Номер 443, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 443, страница 77.

Условие.

443. Докажите, что:

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6;

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8;

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5

Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$.

Найдем их сумму:

$S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_5 = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$S_5 = 5(n+2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ также является натуральным числом. Произведение $5(n+2)$ является произведением числа 5 и натурального числа, следовательно, оно делится на 5 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6

Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k \in \mathbb{N}$ ($k \ge 1$). Обозначим первое из трёх последовательных чётных чисел как $2k$.

Следующие два последовательных чётных числа будут $2k+2$ и $2k+4$.

Найдем их сумму:

$S_3 = 2k + (2k+2) + (2k+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_3 = (2k+2k+2k) + (0+2+4) = 6k + 6$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$S_3 = 6(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $6(k+1)$ делится на 6 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8

Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$ ($k \ge 1$). Обозначим первое из четырёх последовательных нечётных чисел как $2k-1$.

Следующие три последовательных нечётных числа будут $(2k-1)+2 = 2k+1$, $(2k-1)+4 = 2k+3$ и $(2k-1)+6 = 2k+5$.

Найдем их сумму:

$S_4 = (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_4 = (2k+2k+2k+2k) + (-1+1+3+5) = 8k + 8$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S_4 = 8(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $8(k+1)$ делится на 8 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4

Обозначим первое из четырёх последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдем их сумму:

$S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_4 = (n+n+n+n) + (0+1+2+3) = 4n + 6$

Чтобы проверить, делится ли сумма на 4, представим её в виде $S_4 = 4n + 4 + 2$.

Вынесем общий множитель 4 за скобки для первых двух слагаемых:

$S_4 = 4(n+1) + 2$

Выражение $4(n+1)$ делится на 4 без остатка, так как $n+1$ — целое число. Однако, при делении всей суммы $4(n+1) + 2$ на 4, остаток будет равен 2. Поскольку остаток не равен 0, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3

Обозначим первое из шести последовательных натуральных чисел как $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие пять чисел будут $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ и $n+5$.

Найдем их сумму:

$S_6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_6 = (n+n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4+5) = 6n + 15$

Чтобы найти остаток от деления этой суммы на 6, представим число 15 как $12+3$:

$S_6 = 6n + 12 + 3$

Вынесем общий множитель 6 за скобки для первых двух слагаемых:

$S_6 = 6(n+2) + 3$

Выражение $6(n+2)$ делится на 6 без остатка. Следовательно, при делении всей суммы $6(n+2) + 3$ на 6, остаток будет равен 3. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.