Номер 442, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 442, страница 77.

Условие.

442. Докажите, что выражение $(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y$ принимает положительное значение при любом значении y. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажите, что выражение $(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y$ принимает положительное значение при любом значении $y$.

Для начала упростим данное выражение. Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y = 7y^2 - 9y + 8 - 3y^2 + 6y - 4 + 3y$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(7y^2 - 3y^2) + (-9y + 6y + 3y) + (8 - 4) = 4y^2 + 0 \cdot y + 4 = 4y^2 + 4$

Получили выражение $4y^2 + 4$. Теперь докажем, что оно всегда принимает положительное значение.

Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.

При умножении на положительное число 4 неравенство сохраняется: $4y^2 \ge 0$.

Прибавив к обеим частям неравенства число 4, получим:

$4y^2 + 4 \ge 4$

Поскольку $4 > 0$, то и значение выражения $4y^2 + 4$ всегда будет положительным, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $4y^2 + 4$. Так как $y^2 \ge 0$ при любом значении $y$, то $4y^2 \ge 0$, и следовательно, $4y^2 + 4 \ge 4$. А так как $4 > 0$, то выражение всегда положительно.

Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $y$?

Мы работаем с упрощенным выражением $4y^2 + 4$.

Как было показано выше, для любого значения $y$ выполняется неравенство $4y^2 + 4 \ge 4$.

Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать выражение, равно 4.

Найдем, при каком значении $y$ это наименьшее значение достигается. Равенство достигается, когда $4y^2 + 4 = 4$.

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$4y^2 = 0$

Разделим на 4:

$y^2 = 0$

Отсюда следует, что $y=0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается при $y=0$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 4, оно достигается при $y=0$.