Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

362. Каким одночленом надо заменить звёздочку, чтобы образовалось верное равенство:

1) $* \cdot 3b^4 = 12b^6;$

2) $-5a^5b^2 \cdot * = -20a^6b^8;$

3) $-7a^3b^9 \cdot * = 4,2a^5b^{12};$

4) $23a^{12}b^{16} \cdot * = -23a^{29}b^{17}?$

1) Чтобы найти неизвестный одночлен, обозначенный звёздочкой, необходимо произведение ($12b^6$) разделить на известный множитель ($3b^4$).
Выполним деление:
$* = \frac{12b^6}{3b^4} = \frac{12}{3} \cdot \frac{b^6}{b^4} = 4 \cdot b^{6-4} = 4b^2$.
Для проверки умножим полученный одночлен на известный множитель: $4b^2 \cdot 3b^4 = (4 \cdot 3) \cdot (b^2 \cdot b^4) = 12b^{2+4} = 12b^6$. Равенство верное.
Ответ: $4b^2$.

2) В данном равенстве $-5a^5b^2 \cdot * = -20a^6b^8$ звёздочка также является неизвестным множителем. Чтобы найти его, разделим произведение ($-20a^6b^8$) на известный множитель ($-5a^5b^2$).
$* = \frac{-20a^6b^8}{-5a^5b^2} = \frac{-20}{-5} \cdot \frac{a^6}{a^5} \cdot \frac{b^8}{b^2} = 4 \cdot a^{6-5} \cdot b^{8-2} = 4a^1b^6 = 4ab^6$.
Проверка: $-5a^5b^2 \cdot 4ab^6 = (-5 \cdot 4) \cdot (a^5 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b^6) = -20a^{5+1}b^{2+6} = -20a^6b^8$. Равенство верное.
Ответ: $4ab^6$.

3) Найдём искомый одночлен для равенства $-7a^3b^9 \cdot * = 4,2a^5b^{12}$, разделив произведение ($4,2a^5b^{12}$) на известный множитель ($-7a^3b^9$).
$* = \frac{4,2a^5b^{12}}{-7a^3b^9} = \frac{4,2}{-7} \cdot \frac{a^5}{a^3} \cdot \frac{b^{12}}{b^9} = -0,6 \cdot a^{5-3} \cdot b^{12-9} = -0,6a^2b^3$.
Проверка: $-7a^3b^9 \cdot (-0,6a^2b^3) = (-7 \cdot (-0,6)) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^9 \cdot b^3) = 4,2a^{3+2}b^{9+3} = 4,2a^5b^{12}$. Равенство верное.
Ответ: $-0,6a^2b^3$.

4) Найдём неизвестный одночлен для равенства $23a^{12}b^{16} \cdot * = -23a^{29}b^{17}$ путём деления произведения ($-23a^{29}b^{17}$) на известный множитель ($23a^{12}b^{16}$).
$* = \frac{-23a^{29}b^{17}}{23a^{12}b^{16}} = \frac{-23}{23} \cdot \frac{a^{29}}{a^{12}} \cdot \frac{b^{17}}{b^{16}} = -1 \cdot a^{29-12} \cdot b^{17-16} = -a^{17}b$.
Проверка: $23a^{12}b^{16} \cdot (-a^{17}b) = (23 \cdot (-1)) \cdot (a^{12} \cdot a^{17}) \cdot (b^{16} \cdot b) = -23a^{12+17}b^{16+1} = -23a^{29}b^{17}$. Равенство верное.
Ответ: $-a^{17}b$.

363. Выполните умножение одночленов, где m и n - натуральные числа:

1) $2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3} \cdot \frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1}$,

2) $-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1} \cdot 1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1}$.

1) Чтобы выполнить умножение одночленов $2\frac{5}{6}a^{n+2}b^{m+3}$ и $\frac{9}{17}a^{5n-4}b^{2m-1}$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Шаг 1: Умножение коэффициентов. Сначала представим смешанное число $2\frac{5}{6}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$.
Теперь перемножим коэффициенты: $2\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{17} = \frac{17}{6} \cdot \frac{9}{17}$. Сократим 17 в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{17}}{6} \cdot \frac{9}{\cancel{17}} = \frac{9}{6}$. Сократим полученную дробь на 3: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
Шаг 2: Умножение степеней с основанием $a$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $a^{n+2} \cdot a^{5n-4} = a^{(n+2) + (5n-4)} = a^{n+5n+2-4} = a^{6n-2}$.
Шаг 3: Умножение степеней с основанием $b$. Аналогично складываем показатели: $b^{m+3} \cdot b^{2m-1} = b^{(m+3) + (2m-1)} = b^{m+2m+3-1} = b^{3m+2}$.
Шаг 4: Собираем результат. Объединяем полученный коэффициент и степени переменных: $\frac{3}{2}a^{6n-2}b^{3m+2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}a^{6n-2}b^{3m+2}$

2) Чтобы выполнить умножение одночленов $-7\frac{1}{3}a^{2n-1}b^{3n-1}$ и $1\frac{1}{11}a^{n+6}b^{3n+1}$, действуем по тому же алгоритму.
Шаг 1: Умножение коэффициентов. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей:
$-7\frac{1}{3} = -\frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{22}{3}$.
$1\frac{1}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{12}{11}$.
Теперь перемножим коэффициенты: $(-\frac{22}{3}) \cdot \frac{12}{11} = -\frac{22 \cdot 12}{3 \cdot 11}$. Сократим 22 и 11 на 11, а 12 и 3 на 3: $-\frac{\cancel{22}^2 \cdot \cancel{12}^4}{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{11}^1} = -(2 \cdot 4) = -8$.
Шаг 2: Умножение степеней с основанием $a$. Складываем показатели: $a^{2n-1} \cdot a^{n+6} = a^{(2n-1) + (n+6)} = a^{2n+n-1+6} = a^{3n+5}$.
Шаг 3: Умножение степеней с основанием $b$. Складываем показатели: $b^{3n-1} \cdot b^{3n+1} = b^{(3n-1) + (3n+1)} = b^{3n+3n-1+1} = b^{6n}$.
Шаг 4: Собираем результат. Объединяем полученный коэффициент и степени переменных: $-8a^{3n+5}b^{6n}$.
Ответ: $-8a^{3n+5}b^{6n}$

364. Представьте в виде квадрата одночлена стандартного вида выражение:

1) $4a^{10}$

2) $36a^8b^2$

3) $0,16a^{14}b^{16}$

4) $289a^{20}b^{30}c^{40}$

1) Чтобы представить выражение $4a^{10}$ в виде квадрата одночлена стандартного вида, нужно найти такой одночлен, квадрат которого равен данному выражению. Для этого представим каждый множитель в виде квадрата.
Числовой коэффициент $4$ является квадратом числа $2$, то есть $4 = 2^2$.
Степенное выражение $a^{10}$ можно представить в виде квадрата, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$: $a^{10} = a^{5 \cdot 2} = (a^5)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как произведение квадратов: $4a^{10} = 2^2 \cdot (a^5)^2$.
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $2^2 \cdot (a^5)^2 = (2a^5)^2$.
Ответ: $(2a^5)^2$.

2) Представим выражение $36a^8b^2$ в виде квадрата одночлена.
Представим каждый множитель в виде квадрата:
Коэффициент: $36 = 6^2$.
Переменные: $a^8 = a^{4 \cdot 2} = (a^4)^2$ и $b^2 = (b^1)^2$.
Объединим все множители под один знак квадрата: $36a^8b^2 = 6^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b)^2 = (6a^4b)^2$.
Ответ: $(6a^4b)^2$.

3) Представим выражение $0.16a^{14}b^{16}$ в виде квадрата одночлена.
Представим каждый множитель в виде квадрата:
Коэффициент: $0.16 = (0.4)^2$.
Переменные: $a^{14} = a^{7 \cdot 2} = (a^7)^2$ и $b^{16} = b^{8 \cdot 2} = (b^8)^2$.
Объединим все множители: $0.16a^{14}b^{16} = (0.4)^2 \cdot (a^7)^2 \cdot (b^8)^2 = (0.4a^7b^8)^2$.
Ответ: $(0.4a^7b^8)^2$.

4) Представим выражение $289a^{20}b^{30}c^{40}$ в виде квадрата одночлена.
Представим каждый множитель в виде квадрата:
Коэффициент: $289 = 17^2$.
Переменные: $a^{20} = a^{10 \cdot 2} = (a^{10})^2$, $b^{30} = b^{15 \cdot 2} = (b^{15})^2$ и $c^{40} = c^{20 \cdot 2} = (c^{20})^2$.
Объединим все множители под один знак квадрата: $289a^{20}b^{30}c^{40} = 17^2 \cdot (a^{10})^2 \cdot (b^{15})^2 \cdot (c^{20})^2 = (17a^{10}b^{15}c^{20})^2$.
Ответ: $(17a^{10}b^{15}c^{20})^2$.

365. Представьте в виде куба одночлена стандартного вида выражение:

1) $8x^6$.

2) $-27x^3y^9$,

3) $0,001x^{12}y^{18}$,

4) $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена стандартного вида, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень (в куб) даст исходное выражение. Это означает, что для каждого множителя в исходном выражении (коэффициента и каждой переменной в степени) нужно найти кубический корень.

1) $8x^6$

Найдем одночлен, куб которого равен $8x^6$. Для этого извлечем кубический корень из коэффициента и из переменной части.
Кубический корень из коэффициента $8$ равен $2$, так как $2^3 = 8$.
Для переменной $x^6$ используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такую степень $k$, чтобы $(x^k)^3 = x^{3k} = x^6$. Отсюда $3k = 6$, и $k = 2$. Таким образом, $\sqrt[3]{x^6} = x^2$.
Собираем одночлен: $2x^2$.
Проверка: $(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.
Ответ: $(2x^2)^3$.

2) $-27x^3y^9$

Найдем одночлен, куб которого равен $-27x^3y^9$.
Кубический корень из коэффициента $-27$ равен $-3$, так как $(-3)^3 = -27$.
Кубический корень из $x^3$ равен $x$, так как $(x^1)^3 = x^3$.
Кубический корень из $y^9$ равен $y^3$, так как $(y^3)^3 = y^{3 \cdot 3} = y^9$.
Собираем одночлен: $-3xy^3$.
Проверка: $(-3xy^3)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = -27x^3y^9$.
Ответ: $(-3xy^3)^3$.

3) $0.001x^{12}y^{18}$

Найдем одночлен, куб которого равен $0.001x^{12}y^{18}$.
Кубический корень из коэффициента $0.001$ равен $0.1$, так как $(0.1)^3 = 0.001$.
Кубический корень из $x^{12}$ равен $x^4$, так как $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$.
Кубический корень из $y^{18}$ равен $y^6$, так как $(y^6)^3 = y^{6 \cdot 3} = y^{18}$.
Собираем одночлен: $0.1x^4y^6$.
Проверка: $(0.1x^4y^6)^3 = (0.1)^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^6)^3 = 0.001x^{12}y^{18}$.
Ответ: $(0.1x^4y^6)^3$.

4) $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$

Найдем одночлен, куб которого равен $-\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.
Кубический корень из коэффициента $-\frac{125}{216}$ равен $-\frac{5}{6}$, так как $(-\frac{5}{6})^3 = -\frac{5^3}{6^3} = -\frac{125}{216}$.
Кубический корень из $x^{15}$ равен $x^5$, так как $(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.
Кубический корень из $y^{21}$ равен $y^7$, так как $(y^7)^3 = y^{7 \cdot 3} = y^{21}$.
Кубический корень из $z^{24}$ равен $z^8$, так как $(z^8)^3 = z^{8 \cdot 3} = z^{24}$.
Собираем одночлен: $-\frac{5}{6}x^5y^7z^8$.
Проверка: $(-\frac{5}{6}x^5y^7z^8)^3 = (-\frac{5}{6})^3 \cdot (x^5)^3 \cdot (y^7)^3 \cdot (z^8)^3 = -\frac{125}{216}x^{15}y^{21}z^{24}$.
Ответ: $(-\frac{5}{6}x^5y^7z^8)^3$.

366. Представьте одночлен $64a^6b^{12}$ в виде:

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $2a^2b^8$;

2) квадрата одночлена стандартного вида;

3) куба одночлена стандартного вида.

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $2a^2b^8$

Чтобы представить одночлен $64a^6b^{12}$ в виде произведения двух одночленов, где один из множителей задан как $2a^2b^8$, необходимо найти второй множитель. Обозначим искомый одночлен как $M$. Тогда должно выполняться равенство:
$M \cdot (2a^2b^8) = 64a^6b^{12}$
Чтобы найти $M$, разделим исходный одночлен на известный множитель. Деление одночленов производится путем деления их коэффициентов и вычитания показателей степеней для одинаковых оснований:
$M = \frac{64a^6b^{12}}{2a^2b^8} = (\frac{64}{2}) \cdot (a^{6-2}) \cdot (b^{12-8}) = 32a^4b^4$
Таким образом, второй одночлен равен $32a^4b^4$.
Проверим: $(32a^4b^4) \cdot (2a^2b^8) = (32 \cdot 2) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (b^4 \cdot b^8) = 64a^{4+2}b^{4+8} = 64a^6b^{12}$.
Ответ: $(32a^4b^4) \cdot (2a^2b^8)$.

2) квадрата одночлена стандартного вида

Чтобы представить одночлен $64a^6b^{12}$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен $N$, что $N^2 = 64a^6b^{12}$. Для этого нужно извлечь квадратный корень из исходного одночлена. Операция извлечения корня применяется к каждому множителю одночлена:
$N = \sqrt{64a^6b^{12}} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^{12}}$
$\sqrt{64} = 8$
$\sqrt{a^6} = a^{6/2} = a^3$
$\sqrt{b^{12}} = b^{12/2} = b^6$
Следовательно, искомый одночлен в стандартном виде равен $8a^3b^6$.
Представление в виде квадрата: $(8a^3b^6)^2$.
Ответ: $(8a^3b^6)^2$.

3) куба одночлена стандартного вида

Чтобы представить одночлен $64a^6b^{12}$ в виде куба другого одночлена, необходимо найти такой одночлен $P$, что $P^3 = 64a^6b^{12}$. Для этого нужно извлечь кубический корень из исходного одночлена. Операция извлечения корня применяется к каждому множителю одночлена:
$P = \sqrt[3]{64a^6b^{12}} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^{12}}$
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
$\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2$
$\sqrt[3]{b^{12}} = b^{12/3} = b^4$
Следовательно, искомый одночлен в стандартном виде равен $4a^2b^4$.
Представление в виде куба: $(4a^2b^4)^3$.
Ответ: $(4a^2b^4)^3$.

367. Представьте одночлен $81m^4n^{16}$ в виде:

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$;

2) квадрата одночлена стандартного вида;

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида.

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$

Обозначим искомый одночлен через $X$. По условию, произведение $X$ на заданный одночлен должно быть равно $81m^4n^{16}$. Составим уравнение:

$X \cdot \left(-\frac{1}{3}mn^{14}\right) = 81m^4n^{16}$

Чтобы найти $X$, разделим исходный одночлен на заданный:

$X = \frac{81m^4n^{16}}{-\frac{1}{3}mn^{14}}$

Выполним деление, работая отдельно с коэффициентами и переменными.

Деление коэффициентов: $81 \div \left(-\frac{1}{3}\right) = 81 \cdot (-3) = -243$.

Деление переменных (используя правило $a^p \div a^q = a^{p-q}$):

$m^4 \div m^1 = m^{4-1} = m^3$

$n^{16} \div n^{14} = n^{16-14} = n^2$

Таким образом, второй одночлен равен $-243m^3n^2$. Представление исходного одночлена в виде произведения имеет вид:

Ответ: $\left(-\frac{1}{3}mn^{14}\right) \cdot \left(-243m^3n^2\right)$.

2) квадрата одночлена стандартного вида

Требуется найти такой одночлен $Y$ стандартного вида, что $Y^2 = 81m^4n^{16}$. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из выражения $81m^4n^{16}$.

$Y = \sqrt{81m^4n^{16}} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{n^{16}}$

Вычислим корень из каждого множителя:

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{m^4} = m^{4/2} = m^2$

$\sqrt{n^{16}} = n^{16/2} = n^8$

Следовательно, искомый одночлен $Y = 9m^2n^8$. Тогда представление исходного одночлена в виде квадрата:

Ответ: $(9m^2n^8)^2$.

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида

Требуется найти такой одночлен $Z$ стандартного вида, что $Z^4 = 81m^4n^{16}$. Для этого необходимо извлечь корень четвёртой степени из выражения $81m^4n^{16}$.

$Z = \sqrt[4]{81m^4n^{16}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{n^{16}}$

Вычислим корень четвёртой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{81} = 3$, поскольку $3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{m^4} = m^{4/4} = m$.

$\sqrt[4]{n^{16}} = n^{16/4} = n^4$.

Следовательно, искомый одночлен $Z = 3mn^4$. Тогда представление исходного одночлена в виде четвёртой степени:

Ответ: $(3mn^4)^4$.

368. Упростите выражение:

1) $2a^3 \cdot (-5a^4b^5)^2;$

2) $(-x^6y)^3 \cdot 11x^4y^5;$

3) $(-0,6a^3b^5c^6)^2 \cdot 3a^2c^8;$

4) $-1\frac{3}{11}m^4n^9 \cdot \left(-\frac{1}{7}mn^3\right)^2;$

5) $1\frac{7}{9}x^7y^2 \cdot \left(\frac{3}{4}x^2y^9\right)^4;$

6) $(-2c^2d^5)^7 \cdot \left(-\frac{1}{2}c^4d^5\right)^4.$

1) Сначала упростим выражение в скобках, возведенное в квадрат, используя свойства степеней: $ (-5a^4b^5)^2 = (-5)^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^5)^2 = 25a^8b^{10} $. Теперь умножим это на первый множитель: $ 2a^3 \cdot 25a^8b^{10} $. Перемножим коэффициенты ($ 2 \cdot 25 = 50 $) и степени с одинаковыми основаниями ($ a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11} $). В результате получаем $ 50a^{11}b^{10} $.
Ответ: $ 50a^{11}b^{10} $

2) Сначала возведем в куб первый множитель: $ (-x^6y)^3 = (-1)^3 \cdot (x^6)^3 \cdot y^3 = -x^{18}y^3 $. Затем умножим полученный результат на второй множитель: $ (-x^{18}y^3) \cdot 11x^4y^5 $. Перемножим коэффициенты ($ -1 \cdot 11 = -11 $) и степени с одинаковыми основаниями ($ x^{18} \cdot x^4 = x^{18+4} = x^{22} $, $ y^3 \cdot y^5 = y^{3+5} = y^8 $). В результате получаем $ -11x^{22}y^8 $.
Ответ: $ -11x^{22}y^8 $

3) Возведем в квадрат первый множитель: $ (-0.6a^3b^5c^6)^2 = (-0.6)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2 \cdot (c^6)^2 = 0.36a^6b^{10}c^{12} $. Теперь умножим результат на второй множитель: $ 0.36a^6b^{10}c^{12} \cdot 3a^2c^8 $. Перемножим коэффициенты ($ 0.36 \cdot 3 = 1.08 $) и степени с одинаковыми основаниями ($ a^6 \cdot a^2 = a^{6+2} = a^8 $, $ c^{12} \cdot c^8 = c^{12+8} = c^{20} $). В результате получаем $ 1.08a^8b^{10}c^{20} $.
Ответ: $ 1.08a^8b^{10}c^{20} $

4) Переведем смешанное число в неправильную дробь: $ -1\frac{3}{11} = -\frac{11 \cdot 1 + 3}{11} = -\frac{14}{11} $. Возведем второй множитель в квадрат: $ (-\frac{1}{7}mn^3)^2 = (-\frac{1}{7})^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = \frac{1}{49}m^2n^6 $. Теперь перемножим оба выражения: $ -\frac{14}{11}m^4n^9 \cdot \frac{1}{49}m^2n^6 $. Перемножим коэффициенты, сократив дробь: $ -\frac{14}{11} \cdot \frac{1}{49} = -\frac{2 \cdot 7}{11} \cdot \frac{1}{7 \cdot 7} = -\frac{2}{77} $. Перемножим степени: $ m^4 \cdot m^2 = m^{4+2} = m^6 $, $ n^9 \cdot n^6 = n^{9+6} = n^{15} $. В результате получаем $ -\frac{2}{77}m^6n^{15} $.
Ответ: $ -\frac{2}{77}m^6n^{15} $

5) Переведем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{7}{9} = \frac{9 \cdot 1 + 7}{9} = \frac{16}{9} $. Возведем второй множитель в четвертую степень: $ (\frac{3}{4}x^2y^9)^4 = (\frac{3}{4})^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^9)^4 = \frac{81}{256}x^8y^{36} $. Теперь перемножим выражения: $ \frac{16}{9}x^7y^2 \cdot \frac{81}{256}x^8y^{36} $. Перемножим коэффициенты, сократив дроби: $ \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{256} = \frac{16}{256} \cdot \frac{81}{9} = \frac{1}{16} \cdot 9 = \frac{9}{16} $. Перемножим степени: $ x^7 \cdot x^8 = x^{7+8} = x^{15} $, $ y^2 \cdot y^{36} = y^{2+36} = y^{38} $. В результате получаем $ \frac{9}{16}x^{15}y^{38} $.
Ответ: $ \frac{9}{16}x^{15}y^{38} $

6) Упростим каждый множитель по отдельности. Первый множитель: $ -(-2c^2d^5)^7 = -((-2)^7 \cdot (c^2)^7 \cdot (d^5)^7) = -(-128c^{14}d^{35}) = 128c^{14}d^{35} $. Второй множитель: $ (-\frac{1}{2}c^4d^5)^4 = (-\frac{1}{2})^4 \cdot (c^4)^4 \cdot (d^5)^4 = \frac{1}{16}c^{16}d^{20} $. Теперь перемножим полученные выражения: $ 128c^{14}d^{35} \cdot \frac{1}{16}c^{16}d^{20} $. Перемножим коэффициенты: $ 128 \cdot \frac{1}{16} = 8 $. Перемножим степени: $ c^{14} \cdot c^{16} = c^{14+16} = c^{30} $, $ d^{35} \cdot d^{20} = d^{35+20} = d^{55} $. В результате получаем $ 8c^{30}d^{55} $.
Ответ: $ 8c^{30}d^{55} $

369. Упростите выражение:

1) $20a^8 \cdot (9a)^2$;

2) $(-b^5)^4 \cdot 12b^6$;

3) $(3m^6n^3)^4 \cdot \left(-\frac{1}{81}m^9n\right)$;

4) $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2$;

5) $\left(-\frac{1}{2}ab^4\right)^3 \cdot (4a^6)^2$;

6) $\left(-\frac{2}{3}x^2y\right)^5 \cdot \left(-\frac{3}{4}xy^2\right)^2$.

1) Для упрощения выражения $20a^8 \cdot (9a)^2$ сначала возведем в степень второй множитель, используя свойство степени произведения $(xy)^n=x^ny^n$:
$(9a)^2 = 9^2 \cdot a^2 = 81a^2$.
Теперь умножим одночлены, перемножив их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$20a^8 \cdot 81a^2 = (20 \cdot 81) \cdot (a^8 \cdot a^2) = 1620a^{8+2} = 1620a^{10}$.

Ответ: $1620a^{10}$

2) Для упрощения выражения $(-b^5)^4 \cdot 12b^6$ сначала возведем в степень первый множитель. Так как степень четная (4), знак минус исчезает. Используем свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(-b^5)^4 = (b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Теперь выполним умножение:
$b^{20} \cdot 12b^6 = 12 \cdot (b^{20} \cdot b^6) = 12b^{20+6} = 12b^{26}$.

Ответ: $12b^{26}$

3) Упростим выражение $(3m^6n^3)^4 \cdot (-\frac{1}{81}m^9n)$. Возведем первый множитель в четвертую степень:
$(3m^6n^3)^4 = 3^4 \cdot (m^6)^4 \cdot (n^3)^4 = 81m^{6 \cdot 4}n^{3 \cdot 4} = 81m^{24}n^{12}$.
Теперь перемножим полученный одночлен со вторым множителем:
$81m^{24}n^{12} \cdot (-\frac{1}{81}m^9n) = (81 \cdot (-\frac{1}{81})) \cdot (m^{24} \cdot m^9) \cdot (n^{12} \cdot n) = -1 \cdot m^{24+9} \cdot n^{12+1} = -m^{33}n^{13}$.

Ответ: $-m^{33}n^{13}$

4) Упростим выражение $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2$. Сначала возведем в куб первый множитель:
$(0,2x^7y^8)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^7)^3 \cdot (y^8)^3 = 0,008x^{7 \cdot 3}y^{8 \cdot 3} = 0,008x^{21}y^{24}$.
Теперь выполним умножение:
$0,008x^{21}y^{24} \cdot 6x^2y^2 = (0,008 \cdot 6) \cdot (x^{21} \cdot x^2) \cdot (y^{24} \cdot y^2) = 0,048x^{21+2}y^{24+2} = 0,048x^{23}y^{26}$.

Ответ: $0,048x^{23}y^{26}$

5) Упростим выражение $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 \cdot (4a^6)^2$. Возведем каждый из множителей в соответствующую степень.
Первый множитель: $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 \cdot (b^4)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{12}$.
Второй множитель: $(4a^6)^2 = 4^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}$.
Перемножим результаты:
$(-\frac{1}{8}a^3b^{12}) \cdot (16a^{12}) = (-\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot (a^3 \cdot a^{12}) \cdot b^{12} = -2a^{3+12}b^{12} = -2a^{15}b^{12}$.

Ответ: $-2a^{15}b^{12}$

6) Упростим выражение $(-\frac{2}{3}x^2y)^5 \cdot (-\frac{3}{4}xy^2)^2$. Возведем каждый множитель в степень.
Первый множитель (степень нечетная, знак сохраняется):
$(-\frac{2}{3}x^2y)^5 = (-\frac{2}{3})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot y^5 = -\frac{2^5}{3^5}x^{10}y^5 = -\frac{32}{243}x^{10}y^5$.
Второй множитель (степень четная, результат положительный):
$(-\frac{3}{4}xy^2)^2 = (-\frac{3}{4})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{3^2}{4^2}x^2y^4 = \frac{9}{16}x^2y^4$.
Перемножим результаты, сокращая дроби:
$(-\frac{32}{243}x^{10}y^5) \cdot (\frac{9}{16}x^2y^4) = (-\frac{32}{243} \cdot \frac{9}{16}) \cdot (x^{10}x^2) \cdot (y^5y^4) = (-\frac{32 \cdot 9}{243 \cdot 16})x^{10+2}y^{5+4} = (-\frac{2 \cdot 1}{27 \cdot 1})x^{12}y^9 = -\frac{2}{27}x^{12}y^9$.

Ответ: $-\frac{2}{27}x^{12}y^9$

370. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось верное равенство:

1) $ (*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5 $

2) $ (*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8 $

3) $ (*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11} $

4) $ (*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9 $

Для решения задачи заменим звёздочки на одночлены $A$ и $B$ и будем решать получившиеся уравнения. Будем использовать свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

1) $(*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5$

Пусть первый одночлен $A = k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1}$, а второй $B = k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1})^2 \cdot (k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2})^3 = 9a^2b^3c^5$

Раскроем скобки:

$(k_1^2 a^{2x_1}b^{2y_1}c^{2z_1}) \cdot (k_2^3 a^{3x_2}b^{3y_2}c^{3z_2}) = 9a^2b^3c^5$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(k_1^2 k_2^3) a^{2x_1+3x_2} b^{2y_1+3y_2} c^{2z_1+3z_2} = 9a^2b^3c^5$

Приравняем коэффициенты и показатели степеней при одинаковых переменных в левой и правой частях равенства:

• $k_1^2 \cdot k_2^3 = 9$
• $2x_1+3x_2 = 2$
• $2y_1+3y_2 = 3$
• $2z_1+3z_2 = 5$

Найдём одно из возможных решений этой системы уравнений в целых неотрицательных числах для показателей. Для коэффициентов: $9 = 3^2 \cdot 1^3$. Пусть $k_1^2 = 9$ и $k_2^3 = 1$, тогда $k_1 = 3$ и $k_2 = 1$. Для переменной $a$: $2x_1+3x_2 = 2$. Если $x_2=0$, то $2x_1=2$, $x_1=1$. Для переменной $b$: $2y_1+3y_2 = 3$. Если $y_2=1$, то $2y_1+3=3$, $2y_1=0$, $y_1=0$. Для переменной $c$: $2z_1+3z_2 = 5$. Если $z_2=1$, то $2z_1+3=5$, $2z_1=2$, $z_1=1$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1} = 3 a^1 b^0 c^1 = 3ac$.

Второй одночлен: $k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2} = 1 a^0 b^1 c^1 = bc$.

Проверка: $(3ac)^2 \cdot (bc)^3 = (9a^2c^2) \cdot (b^3c^3) = 9a^2b^3c^5$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $3ac$, вторую — на $bc$.

2) $(*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^3 \cdot B^4 = 16a^7b^6c^8$. Представим $A$ и $B$ в общем виде и раскроем скобки, как в предыдущем пункте. Получим систему уравнений:

• $k_1^3 \cdot k_2^4 = 16$
• $3x_1+4x_2 = 7$
• $3y_1+4y_2 = 6$
• $3z_1+4z_2 = 8$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $16 = 1^3 \cdot 2^4$. Пусть $k_1^3 = 1$ и $k_2^4 = 16$, тогда $k_1 = 1$ и $k_2 = 2$. Для переменной $a$: $3x_1+4x_2 = 7$. Если $x_2=1$, то $3x_1+4=7$, $3x_1=3$, $x_1=1$. Для переменной $b$: $3y_1+4y_2 = 6$. Если $y_2=0$, то $3y_1=6$, $y_1=2$. Для переменной $c$: $3z_1+4z_2 = 8$. Если $z_2=2$, то $3z_1+8=8$, $3z_1=0$, $z_1=0$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 a^{x_1}b^{y_1}c^{z_1} = 1 a^1 b^2 c^0 = ab^2$.

Второй одночлен: $k_2 a^{x_2}b^{y_2}c^{z_2} = 2 a^1 b^0 c^2 = 2ac^2$.

Проверка: $(ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = (a^3b^6) \cdot (16a^4c^8) = 16a^7b^6c^8$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $ab^2$, вторую — на $2ac^2$.

3) $(*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^3 \cdot B^2 = -72m^8n^{11}$. Получаем систему уравнений:

• $k_1^3 \cdot k_2^2 = -72$
• $3x_1+2x_2 = 8$
• $3y_1+2y_2 = 11$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $-72 = -8 \cdot 9 = (-2)^3 \cdot 3^2$. Так как $k_2^2$ должно быть положительным, то $k_1^3$ должно быть отрицательным. Пусть $k_1^3 = -8$ и $k_2^2 = 9$, тогда $k_1 = -2$ и $k_2 = 3$. Для переменной $m$: $3x_1+2x_2 = 8$. Если $x_1=2$, то $3 \cdot 2+2x_2=8$, $6+2x_2=8$, $2x_2=2$, $x_2=1$. Для переменной $n$: $3y_1+2y_2 = 11$. Если $y_1=3$, то $3 \cdot 3+2y_2=11$, $9+2y_2=11$, $2y_2=2$, $y_2=1$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 m^{x_1}n^{y_1} = -2 m^2 n^3$.

Второй одночлен: $k_2 m^{x_2}n^{y_2} = 3 m^1 n^1 = 3mn$.

Проверка: $(-2m^2n^3)^3 \cdot (3mn)^2 = (-8m^6n^9) \cdot (9m^2n^2) = -72m^8n^{11}$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $-2m^2n^3$, вторую — на $3mn$.

4) $(*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Уравнение: $A^2 \cdot B^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$. Получаем систему уравнений:

• $k_1^2 \cdot k_2^5 = 32$
• $2a_1+5a_2 = 29$
• $2b_1+5b_2 = 21$
• $2c_1+5c_2 = 9$

Найдём решение системы. Для коэффициентов: $32 = 1 \cdot 32 = 1^2 \cdot 2^5$. Пусть $k_1^2 = 1$ и $k_2^5 = 32$, тогда $k_1 = 1$ и $k_2 = 2$. Для переменной $x$: $2a_1+5a_2 = 29$. Если $a_2=5$, то $2a_1+25=29$, $2a_1=4$, $a_1=2$. Для переменной $y$: $2b_1+5b_2 = 21$. Если $b_2=3$, то $2b_1+15=21$, $2b_1=6$, $b_1=3$. Для переменной $z$: $2c_1+5c_2 = 9$. Если $c_2=1$, то $2c_1+5=9$, $2c_1=4$, $c_1=2$.

Собираем одночлены:

Первый одночлен: $k_1 x^{a_1}y^{b_1}z^{c_1} = 1 x^2 y^3 z^2 = x^2y^3z^2$.

Второй одночлен: $k_2 x^{a_2}y^{b_2}z^{c_2} = 2 x^5 y^3 z^1 = 2x^5y^3z$.

Проверка: $(x^2y^3z^2)^2 \cdot (2x^5y^3z)^5 = (x^4y^6z^4) \cdot (32x^{25}y^{15}z^5) = 32x^{29}y^{21}z^9$. Равенство верно.

Ответ: Первую звёздочку заменить на $x^2y^3z^2$, вторую — на $2x^5y^3z$.