Номер 446, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 446, страница 78.

Условие.

446. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

Запись $\overline{abc}$ обозначает трехзначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Буквы $a, b, c$ обозначают цифры этого числа. Так как в условии даны также числа $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$, это означает, что цифры $a, b, c$ не равны нулю, поскольку они стоят в разряде сотен.

Представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{bca} = 100b + 10c + a$

$\overline{cab} = 100c + 10a + b$

Найдем сумму этих трех чисел:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111a + 111b + 111c = 111(a + b + c)$

Сумма цифр $(a + b + c)$ является целым числом. Полученное выражение представляет собой произведение числа 111 на целое число. Следовательно, сумма исходных чисел всегда кратна 111, что и требовалось доказать.

Ответ:

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

Представим число $\overline{abc}$ в виде суммы разрядных слагаемых. По определению трехзначного числа, $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ и $c$ — цифры от 0 до 9.

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Сумма цифр этого числа равна:

$a + b + c$

Найдем разность между числом $\overline{abc}$ и суммой его цифр:

$\overline{abc} - (a + b + c) = (100a + 10b + c) - (a + b + c)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$100a + 10b + c - a - b - c = (100a - a) + (10b - b) + (c - c) = 99a + 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$99a + 9b = 9(11a + b)$

Так как $a$ и $b$ являются цифрами, выражение $(11a + b)$ является целым числом. Таким образом, разность числа и суммы его цифр представляет собой произведение числа 9 на целое число. Следовательно, эта разность всегда делится нацело на 9, что и требовалось доказать.

Ответ: