Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

436. Представьте многочлен $3a^2b + 8a^3 - 6a + 12b - 9$ в виде суммы двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной $b$.

Чтобы представить многочлен $3a^2b + 8a^3 - 6a + 12b - 9$ в виде суммы двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменную $b$, необходимо сгруппировать его члены. Мы разделим все одночлены исходного многочлена на две группы.

В первую группу включим все члены, которые не содержат переменную $b$. Это будут одночлены $8a^3$, $-6a$ и $-9$. Их сумма образует первый многочлен: $(8a^3 - 6a - 9)$.

Во вторую группу войдут все оставшиеся члены, то есть те, которые содержат переменную $b$. Это одночлены $3a^2b$ и $12b$. Их сумма образует второй многочлен: $(3a^2b + 12b)$.

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы этих двух многочленов. Эта запись удовлетворяет условию задачи, так как первый многочлен $(8a^3 - 6a - 9)$ не содержит переменную $b$.

Итоговое представление: $3a^2b + 8a^3 - 6a + 12b - 9 = (8a^3 - 6a - 9) + (3a^2b + 12b)$.

Ответ: $(8a^3 - 6a - 9) + (3a^2b + 12b)$.

437. Представьте многочлен $4mn^2 + 11m^4 - 7m^5 + 14mn - 9n + 3$ в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами.

Чтобы представить данный многочлен в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами, необходимо сгруппировать все его члены с положительными коэффициентами в один многочлен, а все члены с отрицательными коэффициентами — в другой.

Исходный многочлен: $4mn^2 + 11m^4 - 7m^5 + 14mn - 9n + 3$.

Сначала выделим все члены с положительными коэффициентами. Это $4mn^2$, $11m^4$, $14mn$ и $3$. Их сумма образует первый многочлен, который будет уменьшаемым. Все его коэффициенты ($4, 11, 14, 3$) положительны:

$(4mn^2 + 11m^4 + 14mn + 3)$

Далее выделим члены с отрицательными коэффициентами: $-7m^5$ и $-9n$. Чтобы получить из них многочлен с положительными коэффициентами, вынесем знак минус за скобки:

$-7m^5 - 9n = -(7m^5 + 9n)$

Выражение в скобках, $(7m^5 + 9n)$, и будет вторым многочленом, который является вычитаемым. Его коэффициенты ($7$ и $9$) также положительны.

Теперь запишем исходный многочлен в виде разности двух полученных многочленов:

$(4mn^2 + 11m^4 + 14mn + 3) - (7m^5 + 9n)$

Для проверки можно раскрыть скобки, что вернет нас к первоначальному выражению: $4mn^2 + 11m^4 + 14mn + 3 - 7m^5 - 9n$.

Ответ: $(4mn^2 + 11m^4 + 14mn + 3) - (7m^5 + 9n)$.

438. Представьте многочлен $6x^2 - 3xy + 5x - 8y + 2$ в виде разности двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной $y$.

Чтобы представить многочлен $6x^2 - 3xy + 5x - 8y + 2$ в виде разности двух многочленов, один из которых не содержит переменную $y$, необходимо сгруппировать члены исходного многочлена.

1. Выделим в многочлене группу членов, которые не содержат переменную $y$. Это $6x^2$, $5x$ и $2$. Их сумма представляет собой первый многочлен:

$A = 6x^2 + 5x + 2$

2. Оставшиеся члены многочлена содержат переменную $y$. Это $-3xy$ и $-8y$. Их сумма:

$-3xy - 8y$

3. Теперь исходный многочлен можно записать как сумму двух групп:

$6x^2 - 3xy + 5x - 8y + 2 = (6x^2 + 5x + 2) + (-3xy - 8y)$

4. Чтобы представить это выражение в виде разности, нужно представить вторую группу членов как вычитаемый многочлен. Для этого вынесем знак минус за скобки во второй группе:

$(-3xy - 8y) = -(3xy + 8y)$

5. Подставим полученное выражение обратно. Теперь исходный многочлен представлен в виде разности двух многочленов:

$(6x^2 + 5x + 2) - (3xy + 8y)$

В этом выражении первый многочлен $(6x^2 + 5x + 2)$ не содержит переменную $y$, что полностью удовлетворяет условию задачи. Второй многочлен — это $(3xy + 8y)$.

Ответ: $(6x^2 + 5x + 2) - (3xy + 8y)$.

439. Представьте многочлен $x^2 - 6x + 14$ в виде разности:

1) двух двучленов;

2) трёхчлена и двучлена.

1) Представим многочлен $x^2 - 6x + 14$ в виде разности двух двучленов.

Задача состоит в том, чтобы найти два двучлена, скажем $A$ и $B$, такие что $A - B = x^2 - 6x + 14$. Существует бесконечно много решений. Рассмотрим один из возможных способов.

Пусть первый двучлен (уменьшаемое) $A$ содержит член $x^2$. Мы можем выбрать $A$ произвольно, например, $A = x^2 + 10$. Тогда $A$ является двучленом.

Теперь найдем второй двучлен (вычитаемое) $B$, исходя из равенства:

$(x^2 + 10) - B = x^2 - 6x + 14$

Чтобы найти $B$, выразим его из уравнения:

$B = (x^2 + 10) - (x^2 - 6x + 14)$

$B = x^2 + 10 - x^2 + 6x - 14$

$B = 6x - 4$

Выражение $B = 6x - 4$ является двучленом. Таким образом, мы представили исходный многочлен в виде разности двух двучленов: $(x^2 + 10)$ и $(6x - 4)$.

Проверим: $(x^2 + 10) - (6x - 4) = x^2 + 10 - 6x + 4 = x^2 - 6x + 14$. Равенство выполняется.

Ответ: $(x^2 + 10) - (6x - 4)$.

2) Представим многочлен $x^2 - 6x + 14$ в виде разности трёхчлена и двучлена.

Нам нужно найти трёхчлен $C$ и двучлен $D$ так, чтобы выполнялось равенство $C - D = x^2 - 6x + 14$.

Один из способов — это прибавить и вычесть из исходного многочлена некоторый двучлен. Этот двучлен и будет нашим вычитаемым $D$.

Выберем произвольный двучлен, например, $D = 2x - 1$.

Тогда $C$ должен быть равен $x^2 - 6x + 14 + D$.

$C = (x^2 - 6x + 14) + (2x - 1)$

$C = x^2 - 6x + 14 + 2x - 1$

$C = x^2 - 4x + 13$

Выражение $C = x^2 - 4x + 13$ является трёхчленом. Таким образом, мы получили искомую разность.

Проверим: $(x^2 - 4x + 13) - (2x - 1) = x^2 - 4x + 13 - 2x + 1 = x^2 - 6x + 14$. Равенство выполняется.

Ответ: $(x^2 - 4x + 13) - (2x - 1)$.

440. Представьте многочлен $3x^2 + 10x - 5$ в виде разности двучлена и трёхчлена.

Чтобы представить заданный многочлен $3x^2+10x-5$ в виде разности двучлена и трёхчлена, необходимо найти такой двучлен (многочлен из двух членов), назовём его $A$, и такой трёхчлен (многочлен из трёх членов), назовём его $B$, чтобы выполнялось равенство:

$A - B = 3x^2+10x-5$

Данное равенство можно преобразовать к виду:

$A = (3x^2+10x-5) + B$

Эта формула показывает, что мы можем выбрать произвольный трёхчлен $B$, после чего вычислить соответствующий ему двучлен $A$. Так как существует бесконечно много способов выбрать трёхчлен $B$, то и решений у этой задачи бесконечно много.Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 1

Давайте выберем простой трёхчлен $B$. Чтобы в результате вычисления $A$ получилось как можно меньше слагаемых (в нашем случае два), удобно выбрать $B$ так, чтобы некоторые его члены были противоположны членам исходного многочлена.

Пусть трёхчлен $B$ будет $B = -10x + 5 + x^4$.

Теперь найдём двучлен $A$, подставив $B$ в нашу формулу:

$A = (3x^2+10x-5) + (-10x+5+x^4)$

$A = 3x^2+10x-5-10x+5+x^4$

Приводим подобные слагаемые:

$A = 3x^2 + x^4$

Мы получили двучлен $A = 3x^2 + x^4$. Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде следующей разности:

$(3x^2 + x^4) - (-10x + 5 + x^4)$

Проверим, раскрыв скобки: $3x^2 + x^4 + 10x - 5 - x^4 = 3x^2 + 10x - 5$. Всё верно.

Пример 2

Выберем другой трёхчлен $B$, например, $B = -3x^2 + x + 1$.

Снова вычислим соответствующий двучлен $A$:

$A = (3x^2+10x-5) + (-3x^2 + x + 1)$

$A = 3x^2+10x-5-3x^2+x+1$

Приводим подобные слагаемые:

$A = (10x+x) + (-5+1) = 11x - 4$

Мы получили двучлен $A = 11x - 4$. Значит, ещё один вариант представления исходного многочлена:

$(11x - 4) - (-3x^2 + x + 1)$

Проверим: $11x - 4 - (-3x^2) - x - 1 = 11x - 4 + 3x^2 - x - 1 = 3x^2 + 10x - 5$. Всё верно.

Ответ: Задачу можно решить множеством способов, например: $(3x^2 + x^4) - (x^4 - 10x + 5)$ или $(11x - 4) - (-3x^2 + x + 1)$.

441. Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении $x$.

Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$?

Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении x.

Для начала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4) = 2x^4 + 4x - 1 - x^2 - 8 - 9x + 5x + x^2 - 3x^4$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(2x^4 - 3x^4) + (-x^2 + x^2) + (4x - 9x + 5x) + (-1 - 8)$

Выполним вычисления в каждой группе и получим упрощенное выражение:

$-x^4 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 9 = -x^4 - 9$

Теперь проанализируем полученный результат $-x^4 - 9$.

Для любого действительного числа $x$, его значение в четвертой степени ($x^4$) является неотрицательным, так как показатель степени — четное число. Таким образом, $x^4 \ge 0$.

Если мы умножим обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^4 \le 0$.

Наконец, вычтем 9 из обеих частей полученного неравенства:

$-x^4 - 9 \le 0 - 9$

$-x^4 - 9 \le -9$

Так как максимальное значение выражения равно $-9$, а $-9$ — это отрицательное число, то при любом значении $x$ данное выражение всегда будет принимать отрицательное значение, что и требовалось доказать.

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $-x^4 - 9$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $-x^4 \le 0$, и следовательно $-x^4 - 9 \le -9$. Поскольку $-9 < 0$, выражение всегда отрицательно.

Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x?

Как было установлено ранее, данное выражение тождественно равно $-x^4 - 9$.

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо найти максимум функции $y(x) = -x^4 - 9$.

Значение функции $y(x)$ будет максимальным, когда слагаемое $-x^4$ принимает свое наибольшее значение. Это происходит, когда $x^4$ принимает свое наименьшее значение.

Наименьшее значение для $x^4$ равно $0$, и это достигается только при $x=0$.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно:

$y_{max} = -(0)^4 - 9 = 0 - 9 = -9$.

Это значение достигается при $x=0$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-9$, оно достигается при $x=0$.

442. Докажите, что выражение $(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y$ принимает положительное значение при любом значении y. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y?

Докажите, что выражение $(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y$ принимает положительное значение при любом значении $y$.

Для начала упростим данное выражение. Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y = 7y^2 - 9y + 8 - 3y^2 + 6y - 4 + 3y$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(7y^2 - 3y^2) + (-9y + 6y + 3y) + (8 - 4) = 4y^2 + 0 \cdot y + 4 = 4y^2 + 4$

Получили выражение $4y^2 + 4$. Теперь докажем, что оно всегда принимает положительное значение.

Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.

При умножении на положительное число 4 неравенство сохраняется: $4y^2 \ge 0$.

Прибавив к обеим частям неравенства число 4, получим:

$4y^2 + 4 \ge 4$

Поскольку $4 > 0$, то и значение выражения $4y^2 + 4$ всегда будет положительным, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $4y^2 + 4$. Так как $y^2 \ge 0$ при любом значении $y$, то $4y^2 \ge 0$, и следовательно, $4y^2 + 4 \ge 4$. А так как $4 > 0$, то выражение всегда положительно.

Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $y$?

Мы работаем с упрощенным выражением $4y^2 + 4$.

Как было показано выше, для любого значения $y$ выполняется неравенство $4y^2 + 4 \ge 4$.

Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать выражение, равно 4.

Найдем, при каком значении $y$ это наименьшее значение достигается. Равенство достигается, когда $4y^2 + 4 = 4$.

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$4y^2 = 0$

Разделим на 4:

$y^2 = 0$

Отсюда следует, что $y=0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается при $y=0$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 4, оно достигается при $y=0$.

443. Докажите, что:

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6;

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8;

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5

Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$.

Найдем их сумму:

$S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_5 = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$S_5 = 5(n+2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ также является натуральным числом. Произведение $5(n+2)$ является произведением числа 5 и натурального числа, следовательно, оно делится на 5 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6

Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k \in \mathbb{N}$ ($k \ge 1$). Обозначим первое из трёх последовательных чётных чисел как $2k$.

Следующие два последовательных чётных числа будут $2k+2$ и $2k+4$.

Найдем их сумму:

$S_3 = 2k + (2k+2) + (2k+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_3 = (2k+2k+2k) + (0+2+4) = 6k + 6$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$S_3 = 6(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $6(k+1)$ делится на 6 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8

Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$ ($k \ge 1$). Обозначим первое из четырёх последовательных нечётных чисел как $2k-1$.

Следующие три последовательных нечётных числа будут $(2k-1)+2 = 2k+1$, $(2k-1)+4 = 2k+3$ и $(2k-1)+6 = 2k+5$.

Найдем их сумму:

$S_4 = (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_4 = (2k+2k+2k+2k) + (-1+1+3+5) = 8k + 8$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S_4 = 8(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $8(k+1)$ делится на 8 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4

Обозначим первое из четырёх последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдем их сумму:

$S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_4 = (n+n+n+n) + (0+1+2+3) = 4n + 6$

Чтобы проверить, делится ли сумма на 4, представим её в виде $S_4 = 4n + 4 + 2$.

Вынесем общий множитель 4 за скобки для первых двух слагаемых:

$S_4 = 4(n+1) + 2$

Выражение $4(n+1)$ делится на 4 без остатка, так как $n+1$ — целое число. Однако, при делении всей суммы $4(n+1) + 2$ на 4, остаток будет равен 2. Поскольку остаток не равен 0, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3

Обозначим первое из шести последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие пять чисел будут $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ и $n+5$.

Найдем их сумму:

$S_6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_6 = (n+n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4+5) = 6n + 15$

Чтобы найти остаток от деления этой суммы на 6, представим число 15 как $12+3$:

$S_6 = 6n + 12 + 3$

Вынесем общий множитель 6 за скобки для первых двух слагаемых:

$S_6 = 6(n+2) + 3$

Выражение $6(n+2)$ делится на 6 без остатка. Следовательно, при делении всей суммы $6(n+2) + 3$ на 6, остаток будет равен 3. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

444. Докажите, что:

1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;

2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;

3) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4;

4) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

1) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.

Обозначим среднее из трёх последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$. Чтобы все три числа были натуральными, необходимо, чтобы $n-1 \ge 1$, то есть $n$ должно быть натуральным числом не меньше 2.

Найдём сумму этих трёх чисел:

$S = (n-1) + n + (n+1)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = n - 1 + n + n + 1 = 3n$

Полученное выражение $3n$ является произведением числа 3 и натурального числа $n$. Следовательно, оно всегда делится на 3 без остатка. Таким образом, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна $3n$, где $n$ — среднее число, и всегда кратна 3.

2) Докажем, что сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

Обозначим среднее (четвёртое) из семи последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда эти числа можно представить в виде: $n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3$. Чтобы все числа были натуральными, необходимо, чтобы $n-3 \ge 1$, то есть $n \ge 4$.

Найдём сумму этих семи чисел:

$S = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сгруппируем слагаемые и увидим, что $ -3, -2, -1 $ и $ +1, +2, +3 $ взаимно уничтожаются:

$S = 7n + (-3-2-1+1+2+3) = 7n + 0 = 7n$

Полученное выражение $7n$ содержит множитель 7, следовательно, оно всегда делится нацело на 7. Таким образом, сумма семи последовательных натуральных чисел всегда делится на 7.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма семи последовательных натуральных чисел равна $7n$, где $n$ — среднее число, и всегда делится нацело на 7.

3) Докажем, что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Пусть первое из четырёх последовательных чётных натуральных чисел равно $2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$).

Тогда следующие три последовательных чётных числа будут $2k+2$, $2k+4$ и $2k+6$.

Найдём их сумму:

$S = 2k + (2k+2) + (2k+4) + (2k+6)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = 8k + 12$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4(2k+3)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $2k+3$ также является целым числом. Выражение $4(2k+3)$ содержит множитель 4, а значит, оно всегда делится нацело на 4.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 4.

4) Докажем, что сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Обозначим среднее (третье) из пяти последовательных чётных натуральных чисел как $n$. Тогда эти числа можно представить в виде: $n-4, n-2, n, n+2, n+4$. По условию, это чётные натуральные числа, поэтому $n$ — чётное, и $n-4 \ge 2$, то есть $n \ge 6$.

Найдём сумму этих пяти чисел:

$S = (n-4) + (n-2) + n + (n+2) + (n+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = 5n + (-4-2+2+4) = 5n + 0 = 5n$

По условию, $n$ — это чётное число. Следовательно, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 3$).

Подставим это представление в нашу сумму:

$S = 5n = 5 \cdot (2k) = 10k$

Полученное выражение $10k$ содержит множитель 10, следовательно, оно всегда делится нацело на 10. Таким образом, сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел всегда делится на 10.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 10.

445. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ делится нацело на 11;

2) разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ делится нацело на 99.

1) Для доказательства представим числа $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ в виде суммы разрядных слагаемых. Запись $\overline{xy}$ означает двузначное число, которое можно представить как $10x + y$.

Таким образом, имеем:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{bc} = 10b + c$

$\overline{ca} = 10c + a$

Теперь найдем сумму этих чисел:

$\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = (10a + b) + (10b + c) + (10c + a)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(10a + a) + (b + 10b) + (c + 10c) = 11a + 11b + 11c$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11(a + b + c)$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ являются цифрами, их сумма $(a + b + c)$ — это целое число. В результате мы получили произведение числа 11 на целое число, которое по определению делится на 11 нацело.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства представим трехзначные числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы разрядных слагаемых. Запись $\overline{xyz}$ означает трехзначное число, которое можно представить как $100x + 10y + z$.

Таким образом, имеем:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{cba} = 100c + 10b + a$

Теперь найдем разность этих чисел:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

Выполним вычисления:

$99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:

$99(a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами, их разность $(a - c)$ — это целое число. В результате мы получили произведение числа 99 на целое число, которое по определению делится на 99 нацело.

Ответ: что и требовалось доказать.