Номер 448, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 448, страница 78.

Условие.

448. Расставьте скобки так, чтобы равенство стало тождеством:

1) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 2;$

2) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -2;$

3) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 2$ стало тождеством, необходимо так расставить скобки, чтобы после их раскрытия все члены, содержащие переменную $x$, сократились, а свободные члены в сумме дали 2.

Рассмотрим выражение $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1$. Заметим, что для сокращения членов с $x^2$ и $x$ необходимо изменить знаки у второй пары подобных слагаемых. Этого можно добиться, поставив скобки вокруг последних трех членов с предшествующим знаком минус:

$x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x - 1)$

Теперь раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри скобок на противоположные:

$x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x + 1$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 + 1) = 0 + 0 + 2 = 2$

Полученное равенство $2 = 2$ является тождеством, так как оно верно при любых значениях $x$.
Ответ: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x - 1) = 2$.

2) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -2$ стало тождеством, необходимо, чтобы после расстановки скобок и упрощения левая часть стала равна -2 для любого значения $x$.

Проанализируем условия, которые должны выполняться:

1. Все члены, содержащие $x$ ($x^2$ и $x$), должны сократиться.
2. Сумма свободных членов должна быть равна -2.

Рассмотрим члены с переменной. У нас есть $x^2$ и $-x^2$, а также $-2x$ и $-2x$.

• Чтобы члены $x^2$ и $-x^2$ сократились, они должны в итоге иметь противоположные знаки (например, $x^2$ и $-x^2$). Это произойдет, если они оба находятся вне скобок с минусом перед ними, либо оба внутри одних и тех же скобок. Если же один член окажется внутри скобок с минусом, а другой — снаружи, их знаки могут стать одинаковыми (например, $x^2$ и $-(-x^2) = x^2$), и они не сократятся.
• Чтобы члены $-2x$ и $-2x$ сократились, их сумма должна стать равной нулю. Это возможно, только если один из них изменит знак на противоположный, т.е. станет $+2x$. Это произойдет, если один из членов $-2x$ окажется внутри скобок со знаком минус перед ними, а другой — снаружи.

Рассмотрим свободные члены. У нас есть $+1$ и $-1$. Чтобы их сумма стала равна -2, они должны превратиться в $-1$ и $-1$.

• Чтобы $+1$ стал $-1$, он должен оказаться внутри скобок со знаком минус перед ними.
• Чтобы $-1$ остался $-1$, он должен находиться вне скобок со знаком минус перед ними.

Итак, мы имеем противоречивые требования. Чтобы $+1$ оказался в скобках с минусом, скобка должна быть поставлена так: $... - (...+1...)$. В нашем выражении это часть $-2x+1$. Чтобы сделать из нее $-(...)$, нужно сгруппировать ее как $-(2x-1)$. В этом случае первый член $-2x$ также оказывается внутри скобок с минусом. Но по условию сокращения $x$-ов, второй член $-2x$ должен быть вне этих скобок. Давайте проверим эту расстановку: $x^2 - (2x - 1) - x^2 - 2x - 1$. Раскрываем скобки: $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -4x$. Переменная $x$ не сократилась, тождество не получено.

Любая другая расстановка скобок также не приводит к желаемому результату. Таким образом, невозможно расставить скобки в данном выражении так, чтобы получилось тождество, равное -2. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка (либо в самом выражении, либо в требуемом результате).
Ответ: Расставить скобки так, чтобы равенство стало тождеством, невозможно из-за, предположительно, опечатки в условии.

3) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0$ стало тождеством, нужно, чтобы после раскрытия скобок все члены взаимно уничтожились.

Для этого нам нужно получить пары противоположных по знаку слагаемых: $x^2$ и $-x^2$, $-2x$ и $+2x$, $+1$ и $-1$. В исходном выражении уже есть $x^2$ и $-x^2$, а также $+1$ и $-1$. Проблема в членах $-2x$ и $-2x$. Нам нужно, чтобы один из них изменил знак.

Рассмотрим вариант расстановки скобок, при котором второй член $-2x$ окажется в скобках с минусом перед ними, а второй свободный член $-1$ останется за скобками:

$x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x) - 1$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x - 1$

Теперь сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 - 1) = 0 + 0 + 0 = 0$

Равенство $0=0$ является тождеством. Существует и другой, более сложный вариант с вложенными скобками: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - (2x - 1)) = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x) - 1 = 0$.