Номер 441, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 441, страница 77.

Условие.

441. Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении $x$.

Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении x.

Для начала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4) = 2x^4 + 4x - 1 - x^2 - 8 - 9x + 5x + x^2 - 3x^4$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(2x^4 - 3x^4) + (-x^2 + x^2) + (4x - 9x + 5x) + (-1 - 8)$

Выполним вычисления в каждой группе и получим упрощенное выражение:

$-x^4 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 9 = -x^4 - 9$

Теперь проанализируем полученный результат $-x^4 - 9$.

Для любого действительного числа $x$, его значение в четвертой степени ($x^4$) является неотрицательным, так как показатель степени — четное число. Таким образом, $x^4 \ge 0$.

Если мы умножим обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^4 \le 0$.

Наконец, вычтем 9 из обеих частей полученного неравенства:

$-x^4 - 9 \le 0 - 9$

$-x^4 - 9 \le -9$

Так как максимальное значение выражения равно $-9$, а $-9$ — это отрицательное число, то при любом значении $x$ данное выражение всегда будет принимать отрицательное значение, что и требовалось доказать.

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $-x^4 - 9$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $-x^4 \le 0$, и следовательно $-x^4 - 9 \le -9$. Поскольку $-9 < 0$, выражение всегда отрицательно.

Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x?

Как было установлено ранее, данное выражение тождественно равно $-x^4 - 9$.

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо найти максимум функции $y(x) = -x^4 - 9$.

Значение функции $y(x)$ будет максимальным, когда слагаемое $-x^4$ принимает свое наибольшее значение. Это происходит, когда $x^4$ принимает свое наименьшее значение.

Наименьшее значение для $x^4$ равно $0$, и это достигается только при $x=0$.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно:

$y_{max} = -(0)^4 - 9 = 0 - 9 = -9$.

Это значение достигается при $x=0$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-9$, оно достигается при $x=0$.