для $-3ab$ — это $+3ab$. Следовательно, вместо звёздочки нужно записать многочлен, состоящий из этих членов.
Проверим, подставив найденный многочлен: $(4a^2 - 3ab + b + 8) + (-4a^2 + 3ab) = 4a^2 - 4a^2 - 3ab + 3ab + b + 8 = b + 8$.
Итоговый многочлен $b + 8$ не содержит переменной $a$.
Ответ: $-4a^2 + 3ab$.

2) Аналогично первому пункту, найдем все члены в выражении $9a^3 - 9a + 7ab^2 + bc + bm$, которые содержат переменную $a$. Это $9a^3$, $-9a$ и $7ab^2$. Чтобы итоговый многочлен не содержал переменную $a$, нужно прибавить многочлен, состоящий из членов, противоположных найденным. Противоположным для $9a^3$ является $-9a^3$, для $-9a$ — это $+9a$, а для $7ab^2$ — это $-7ab^2$.
Таким образом, вместо звёздочки нужно записать многочлен $-9a^3 + 9a - 7ab^2$.
Проверим: $(9a^3 - 9a + 7ab^2 + bc + bm) + (-9a^3 + 9a - 7ab^2) = 9a^3 - 9a^3 - 9a + 9a + 7ab^2 - 7ab^2 + bc + bm = bc + bm$.
Итоговый многочлен $bc + bm$ не содержит переменной $a$.
Ответ: $-9a^3 + 9a - 7ab^2$.

435. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов многочлен $3x^2 + 5x^2y + 7x - 8y + 15 + *$ не содержал:

1) членов с $x^2$;

2) членов с переменной $x$;

3) членов с переменной $y$.

Исходный многочлен: $3x^2 + 5x^2y + 7x - 8y + 15 + *$.

Чтобы избавиться от определённых членов после приведения подобных, нужно к исходному многочлену прибавить многочлен, состоящий из членов, противоположных тем, от которых нужно избавиться.

1) членов с $x^2$;

Чтобы в итоговом многочлене не было членов с $x^2$, необходимо, чтобы сумма всех членов, содержащих $x^2$, была равна нулю. В данном многочлене это члены $3x^2$ и $5x^2y$.

Чтобы их сумма стала равной нулю, многочлен, который мы подставляем вместо звёздочки, должен быть противоположен их сумме.

Найдём многочлен, который нужно подставить: $-(3x^2 + 5x^2y) = -3x^2 - 5x^2y$.

Выполним проверку: $(3x^2 + 5x^2y + 7x - 8y + 15) + (-3x^2 - 5x^2y) = (3x^2 - 3x^2) + (5x^2y - 5x^2y) + 7x - 8y + 15 = 7x - 8y + 15$.

Полученный многочлен не содержит членов с $x^2$.

Ответ: $-3x^2 - 5x^2y$.

2) членов с переменной $x$;

Чтобы в итоговом многочлене не было членов с переменной $x$, необходимо, чтобы сумма всех членов, содержащих $x$, была равна нулю. В данном многочлене это члены $3x^2$, $5x^2y$ и $7x$.

Многочлен, который мы подставляем вместо звёздочки, должен быть противоположен их сумме.

Найдём этот многочлен: $-(3x^2 + 5x^2y + 7x) = -3x^2 - 5x^2y - 7x$.

Выполним проверку: $(3x^2 + 5x^2y + 7x - 8y + 15) + (-3x^2 - 5x^2y - 7x) = (3x^2 - 3x^2) + (5x^2y - 5x^2y) + (7x - 7x) - 8y + 15 = -8y + 15$.

Полученный многочлен не содержит членов с переменной $x$.

Ответ: $-3x^2 - 5x^2y - 7x$.

3) членов с переменной $y$.

Чтобы в итоговом многочлене не было членов с переменной $y$, необходимо, чтобы сумма всех членов, содержащих $y$, была равна нулю. В данном многочлене это члены $5x^2y$ и $-8y$.

Многочлен, который мы подставляем вместо звёздочки, должен быть противоположен их сумме.

Найдём этот многочлен: $-(5x^2y - 8y) = -5x^2y + 8y$.

Выполним проверку: $(3x^2 + 5x^2y + 7x - 8y + 15) + (-5x^2y + 8y) = 3x^2 + (5x^2y - 5x^2y) + 7x + (-8y + 8y) + 15 = 3x^2 + 7x + 15$.

Полученный многочлен не содержит членов с переменной $y$.

Ответ: $-5x^2y + 8y$.