Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

398. Какому из данных выражений тождественно равно выражение

$-9x + (4x - 7):$

1) $13x - 7;$

2) $-5x + 7;$

3) $-5x - 7;$

4) $13x + 7?$

Чтобы определить, какому из предложенных выражений тождественно равно исходное, необходимо упростить выражение $-9x + (4x - 7)$.

Первый шаг — раскрытие скобок. Поскольку перед скобками стоит знак «+», мы можем просто убрать скобки, при этом знаки слагаемых внутри них не изменятся:

$-9x + (4x - 7) = -9x + 4x - 7$

Второй шаг — приведение подобных слагаемых. Слагаемые с переменной $x$ (это $-9x$ и $4x$) являются подобными. Сложим их коэффициенты:

$-9x + 4x = (-9 + 4)x = -5x$

Свободный член $-7$ остается без изменений. Таким образом, после упрощения получаем следующее выражение:

$-5x - 7$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов:

1. $13x - 7$
2. $-5x + 7$
3. $-5x - 7$
4. $13x + 7$

Упрощенное выражение совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $-5x - 7$

399. Какому из данных выражений тождественно равно выражение

$-8y - (3y - 1);$

1) $-11y + 1;$

2) $-5y + 1;$

3) $-11y - 1;$

4) $-5y - 1? $

Для того чтобы определить, какому из данных выражений тождественно равно выражение $-8y - (3y - 1)$, необходимо это выражение упростить.

1. Сначала раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «минус», знаки всех слагаемых, находящихся внутри скобок, нужно изменить на противоположные:

$-8y - (3y - 1) = -8y - 3y + 1$

2. Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются те, которые имеют одинаковую буквенную часть. В данном случае это $-8y$ и $-3y$. Сложим их коэффициенты:

$-8y - 3y = (-8 - 3)y = -11y$

3. Запишем полученное выражение, добавив оставшийся член (константу):

$-11y + 1$

4. Сравним результат с предложенными вариантами:

1) $-11y + 1$

2) $-5y + 1$

3) $-11y - 1$

4) $-5y - 1$

Полученное нами выражение $-11y + 1$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 1.

Ответ: 1) $-11y + 1$

400. Упростите выражение:

1) $(2a + b) - (b - 2a);$

2) $(3a - 4) + (3 - 5a);$

3) $(m + n) - (2m + n) - (m - 4n);$

4) $(5c - 2) - (6c + 1) + (c - 8).$

1) Для того чтобы упростить выражение $(2a + b) - (b - 2a)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Раскрываем скобки. Перед первой парой скобок нет знака, поэтому мы их просто убираем. Перед второй парой скобок стоит знак минус, поэтому при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$(2a + b) - (b - 2a) = 2a + b - b + 2a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(2a + 2a) + (b - b) = 4a + 0 = 4a$

Ответ: $4a$

2) Упростим выражение $(3a - 4) + (3 - 5a)$.

Раскрываем скобки. Так как перед обеими парами скобок стоит знак плюс (или он отсутствует), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$(3a - 4) + (3 - 5a) = 3a - 4 + 3 - 5a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3a - 5a) + (-4 + 3) = -2a - 1$

Ответ: $-2a - 1$

3) Упростим выражение $(m + n) - (2m + n) - (m - 4n)$.

Раскроем все скобки. Перед второй и третьей парами скобок стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых в них изменятся на противоположные:

$(m + n) - (2m + n) - (m - 4n) = m + n - 2m - n - m + 4n$

Сгруппируем подобные слагаемые для $m$ и для $n$:

$(m - 2m - m) + (n - n + 4n)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$m - 2m - m = (1 - 2 - 1)m = -2m$

$n - n + 4n = (1 - 1 + 4)n = 4n$

Результат сложения: $-2m + 4n$.

Ответ: $-2m + 4n$

4) Упростим выражение $(5c - 2) - (6c + 1) + (c - 8)$.

Раскроем скобки. Перед второй парой скобок стоит минус, поэтому знаки меняются. Перед третьей парой скобок стоит плюс, знаки сохраняются:

$(5c - 2) - (6c + 1) + (c - 8) = 5c - 2 - 6c - 1 + c - 8$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $c$ и свободные члены):

$(5c - 6c + c) + (-2 - 1 - 8)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$5c - 6c + c = (5 - 6 + 1)c = 0 \cdot c = 0$

$-2 - 1 - 8 = -11$

Сложим полученные результаты: $0 - 11 = -11$.

Ответ: $-11$

401. Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Докажите, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.

Для доказательства воспользуемся методом от противного, а точнее, принципом крайнего. Пусть в системе есть $n$ планет, где $n \ge 2$. Обозначим планеты как $P_1, P_2, \ldots, P_n$. Расстояние между любыми двумя планетами $P_i$ и $P_j$ обозначим как $d(P_i, P_j)$.

Согласно условию задачи, все расстояния между парами планет являются постоянными и попарно различными. Это означает, что если мы возьмем две разные пары планет, например $\{P_i, P_j\}$ и $\{P_k, P_l\}$, то $d(P_i, P_j) \neq d(P_k, P_l)$. Важным следствием этого является то, что для любой планеты ближайшая к ней планета определяется однозначно.

Рассмотрим множество всех возможных попарных расстояний между планетами: $\{d(P_i, P_j) \mid 1 \le i < j \le n\}$. Это конечное множество положительных чисел. В любом конечном множестве чисел всегда есть наименьший элемент.

Пусть $d_{min}$ — это наименьшее расстояние из всех попарных расстояний в этой планетной системе. Поскольку все расстояния различны, существует ровно одна пара планет, расстояние между которыми равно $d_{min}$. Назовем эти две планеты $A$ и $B$. Таким образом, $d(A, B) = d_{min}$.

Теперь рассмотрим астронома на планете $A$. Он изучает ближайшую к $A$ планету. Чтобы определить, какую планету он изучает, нужно сравнить расстояние от $A$ до всех других планет. Расстояние от $A$ до $B$ равно $d(A, B) = d_{min}$. Рассмотрим любую другую планету $C$ (то есть $C \ne A$ и $C \ne B$). Расстояние $d(A, C)$ также является одним из попарных расстояний в системе. По определению $d_{min}$ как наименьшего расстояния, мы знаем, что $d(A, C) \ge d(A, B)$. Но так как все расстояния попарно различны, и пара $\{A, C\}$ отличается от пары $\{A, B\}$, то равенство невозможно. Следовательно, $d(A, C) > d(A, B)$. Это справедливо для любой планеты $C$, отличной от $B$. Таким образом, $B$ является единственной ближайшей планетой к $A$, и астроном на планете $A$ изучает планету $B$.

Проведем аналогичные рассуждения для астронома на планете $B$. Он изучает ближайшую к $B$ планету. Расстояние от $B$ до $A$ равно $d(B, A) = d(A, B) = d_{min}$. Для любой другой планеты $D$ (то есть $D \ne B$ и $D \ne A$), расстояние $d(B, D)$ по определению $d_{min}$ не может быть меньше этого значения: $d(B, D) \ge d_{min}$. Опять же, из-за уникальности всех попарных расстояний, $d(B, D) \ne d(B, A)$, а значит, $d(B, D) > d(B, A)$. Это означает, что $A$ является единственной ближайшей планетой к $B$. Следовательно, астроном на планете $B$ изучает планету $A$.

Мы нашли две планеты, $A$ и $B$, для которых астроном с $A$ изучает $B$, а астроном с $B$ изучает $A$. Они изучают друг друга, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пара планет, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга во всей системе, будет взаимно изучать друг друга.

402. Найдите сумму многочленов:

1) $-6 - a^2$ и $a^2 + 13$;

2) $a^2 - b + c^3$ и $-a^2 + b + c^2$;

3) $3x + 14$ и $-x^2 - 3x - 18$.

1) Чтобы найти сумму многочленов $-6 - a^2$ и $a^2 + 13$, нужно сложить их и привести подобные слагаемые.

Запишем сумму: $(-6 - a^2) + (a^2 + 13)$.

Раскроем скобки: $-6 - a^2 + a^2 + 13$.

Сгруппируем подобные члены: $(-a^2 + a^2) + (-6 + 13)$.

Сложим подобные члены: $0 + 7 = 7$.

Ответ: $7$.

2) Чтобы найти сумму многочленов $a^2 - b + c^3$ и $-a^2 + b + c^2$, сложим их и приведем подобные слагаемые.

Запишем сумму: $(a^2 - b + c^3) + (-a^2 + b + c^2)$.

Раскроем скобки: $a^2 - b + c^3 - a^2 + b + c^2$.

Сгруппируем подобные члены: $(a^2 - a^2) + (-b + b) + c^3 + c^2$.

Сложим подобные члены: $0 + 0 + c^3 + c^2 = c^3 + c^2$.

Ответ: $c^3 + c^2$.

3) Чтобы найти сумму многочленов $3x + 14$ и $-x^2 - 3x - 18$, сложим их и приведем подобные слагаемые.

Запишем сумму: $(3x + 14) + (-x^2 - 3x - 18)$.

Раскроем скобки: $3x + 14 - x^2 - 3x - 18$.

Сгруппируем подобные члены, расположив их в порядке убывания степеней переменной $x$: $-x^2 + (3x - 3x) + (14 - 18)$.

Сложим подобные члены: $-x^2 + 0 - 4 = -x^2 - 4$.

Ответ: $-x^2 - 4$.