Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

446. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

Запись $\overline{abc}$ обозначает трехзначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Буквы $a, b, c$ обозначают цифры этого числа. Так как в условии даны также числа $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$, это означает, что цифры $a, b, c$ не равны нулю, поскольку они стоят в разряде сотен.

Представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{bca} = 100b + 10c + a$

$\overline{cab} = 100c + 10a + b$

Найдем сумму этих трех чисел:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111a + 111b + 111c = 111(a + b + c)$

Сумма цифр $(a + b + c)$ является целым числом. Полученное выражение представляет собой произведение числа 111 на целое число. Следовательно, сумма исходных чисел всегда кратна 111, что и требовалось доказать.

Ответ:

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

Представим число $\overline{abc}$ в виде суммы разрядных слагаемых. По определению трехзначного числа, $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ и $c$ — цифры от 0 до 9.

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Сумма цифр этого числа равна:

$a + b + c$

Найдем разность между числом $\overline{abc}$ и суммой его цифр:

$\overline{abc} - (a + b + c) = (100a + 10b + c) - (a + b + c)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$100a + 10b + c - a - b - c = (100a - a) + (10b - b) + (c - c) = 99a + 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$99a + 9b = 9(11a + b)$

Так как $a$ и $b$ являются цифрами, выражение $(11a + b)$ является целым числом. Таким образом, разность числа и суммы его цифр представляет собой произведение числа 9 на целое число. Следовательно, эта разность всегда делится нацело на 9, что и требовалось доказать.

Ответ:

447. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых многочлены $5x^2 - 6xy - 7y^2$ и $-3x^2 + 6xy + 8y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существуют такие значения x и y, при которых оба данных многочлена одновременно принимают отрицательные значения. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства:

1) $5x^2 - 6xy - 7y^2 < 0$

2) $-3x^2 + 6xy + 8y^2 < 0$

Поскольку оба выражения по нашему предположению отрицательны, их сумма также должна быть отрицательной. Сложим левые части этих неравенств:

$(5x^2 - 6xy - 7y^2) + (-3x^2 + 6xy + 8y^2) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$5x^2 - 3x^2 - 6xy + 6xy - 7y^2 + 8y^2 < 0$

В результате упрощения получаем:

$2x^2 + y^2 < 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. Для любых действительных чисел x и y выполняются следующие условия:

• $x^2 \ge 0$, следовательно, $2x^2 \ge 0$.
• $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($2x^2$ и $y^2$) также всегда является неотрицательным числом. То есть, для любых значений x и y должно выполняться неравенство:

$2x^2 + y^2 \ge 0$

Мы получили противоречие. Из нашего первоначального предположения следует, что $2x^2 + y^2 < 0$, но из свойств действительных чисел следует, что $2x^2 + y^2 \ge 0$. Одно и то же выражение не может быть одновременно и строго отрицательным, и неотрицательным.

Следовательно, наше исходное предположение неверно, и не существует таких значений x и y, при которых оба многочлена одновременно были бы отрицательными.

Ответ: Что и требовалось доказать.

448. Расставьте скобки так, чтобы равенство стало тождеством:

1) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 2;$

2) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -2;$

3) $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0.$

1) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 2$ стало тождеством, необходимо так расставить скобки, чтобы после их раскрытия все члены, содержащие переменную $x$, сократились, а свободные члены в сумме дали 2.

Рассмотрим выражение $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1$. Заметим, что для сокращения членов с $x^2$ и $x$ необходимо изменить знаки у второй пары подобных слагаемых. Этого можно добиться, поставив скобки вокруг последних трех членов с предшествующим знаком минус:

$x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x - 1)$

Теперь раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри скобок на противоположные:

$x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x + 1$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 + 1) = 0 + 0 + 2 = 2$

Полученное равенство $2 = 2$ является тождеством, так как оно верно при любых значениях $x$.
Ответ: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x - 1) = 2$.

2) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -2$ стало тождеством, необходимо, чтобы после расстановки скобок и упрощения левая часть стала равна -2 для любого значения $x$.

Проанализируем условия, которые должны выполняться:

1. Все члены, содержащие $x$ ($x^2$ и $x$), должны сократиться.
2. Сумма свободных членов должна быть равна -2.

Рассмотрим члены с переменной. У нас есть $x^2$ и $-x^2$, а также $-2x$ и $-2x$.

• Чтобы члены $x^2$ и $-x^2$ сократились, они должны в итоге иметь противоположные знаки (например, $x^2$ и $-x^2$). Это произойдет, если они оба находятся вне скобок с минусом перед ними, либо оба внутри одних и тех же скобок. Если же один член окажется внутри скобок с минусом, а другой — снаружи, их знаки могут стать одинаковыми (например, $x^2$ и $-(-x^2) = x^2$), и они не сократятся.
• Чтобы члены $-2x$ и $-2x$ сократились, их сумма должна стать равной нулю. Это возможно, только если один из них изменит знак на противоположный, т.е. станет $+2x$. Это произойдет, если один из членов $-2x$ окажется внутри скобок со знаком минус перед ними, а другой — снаружи.

Рассмотрим свободные члены. У нас есть $+1$ и $-1$. Чтобы их сумма стала равна -2, они должны превратиться в $-1$ и $-1$.

• Чтобы $+1$ стал $-1$, он должен оказаться внутри скобок со знаком минус перед ними.
• Чтобы $-1$ остался $-1$, он должен находиться вне скобок со знаком минус перед ними.

Итак, мы имеем противоречивые требования. Чтобы $+1$ оказался в скобках с минусом, скобка должна быть поставлена так: $... - (...+1...)$. В нашем выражении это часть $-2x+1$. Чтобы сделать из нее $-(...)$, нужно сгруппировать ее как $-(2x-1)$. В этом случае первый член $-2x$ также оказывается внутри скобок с минусом. Но по условию сокращения $x$-ов, второй член $-2x$ должен быть вне этих скобок. Давайте проверим эту расстановку: $x^2 - (2x - 1) - x^2 - 2x - 1$. Раскрываем скобки: $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = -4x$. Переменная $x$ не сократилась, тождество не получено.

Любая другая расстановка скобок также не приводит к желаемому результату. Таким образом, невозможно расставить скобки в данном выражении так, чтобы получилось тождество, равное -2. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка (либо в самом выражении, либо в требуемом результате).
Ответ: Расставить скобки так, чтобы равенство стало тождеством, невозможно из-за, предположительно, опечатки в условии.

3) Чтобы равенство $x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0$ стало тождеством, нужно, чтобы после раскрытия скобок все члены взаимно уничтожились.

Для этого нам нужно получить пары противоположных по знаку слагаемых: $x^2$ и $-x^2$, $-2x$ и $+2x$, $+1$ и $-1$. В исходном выражении уже есть $x^2$ и $-x^2$, а также $+1$ и $-1$. Проблема в членах $-2x$ и $-2x$. Нам нужно, чтобы один из них изменил знак.

Рассмотрим вариант расстановки скобок, при котором второй член $-2x$ окажется в скобках с минусом перед ними, а второй свободный член $-1$ останется за скобками:

$x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x) - 1$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x - 1$

Теперь сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 - 1) = 0 + 0 + 0 = 0$

Равенство $0=0$ является тождеством. Существует и другой, более сложный вариант с вложенными скобками: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - (2x - 1)) = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 2x) - 1 = 0$.

449. Экипаж круизного лайнера состоит из 72 человек, а наибольшее количество туристов, которые могут на нём путешествовать, – 264. Какое наименьшее количество спасательных шлюпок должно быть на лайнере, если одна шлюпка рассчитана на 60 человек?

Для того чтобы найти наименьшее количество спасательных шлюпок, необходимо сначала определить максимальное общее количество людей, которые могут находиться на лайнере. Это сумма членов экипажа и максимального числа туристов.

1. Рассчитаем общее число людей на борту:
$72 + 264 = 336$ человек.
Следовательно, все спасательные средства должны вмещать 336 человек.

2. Теперь определим, сколько шлюпок потребуется, чтобы разместить всех этих людей. Вместимость одной шлюпки — 60 человек. Разделим общее количество людей на вместимость одной шлюпки:
$336 \div 60 = 5.6$

Поскольку количество шлюпок может быть только целым числом, а 5 шлюпок будет недостаточно для спасения всех ( $5 \times 60 = 300$ человек, что меньше 336), необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.
Таким образом, минимально необходимое количество шлюпок — 6.

Ответ: 6.

450. В магазине продаётся изюм, расфасованный в пакеты по 400 г по цене 320 р. за пакет и в пакеты по 150 г по цене 110 р. за пакет. Максиму требуется купить 2,4 кг изюма. Как ему выгоднее это сделать?

Для решения задачи необходимо найти такую комбинацию покупок пакетов изюма, которая обеспечит необходимую массу (2,4 кг) при минимальной общей стоимости.

Сначала переведем необходимую массу изюма в граммы для удобства расчетов:$2,4 \text{ кг} = 2400 \text{ г}$.

Условия задачи:

• Большой пакет: масса 400 г, цена 320 руб.
• Маленький пакет: масса 150 г, цена 110 руб.

Чтобы понять, какой изюм в целом выгоднее, рассчитаем цену за 1 грамм для каждого типа пакета.

• Цена за 1 г в большом пакете: $320 \text{ руб.} / 400 \text{ г} = 0,8 \text{ руб./г}$.
• Цена за 1 г в маленьком пакете: $110 \text{ руб.} / 150 \text{ г} \approx 0,733 \text{ руб./г}$.

Сравнение показывает, что изюм в маленьких пакетах дешевле за грамм. Однако это не гарантирует, что покупка только маленьких пакетов будет самым выгодным решением для получения ровно 2400 г из-за особенностей фасовки. Поэтому необходимо рассмотреть все возможные комбинации.

Рассмотрим все возможные варианты покупки, чтобы набрать не менее 2400 г изюма, комбинируя пакеты разного размера. Пусть $x$ — количество больших пакетов (по 400 г), а $y$ — количество маленьких (по 150 г). Мы ищем минимальную стоимость $C = 320x + 110y$ при условии $400x + 150y \ge 2400$.

• Вариант 1: Только большие пакеты ($x=6, y=0$)
  Чтобы получить 2400 г, нужно купить $2400 / 400 = 6$ больших пакетов.
  Общая стоимость: $6 \times 320 \text{ руб.} = 1920 \text{ руб.}$
• Вариант 2: 5 больших пакетов ($x=5$)
  Масса от больших пакетов: $5 \times 400 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
  Необходимо докупить: $2400 - 2000 = 400 \text{ г}$.
  Количество маленьких пакетов: $400 / 150 \approx 2,67$. Значит, нужно купить 3 маленьких пакета.
  Общая стоимость: $(5 \times 320) + (3 \times 110) = 1600 + 330 = 1930 \text{ руб.}$
• Вариант 3: 4 больших пакета ($x=4$)
  Масса от больших пакетов: $4 \times 400 \text{ г} = 1600 \text{ г}$.
  Необходимо докупить: $2400 - 1600 = 800 \text{ г}$.
  Количество маленьких пакетов: $800 / 150 \approx 5,33$. Значит, нужно купить 6 маленьких пакетов.
  Общая стоимость: $(4 \times 320) + (6 \times 110) = 1280 + 660 = 1940 \text{ руб.}$
• Вариант 4: 3 больших пакета ($x=3$)
  Масса от больших пакетов: $3 \times 400 \text{ г} = 1200 \text{ г}$.
  Необходимо докупить: $2400 - 1200 = 1200 \text{ г}$.
  Количество маленьких пакетов: $1200 / 150 = 8$. Нужно купить ровно 8 маленьких пакетов.
  Общая стоимость: $(3 \times 320) + (8 \times 110) = 960 + 880 = 1840 \text{ руб.}$
• Вариант 5: 2 больших пакета ($x=2$)
  Масса от больших пакетов: $2 \times 400 \text{ г} = 800 \text{ г}$.
  Необходимо докупить: $2400 - 800 = 1600 \text{ г}$.
  Количество маленьких пакетов: $1600 / 150 \approx 10,67$. Значит, нужно купить 11 маленьких пакетов.
  Общая стоимость: $(2 \times 320) + (11 \times 110) = 640 + 1210 = 1850 \text{ руб.}$
• Вариант 6: 1 большой пакет ($x=1$)
  Масса от большого пакета: $1 \times 400 \text{ г} = 400 \text{ г}$.
  Необходимо докупить: $2400 - 400 = 2000 \text{ г}$.
  Количество маленьких пакетов: $2000 / 150 \approx 13,33$. Значит, нужно купить 14 маленьких пакетов.
  Общая стоимость: $(1 \times 320) + (14 \times 110) = 320 + 1540 = 1860 \text{ руб.}$
• Вариант 7: Только маленькие пакеты ($x=0, y=16$)
  Чтобы получить 2400 г, нужно купить $2400 / 150 = 16$ маленьких пакетов.
  Общая стоимость: $16 \times 110 \text{ руб.} = 1760 \text{ руб.}$

Сравнивая итоговую стоимость всех рассмотренных вариантов, видим, что минимальная цена составляет 1760 рублей. Эта стоимость достигается при покупке только маленьких пакетов изюма.

Ответ: Максиму выгоднее всего купить 16 пакетов изюма по 150 г. Общая стоимость покупки составит 1760 рублей.

451. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую – за 6 ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, потом её закрыли, но открыли вторую. За сколько часов был наполнен бассейн?

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Примем весь объем бассейна за единицу (1).

1. Определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба наполняет за один час.

• Производительность первой трубы: так как она наполняет весь бассейн за 3 часа, ее производительность составляет $ \frac{1}{3} $ бассейна в час.
• Производительность второй трубы: так как она наполняет весь бассейн за 6 часов, ее производительность составляет $ \frac{1}{6} $ бассейна в час.

2. Рассчитаем, какая часть бассейна была наполнена за первые 2 часа, когда работала первая труба. Для этого умножим производительность первой трубы на время ее работы:
$ \frac{1}{3} \frac{\text{бассейна}}{\text{час}} \times 2 \text{ часа} = \frac{2}{3} $ части бассейна.

3. Найдем, какая часть бассейна осталась незаполненной после того, как первая труба была закрыта. Для этого вычтем из общего объема бассейна (1) уже заполненную часть:
$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ части бассейна.

4. Оставшуюся $ \frac{1}{3} $ часть бассейна наполняла вторая труба. Рассчитаем, сколько времени ей на это потребовалось. Для этого разделим оставшийся объем на производительность второй трубы:
$ \frac{1}{3} \text{ части бассейна} \div \frac{1}{6} \frac{\text{бассейна}}{\text{час}} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{3} = 2 $ часа.

5. Теперь найдем общее время, за которое был наполнен весь бассейн. Для этого сложим время работы первой трубы и время работы второй трубы:
$ 2 \text{ часа} \text{ (первая труба)} + 2 \text{ часа} \text{ (вторая труба)} = 4 \text{ часа}$.

Ответ: 4 часа.

452. Известно, что в парке $\frac{7}{24}$ деревьев составляют каштаны, а $\frac{5}{18}$ — берёзы. Сколько всего деревьев в парке, если их больше, чем 100, но меньше, чем 200?

Пусть $N$ — общее количество деревьев в парке. Согласно условию, каштаны составляют $\frac{7}{24}$ от общего числа деревьев, а берёзы — $\frac{5}{18}$.

Количество каштанов равно $N \cdot \frac{7}{24}$, а количество берёз — $N \cdot \frac{5}{18}$. Поскольку количество деревьев каждого вида должно быть целым числом, общее количество деревьев $N$ должно делиться нацело и на знаменатель 24, и на знаменатель 18. Следовательно, $N$ должно быть общим кратным чисел 24 и 18.

Чтобы найти все возможные значения $N$, найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 24 и 18. Для этого разложим их на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(24, 18) вычисляется как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
НОК(24, 18) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно быть кратно 72. То есть, $N$ может быть равно 72, 144, 216, 288 и так далее.

По условию задачи, количество деревьев в парке больше 100, но меньше 200. Запишем это условие в виде двойного неравенства: $100 < N < 200$.Теперь выберем из чисел, кратных 72, то, которое попадает в этот интервал:
- $72 \cdot 1 = 72$ (не подходит, так как $72 < 100$);
- $72 \cdot 2 = 144$ (подходит, так как $100 < 144 < 200$);
- $72 \cdot 3 = 216$ (не подходит, так как $216 > 200$).

Таким образом, единственное значение, удовлетворяющее всем условиям задачи, это 144.

Ответ: 144.

453. Из села в направлении станции вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час из села со скоростью $10 \text{ км/ч}$ выехал велосипедист, который прибыл на станцию на $0,5 \text{ ч}$ раньше пешехода. Какое расстояние от села до станции?

Для решения задачи обозначим искомое расстояние от села до станции через $S$ (в километрах).

Дано:

• Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Время, которое пешеход затратил на весь путь, можно выразить формулой $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4}$ часов.

Время, которое велосипедист затратил на весь путь, составляет $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{S}{10}$ часов.

Согласно условию, велосипедист выехал на 1 час позже пешехода и прибыл на 0,5 часа раньше. Это означает, что общее время в пути у пешехода было больше, чем у велосипедиста. Разница во времени их движения составляет сумму времени форы пешехода и времени, на которое велосипедист приехал раньше:

$\Delta t = 1 \text{ час} + 0,5 \text{ часа} = 1,5 \text{ часа}$

Таким образом, мы можем составить уравнение, связывающее время движения пешехода и велосипедиста:

$t_п - t_в = 1,5$

Подставим в это уравнение выражения для $t_п$ и $t_в$:

$\frac{S}{4} - \frac{S}{10} = 1,5$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 10 — это 20.

$\frac{5 \cdot S}{20} - \frac{2 \cdot S}{20} = 1,5$

$\frac{5S - 2S}{20} = 1,5$

$\frac{3S}{20} = 1,5$

Теперь найдем $S$:

$3S = 1,5 \cdot 20$

$3S = 30$

$S = \frac{30}{3}$

$S = 10$

Следовательно, расстояние от села до станции равно 10 км.

Проверим результат. Время пешехода: $t_п = \frac{10}{4} = 2,5$ часа. Время велосипедиста: $t_в = \frac{10}{10} = 1$ час. Разница во времени движения составляет $2,5 - 1 = 1,5$ часа, что полностью соответствует условию задачи (выехал на 1 час позже, приехал на 0,5 часа раньше).

Ответ: 10 км.

454. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

1) $12 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)$;

2) $36 \cdot \left(\frac{17}{18} - \frac{5}{12} + \frac{4}{9}\right)$;

3) $\left(\frac{5}{7} + \frac{5}{14}\right) \cdot \frac{28}{25}$.

1) Чтобы найти значение выражения $12 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6})$, применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

$12 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = 12 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{6}$

Теперь вычислим каждое произведение отдельно:

$12 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$12 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Подставим полученные значения обратно в выражение и найдем разность:

$3 - 2 = 1$

Ответ: 1

2) Для выражения $36 \cdot (\frac{17}{18} - \frac{5}{12} + \frac{4}{9})$ применим распределительное свойство умножения, раскрыв скобки:

$36 \cdot (\frac{17}{18} - \frac{5}{12} + \frac{4}{9}) = 36 \cdot \frac{17}{18} - 36 \cdot \frac{5}{12} + 36 \cdot \frac{4}{9}$

Вычислим каждое произведение отдельно, сокращая множители:

$36 \cdot \frac{17}{18} = \frac{36}{18} \cdot 17 = 2 \cdot 17 = 34$

$36 \cdot \frac{5}{12} = \frac{36}{12} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$

$36 \cdot \frac{4}{9} = \frac{36}{9} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16$

Подставим полученные значения в выражение и выполним действия:

$34 - 15 + 16 = 19 + 16 = 35$

Ответ: 35

3) В выражении $(\frac{5}{7} + \frac{5}{14}) \cdot \frac{28}{25}$ используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

$(\frac{5}{7} + \frac{5}{14}) \cdot \frac{28}{25} = \frac{5}{7} \cdot \frac{28}{25} + \frac{5}{14} \cdot \frac{28}{25}$

Вычислим каждое произведение, выполняя сокращение дробей:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{28}{25} = \frac{5 \cdot 28}{7 \cdot 25} = \frac{\cancel{5} \cdot 4 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 5 \cdot \cancel{5}} = \frac{4}{5}$

$\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{25} = \frac{5 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{\cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{14}}{\cancel{14} \cdot 5 \cdot \cancel{5}} = \frac{2}{5}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4 + 2}{5} = \frac{6}{5}$

Результат можно также представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$ или десятичной дроби $1.2$.

Ответ: $\frac{6}{5}$