Номер 445, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 445, страница 77.

Условие.

445. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ делится нацело на 11;

2) разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ делится нацело на 99.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства представим числа $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ в виде суммы разрядных слагаемых. Запись $\overline{xy}$ означает двузначное число, которое можно представить как $10x + y$.

Таким образом, имеем:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{bc} = 10b + c$

$\overline{ca} = 10c + a$

Теперь найдем сумму этих чисел:

$\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = (10a + b) + (10b + c) + (10c + a)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(10a + a) + (b + 10b) + (c + 10c) = 11a + 11b + 11c$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11(a + b + c)$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ являются цифрами, их сумма $(a + b + c)$ — это целое число. В результате мы получили произведение числа 11 на целое число, которое по определению делится на 11 нацело.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства представим трехзначные числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы разрядных слагаемых. Запись $\overline{xyz}$ означает трехзначное число, которое можно представить как $100x + 10y + z$.

Таким образом, имеем:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{cba} = 100c + 10b + a$

Теперь найдем разность этих чисел:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

Выполним вычисления:

$99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:

$99(a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами, их разность $(a - c)$ — это целое число. В результате мы получили произведение числа 99 на целое число, которое по определению делится на 99 нацело.

Ответ: что и требовалось доказать.