Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

455. Раскройте скобки:

1) $4(2a - 3b);$

2) $0,3(9x - 5y + 7);$

3) $(-2,6m + 3,5n - 7,2) \cdot (-10);$

4) $-m(-n + 8k - 12).$

1)

Чтобы раскрыть скобки в выражении $4(2a - 3b)$, необходимо применить распределительный закон умножения. Для этого нужно умножить множитель $4$, стоящий перед скобками, на каждый член, находящийся внутри скобок (на $2a$ и на $-3b$).

Шаг 1: Умножаем $4$ на $2a$.

$4 \cdot 2a = 8a$

Шаг 2: Умножаем $4$ на $-3b$.

$4 \cdot (-3b) = -12b$

Шаг 3: Записываем результат, объединяя полученные выражения.

$4(2a - 3b) = 8a - 12b$

Ответ: $8a - 12b$

2)

Для раскрытия скобок в выражении $0,3(9x - 5y + 7)$ нужно умножить $0,3$ на каждый из трех членов в скобках: $9x$, $-5y$ и $7$.

Шаг 1: Умножаем $0,3$ на $9x$.

$0,3 \cdot 9x = 2,7x$

Шаг 2: Умножаем $0,3$ на $-5y$.

$0,3 \cdot (-5y) = -1,5y$

Шаг 3: Умножаем $0,3$ на $7$.

$0,3 \cdot 7 = 2,1$

Шаг 4: Соединяем полученные результаты.

$0,3(9x - 5y + 7) = 2,7x - 1,5y + 2,1$

Ответ: $2,7x - 1,5y + 2,1$

3)

В выражении $(-2,6m + 3,5n - 7,2) \cdot (-10)$ каждый член в скобках умножается на $-10$. Важно помнить правила умножения чисел с разными знаками.

Шаг 1: Умножаем $-2,6m$ на $-10$.

$(-2,6m) \cdot (-10) = 26m$ (произведение двух отрицательных чисел положительно)

Шаг 2: Умножаем $3,5n$ на $-10$.

$3,5n \cdot (-10) = -35n$ (произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно)

Шаг 3: Умножаем $-7,2$ на $-10$.

$(-7,2) \cdot (-10) = 72$ (произведение двух отрицательных чисел положительно)

Шаг 4: Записываем итоговое выражение.

$(-2,6m + 3,5n - 7,2) \cdot (-10) = 26m - 35n + 72$

Ответ: $26m - 35n + 72$

4)

В выражении $-m(-n + 8k - 12)$ необходимо умножить $-m$ на каждый член в скобках: $-n$, $8k$ и $-12$.

Шаг 1: Умножаем $-m$ на $-n$.

$(-m) \cdot (-n) = mn$ (минус на минус дает плюс)

Шаг 2: Умножаем $-m$ на $8k$.

$(-m) \cdot (8k) = -8mk$

Шаг 3: Умножаем $-m$ на $-12$.

$(-m) \cdot (-12) = 12m$ (минус на минус дает плюс)

Шаг 4: Объединяем полученные члены.

$-m(-n + 8k - 12) = mn - 8mk + 12m$

Ответ: $mn - 8mk + 12m$

456. Упростите выражение:

1) $3m^2n \cdot 0,4mn^3$;

2) $7\frac{1}{3}b^3c^2 \cdot \frac{9}{11}a^4b^5$;

3) $-5x^4y^2z^8 \cdot (-0,8x^6y^8z^2)$;

4) $-5\frac{3}{7}abc \cdot 3,5a^{12}b^{10}c$.

1) Чтобы упростить выражение $3m^2n \cdot 0,4mn^3$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (переменные).

Сначала перемножим коэффициенты: $3 \cdot 0,4 = 1,2$.

Затем перемножим переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются по правилу $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

Для переменной $m$: $m^2 \cdot m = m^2 \cdot m^1 = m^{2+1} = m^3$.

Для переменной $n$: $n \cdot n^3 = n^1 \cdot n^3 = n^{1+3} = n^4$.

Соединяем полученные результаты: $1,2m^3n^4$.

Ответ: $1,2m^3n^4$.

2) Для упрощения выражения $7\frac{1}{3}b^3c^2 \cdot \frac{9}{11}a^4b^5$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а затем перемножим коэффициенты и переменные.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $7\frac{1}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{22}{3}$.

Теперь перемножим числовые коэффициенты: $\frac{22}{3} \cdot \frac{9}{11} = \frac{22 \cdot 9}{3 \cdot 11}$. Сократим дробь, разложив числа на множители: $\frac{2 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 11} = 2 \cdot 3 = 6$.

Далее перемножим переменные, складывая показатели степеней для одинаковых оснований.

Для переменной $a$: $a^4$ (остается без изменений).

Для переменной $b$: $b^3 \cdot b^5 = b^{3+5} = b^8$.

Для переменной $c$: $c^2$ (остается без изменений).

Объединяем полученные результаты и для стандартной записи располагаем переменные в алфавитном порядке: $6a^4b^8c^2$.

Ответ: $6a^4b^8c^2$.

3) Упростим выражение $-5x^4y^2z^8 \cdot (-0,8x^6y^8z^2)$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $-5 \cdot (-0,8) = 4$.

Далее перемножим степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели.

Для переменной $x$: $x^4 \cdot x^6 = x^{4+6} = x^{10}$.

Для переменной $y$: $y^2 \cdot y^8 = y^{2+8} = y^{10}$.

Для переменной $z$: $z^8 \cdot z^2 = z^{8+2} = z^{10}$.

Собираем все части вместе: $4x^{10}y^{10}z^{10}$.

Ответ: $4x^{10}y^{10}z^{10}$.

4) Для упрощения выражения $-5\frac{3}{7}abc \cdot 3,5a^{12}b^{10}c$ приведем коэффициенты к одному виду (к неправильным дробям), перемножим их, а затем перемножим переменные.

Преобразуем коэффициенты. Смешанная дробь: $-5\frac{3}{7} = -\frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{38}{7}$. Десятичная дробь: $3,5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Теперь перемножим числовые коэффициенты: $-\frac{38}{7} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{38 \cdot 7}{7 \cdot 2}$. Сокращаем на 7 и на 2: $-\frac{38}{2} = -19$.

Теперь перемножим переменные, помня, что переменная без показателя степени имеет показатель 1 (например, $a=a^1$).

Для переменной $a$: $a \cdot a^{12} = a^{1+12} = a^{13}$.

Для переменной $b$: $b \cdot b^{10} = b^{1+10} = b^{11}$.

Для переменной $c$: $c \cdot c = c^{1+1} = c^2$.

Соединяем все вместе: $-19a^{13}b^{11}c^2$.

Ответ: $-19a^{13}b^{11}c^2$.

457. Саша и Вася записывают 30-значное число, используя только цифры 1; 2; 3; 4; 5. Первую цифру пишет Саша, вторую – Вася и т. д. Вася хочет получить число, кратное 9. Сможет ли Саша ему помешать?

Для того чтобы число было кратно 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр была кратна 9. В данной задаче Саша и Вася поочередно записывают 30-значное число. Саша ходит первым и делает ходы на нечетных позициях (1-й, 3-й, ..., 29-й), а Вася — на четных (2-й, 4-й, ..., 30-й). Всего каждый из них сделает по 15 ходов. Цель Васи — сделать так, чтобы сумма всех 30 цифр делилась на 9. Цель Саши — помешать этому.

Рассмотрим выигрышную стратегию для Васи. Поскольку ходы чередуются, Вася может реагировать на каждый ход Саши. Все 30 ходов можно разбить на 15 пар: (1-й ход Саши, 1-й ход Васи), (2-й ход Саши, 2-й ход Васи), и так далее. Пусть на своем $k$-м ходу Саша записывает цифру $s_k$, а Вася на своем $k$-м ходу записывает цифру $v_k$.

Стратегия Васи состоит в том, чтобы сумма цифр в каждой паре $(s_k, v_k)$ была постоянной и равной 6. Когда Саша на своем $k$-м ходу выбирает некоторую цифру $s_k$ из набора $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, Вася в ответ выбирает цифру $v_k$ по правилу $v_k = 6 - s_k$. Проверим, всегда ли такой ход возможен для Васи:

• Если Саша пишет 1, Вася пишет $6 - 1 = 5$.
• Если Саша пишет 2, Вася пишет $6 - 2 = 4$.
• Если Саша пишет 3, Вася пишет $6 - 3 = 3$.
• Если Саша пишет 4, Вася пишет $6 - 4 = 2$.
• Если Саша пишет 5, Вася пишет $6 - 5 = 1$.
Во всех случаях ответная цифра Васи находится в допустимом множестве $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Это означает, что Вася может придерживаться этой стратегии на протяжении всей игры, независимо от ходов Саши.

Если Вася будет следовать этой стратегии, то сумма цифр в каждой из 15 пар ходов будет равна 6. Тогда общая сумма $S$ всех 30 цифр итогового числа составит $S = 15 \times 6 = 90$.

Так как сумма цифр числа равна 90, а $90$ делится на 9 ($90 = 9 \times 10$), то и само 30-значное число будет делиться на 9. Поскольку Вася может гарантированно обеспечить этот результат, Саша не сможет ему помешать.

Ответ: нет, не сможет.