Номер 440, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 440, страница 77.

Условие.

440. Представьте многочлен $3x^2 + 10x - 5$ в виде разности двучлена и трёхчлена.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить заданный многочлен $3x^2+10x-5$ в виде разности двучлена и трёхчлена, необходимо найти такой двучлен (многочлен из двух членов), назовём его $A$, и такой трёхчлен (многочлен из трёх членов), назовём его $B$, чтобы выполнялось равенство:

$A - B = 3x^2+10x-5$

Данное равенство можно преобразовать к виду:

$A = (3x^2+10x-5) + B$

Эта формула показывает, что мы можем выбрать произвольный трёхчлен $B$, после чего вычислить соответствующий ему двучлен $A$. Так как существует бесконечно много способов выбрать трёхчлен $B$, то и решений у этой задачи бесконечно много.Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 1

Давайте выберем простой трёхчлен $B$. Чтобы в результате вычисления $A$ получилось как можно меньше слагаемых (в нашем случае два), удобно выбрать $B$ так, чтобы некоторые его члены были противоположны членам исходного многочлена.

Пусть трёхчлен $B$ будет $B = -10x + 5 + x^4$.

Теперь найдём двучлен $A$, подставив $B$ в нашу формулу:

$A = (3x^2+10x-5) + (-10x+5+x^4)$

$A = 3x^2+10x-5-10x+5+x^4$

Приводим подобные слагаемые:

$A = 3x^2 + x^4$

Мы получили двучлен $A = 3x^2 + x^4$. Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде следующей разности:

$(3x^2 + x^4) - (-10x + 5 + x^4)$

Проверим, раскрыв скобки: $3x^2 + x^4 + 10x - 5 - x^4 = 3x^2 + 10x - 5$. Всё верно.

Пример 2

Выберем другой трёхчлен $B$, например, $B = -3x^2 + x + 1$.

Снова вычислим соответствующий двучлен $A$:

$A = (3x^2+10x-5) + (-3x^2 + x + 1)$

$A = 3x^2+10x-5-3x^2+x+1$

Приводим подобные слагаемые:

$A = (10x+x) + (-5+1) = 11x - 4$

Мы получили двучлен $A = 11x - 4$. Значит, ещё один вариант представления исходного многочлена:

$(11x - 4) - (-3x^2 + x + 1)$

Проверим: $11x - 4 - (-3x^2) - x - 1 = 11x - 4 + 3x^2 - x - 1 = 3x^2 + 10x - 5$. Всё верно.

Ответ: Задачу можно решить множеством способов, например: $(3x^2 + x^4) - (x^4 - 10x + 5)$ или $(11x - 4) - (-3x^2 + x + 1)$.