Номер 444, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 444, страница 77.

Условие.

444. Докажите, что:

1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;

2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;

3) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4;

4) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.

Обозначим среднее из трёх последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$. Чтобы все три числа были натуральными, необходимо, чтобы $n-1 \ge 1$, то есть $n$ должно быть натуральным числом не меньше 2.

Найдём сумму этих трёх чисел:

$S = (n-1) + n + (n+1)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = n - 1 + n + n + 1 = 3n$

Полученное выражение $3n$ является произведением числа 3 и натурального числа $n$. Следовательно, оно всегда делится на 3 без остатка. Таким образом, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна $3n$, где $n$ — среднее число, и всегда кратна 3.

2) Докажем, что сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

Обозначим среднее (четвёртое) из семи последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда эти числа можно представить в виде: $n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3$. Чтобы все числа были натуральными, необходимо, чтобы $n-3 \ge 1$, то есть $n \ge 4$.

Найдём сумму этих семи чисел:

$S = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сгруппируем слагаемые и увидим, что $ -3, -2, -1 $ и $ +1, +2, +3 $ взаимно уничтожаются:

$S = 7n + (-3-2-1+1+2+3) = 7n + 0 = 7n$

Полученное выражение $7n$ содержит множитель 7, следовательно, оно всегда делится нацело на 7. Таким образом, сумма семи последовательных натуральных чисел всегда делится на 7.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма семи последовательных натуральных чисел равна $7n$, где $n$ — среднее число, и всегда делится нацело на 7.

3) Докажем, что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Пусть первое из четырёх последовательных чётных натуральных чисел равно $2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$).

Тогда следующие три последовательных чётных числа будут $2k+2$, $2k+4$ и $2k+6$.

Найдём их сумму:

$S = 2k + (2k+2) + (2k+4) + (2k+6)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = 8k + 12$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S = 4(2k+3)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $2k+3$ также является целым числом. Выражение $4(2k+3)$ содержит множитель 4, а значит, оно всегда делится нацело на 4.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 4.

4) Докажем, что сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Обозначим среднее (третье) из пяти последовательных чётных натуральных чисел как $n$. Тогда эти числа можно представить в виде: $n-4, n-2, n, n+2, n+4$. По условию, это чётные натуральные числа, поэтому $n$ — чётное, и $n-4 \ge 2$, то есть $n \ge 6$.

Найдём сумму этих пяти чисел:

$S = (n-4) + (n-2) + n + (n+2) + (n+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = 5n + (-4-2+2+4) = 5n + 0 = 5n$

По условию, $n$ — это чётное число. Следовательно, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 3$).

Подставим это представление в нашу сумму:

$S = 5n = 5 \cdot (2k) = 10k$

Полученное выражение $10k$ содержит множитель 10, следовательно, оно всегда делится нацело на 10. Таким образом, сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел всегда делится на 10.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 10.