Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

338. Один маляр может покрасить комнату за 6 ч, а другой – за 4 ч. Сначала первый маляр работал 2 ч, а потом к нему присоединился второй маляр. За сколько часов была покрашена комната?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производительность (скорость работы) каждого маляра.

Примем всю работу по покраске комнаты за 1. Тогда производительность первого маляра, который может покрасить комнату за 6 часов, составляет $v_1 = \frac{1}{6}$ комнаты в час. Производительность второго маляра, который может покрасить комнату за 4 часа, составляет $v_2 = \frac{1}{4}$ комнаты в час.

2. Определим, какую часть комнаты покрасил первый маляр за 2 часа.

За 2 часа работы в одиночку первый маляр выполнил часть работы $A_1$, равную произведению его производительности на время:

$A_1 = v_1 \times t_1 = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ комнаты.

3. Найдем оставшуюся часть работы.

После того как первый маляр поработал 2 часа, осталась не покрашенной следующая часть комнаты:

$A_{ост} = 1 - A_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ комнаты.

4. Вычислим совместную производительность двух маляров.

Когда к первому маляру присоединился второй, они стали работать вместе. Их совместная производительность $v_{общ}$ равна сумме их индивидуальных производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$v_{общ} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ комнаты в час.

5. Рассчитаем время, за которое маляры вместе закончат оставшуюся работу.

Время $t_{совм}$, необходимое для покраски оставшейся части комнаты при совместной работе, находится делением оставшегося объема работы на совместную производительность:

$t_{совм} = \frac{A_{ост}}{v_{общ}} = \frac{2/3}{5/12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{2 \times 12}{3 \times 5} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$ часа.

Переведем это время в десятичную дробь для удобства:

$t_{совм} = \frac{8}{5} = 1.6$ часа.

6. Найдем общее время, затраченное на покраску всей комнаты.

Общее время $T_{общ}$ состоит из времени, которое первый маляр работал один (2 часа), и времени, когда они работали вместе (1.6 часа):

$T_{общ} = t_1 + t_{совм} = 2 + 1.6 = 3.6$ часа.

Можно также выразить это время в часах и минутах: $0.6$ часа = $0.6 \times 60 = 36$ минут. Таким образом, общее время составило 3 часа 36 минут.

Ответ: комната была покрашена за 3.6 часа.

339. От пристани по течению реки отправилась на лодке группа туристов, рассчитывая вернуться через $4 \text{ ч}$. Скорость лодки в стоячей воде составляет $10 \text{ км/ч}$, а скорость течения - $2 \text{ км/ч}$. На какое наибольшее расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят перед возвращением сделать привал на $2 \text{ ч}$?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим чистое время движения туристов. Общее время путешествия составляет 4 часа, из которых 2 часа занимает привал. Следовательно, время, которое туристы проведут в пути (двигаясь на лодке), равно:

$t_{движения} = 4 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$

2. Рассчитаем скорость лодки по течению реки и против течения. Собственная скорость лодки в стоячей воде — $v_{лодки} = 10 \text{ км/ч}$, а скорость течения — $v_{течения} = 2 \text{ км/ч}$.

Скорость при движении по течению (скорости складываются):

$v_{по} = v_{лодки} + v_{течения} = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч}$

Скорость при движении против течения (скорость течения вычитается):

$v_{против} = v_{лодки} - v_{течения} = 10 - 2 = 8 \text{ км/ч}$

3. Пусть $S$ — искомое наибольшее расстояние (в км), на которое туристы могут отплыть от пристани. Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{12}$. Время, необходимое для возвращения против течения, равно $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{8}$.

Сумма времени движения по течению и против течения должна быть равна общему времени движения (2 часа). Составим уравнение:

$t_{по} + t_{против} = 2$

$\frac{S}{12} + \frac{S}{8} = 2$

4. Решим это уравнение относительно $S$. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 — это 24.

$\frac{2 \cdot S}{24} + \frac{3 \cdot S}{24} = 2$

$\frac{2S + 3S}{24} = 2$

$\frac{5S}{24} = 2$

Теперь выразим $S$:

$5S = 2 \cdot 24$

$5S = 48$

$S = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ км}$

Таким образом, наибольшее расстояние, на которое туристы могут отплыть от пристани, составляет 9,6 км.

Ответ: 9,6 км.

340. Решите уравнение:

1) $2.5 - 3x = 3(x - 2.5) - 2$;

2) $17(2 - 3x) - 5(x + 12) = 8(1 - 7x) - 34$.

1) $2,5 - 3x = 3(x - 2,5) - 2$

Для решения данного линейного уравнения сначала раскроем скобки в правой части:

$2,5 - 3x = 3 \cdot x - 3 \cdot 2,5 - 2$

$2,5 - 3x = 3x - 7,5 - 2$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$2,5 - 3x = 3x - 9,5$

Далее, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $-3x$ вправо, а $-9,5$ влево, меняя их знаки на противоположные:

$2,5 + 9,5 = 3x + 3x$

Выполним сложение в обеих частях:

$12 = 6x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 6:

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $17(2 - 3x) - 5(x + 12) = 8(1 - 7x) - 34$

Начнем с раскрытия скобок в обеих частях уравнения:

$17 \cdot 2 - 17 \cdot 3x - 5 \cdot x - 5 \cdot 12 = 8 \cdot 1 - 8 \cdot 7x - 34$

Выполним умножение:

$34 - 51x - 5x - 60 = 8 - 56x - 34$

Теперь приведем подобные слагаемые отдельно в левой и правой частях. В левой части сгруппируем числовые слагаемые и слагаемые с $x$. В правой части также сгруппируем числовые слагаемые.

Левая часть: $(34 - 60) + (-51x - 5x) = -26 - 56x$

Правая часть: $(8 - 34) - 56x = -26 - 56x$

Уравнение принимает вид:

$-26 - 56x = -26 - 56x$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $x$. Если мы перенесем все члены в одну сторону, то получим:

$-26 - 56x + 26 + 56x = 0$

$0 = 0$

Так как получилось верное числовое равенство, не зависящее от $x$, решением уравнения является любое число.

Ответ: $x$ — любое число.

341. В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Пусть данное шестизначное число $N$ имеет вид $\overline{abcabc}$, где $a, b, c$ — это цифры. Согласно условию задачи, первая цифра равна четвёртой ($a$), вторая — пятой ($b$), а третья — шестой ($c$). Так как число является шестизначным, первая цифра $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Представим это число $N$ в виде суммы разрядных слагаемых:$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

Это выражение можно преобразовать, представив число $N$ как сумму двух трёхзначных групп цифр:$N = (a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3) + (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$$N = 1000 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c) + 1 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$

Выражение $a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c$ является алгебраической записью трёхзначного числа $\overline{abc}$. Вынесем его как общий множитель:$N = \overline{abc} \cdot (1000 + 1)$$N = \overline{abc} \cdot 1001$

Теперь, чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, нам достаточно показать, что множитель 1001 кратен этим числам. Проверим это, найдя произведение чисел 7, 11 и 13:$7 \cdot 11 = 77$$77 \cdot 13 = 77 \cdot (10 + 3) = 770 + 231 = 1001$

Таким образом, мы получили, что $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Подставим это разложение в выражение для нашего числа $N$:$N = \overline{abc} \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$

Из полученного равенства видно, что число $N$ имеет в своем разложении на множители числа 7, 11 и 13. Это означает, что $N$ делится нацело на 7, на 11 и на 13. Утверждение доказано.

Ответ: Любое шестизначное число, у которого первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы, можно представить в виде произведения $\overline{abc} \cdot 1001$. Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, такое число всегда будет кратно числам 7, 11 и 13.

342. Упростите выражение:

1) $3a \cdot (-1,2);$

2) $-0,2b \cdot (-0,5);$

3) $-7a \cdot 9b;$

4) $2,4x \cdot 2y;$

5) $ -\frac{3}{14}m \cdot \frac{7}{9}n; $

6) $-\frac{1}{4}a \cdot \frac{4}{3}b \cdot (-3c).$

1) Для упрощения выражения $3a \cdot (-1,2)$ необходимо перемножить числовые коэффициенты.
$3 \cdot (-1,2) = -3,6$.
Таким образом, получаем $-3,6a$.
Ответ: $-3,6a$.

2) Для упрощения выражения $-0,2b \cdot (-0,5)$ перемножаем числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным.
$(-0,2) \cdot (-0,5) = 0,1$.
Таким образом, получаем $0,1b$.
Ответ: $0,1b$.

3) В выражении $-7a \cdot 9b$ перемножаем отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные.
Числовые коэффициенты: $-7 \cdot 9 = -63$.
Переменные: $a \cdot b = ab$.
В результате получаем $-63ab$.
Ответ: $-63ab$.

4) В выражении $2,4x \cdot 2y$ перемножаем отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные.
Числовые коэффициенты: $2,4 \cdot 2 = 4,8$.
Переменные: $x \cdot y = xy$.
В результате получаем $4,8xy$.
Ответ: $4,8xy$.

5) В выражении $-\frac{3}{14}m \cdot \frac{7}{9}n$ перемножаем дробные коэффициенты и переменные.
Коэффициенты: $-\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} = -\frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 9}$.
Сокращаем дробь: $-\frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{14}^2 \cdot \cancel{9}^3} = -\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$.
Переменные: $m \cdot n = mn$.
В результате получаем $-\frac{1}{6}mn$.
Ответ: $-\frac{1}{6}mn$.

6) В выражении $-\frac{1}{4}a \cdot \frac{4}{3}b \cdot (-3c)$ перемножаем все числовые коэффициенты и все переменные.
Коэффициенты: $(-\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{3} \cdot (-3)$. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа будет положительным.
$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 = \frac{1 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3}}{\cancel{4} \cdot \cancel{3}} = 1$.
Переменные: $a \cdot b \cdot c = abc$.
В результате получаем $1 \cdot abc = abc$.
Ответ: $abc$.

343. Упростите выражение $20m \cdot (-0,3n)$ и найдите его значение при

$m = \frac{5}{12}, n = -4.$

Упростите выражение

Для упрощения выражения $20m \cdot (-0,3n)$ необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно, используя сочетательный и переместительный законы умножения.

$20m \cdot (-0,3n) = (20 \cdot (-0,3)) \cdot (m \cdot n)$

Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$20 \cdot (-0,3) = -6$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$-6mn$

Ответ: $-6mn$.

Найдите его значение при $m = \frac{5}{12}$, $n = -4$

Теперь подставим данные значения переменных $m$ и $n$ в упрощенное выражение $-6mn$.

$-6mn = -6 \cdot \frac{5}{12} \cdot (-4)$

Перемножим числа. Удобнее сначала умножить целые числа $-6$ и $-4$:

$(-6) \cdot (-4) = 24$

Теперь результат умножим на дробь $\frac{5}{12}$:

$24 \cdot \frac{5}{12} = \frac{24 \cdot 5}{12}$

Сократим 24 и 12, разделив оба числа на 12:

$\frac{24}{12} \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10.

344. Трамвайные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Номер называют «счастливым», если сумма трёх его первых цифр равна сумме трёх последних. Докажите, что количество «счастливых» билетов чётно.

Для доказательства того, что количество «счастливых» билетов чётно, мы покажем, что все счастливые билеты можно разбить на пары без остатка.

Номер трамвайного билета представляет собой шестизначное число $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, где $a_i$ и $b_i$ — это цифры. Билет называется «счастливым», если выполняется равенство:

$a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$

Рассмотрим преобразование, которое каждому счастливому билету $N$ ставит в соответствие новый билет $N'$, в котором каждая цифра $d$ заменена на $9-d$. То есть, если $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, то $N' = (9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Проверим, является ли билет $N'$ также счастливым. Найдем сумму его первых трёх цифр:

$(9-a_1) + (9-a_2) + (9-a_3) = 27 - (a_1 + a_2 + a_3)$

И сумму последних трёх цифр:

$(9-b_1) + (9-b_2) + (9-b_3) = 27 - (b_1 + b_2 + b_3)$

Поскольку исходный билет $N$ был счастливым, то $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Следовательно, $27 - (a_1 + a_2 + a_3) = 27 - (b_1 + b_2 + b_3)$, а это значит, что и у билета $N'$ суммы первой и второй троек цифр равны. Таким образом, $N'$ тоже является счастливым билетом.

Теперь заметим, что для любого билета $N$, билет $N'$ не может быть равен $N$. Если бы $N = N'$, то каждая цифра $d$ билета $N$ должна была бы удовлетворять уравнению $d = 9-d$, что дает $2d=9$. У этого уравнения нет целочисленных решений, а цифры могут быть только целыми числами от 0 до 9. Значит, $N \neq N'$ для любого счастливого билета $N$.

Применив преобразование дважды, мы вернемся к исходному билету. Если мы возьмем билет $N'$ и применим к нему то же преобразование (заменим каждую его цифру $d'$ на $9-d'$), то получим исходный билет $N$, так как $9 - (9-d) = d$.

Таким образом, все счастливые билеты можно разбить на непересекающиеся пары вида $\{N, N'\}$. Поскольку каждый счастливый билет входит в одну и только одну такую пару, общее количество счастливых билетов должно быть чётным.

Ответ: Утверждение доказано. Все счастливые билеты разбиваются на пары вида $\{N, N'\}$, где $N'$ получается из $N$ заменой каждой цифры $d$ на $9-d$. Так как в этих парах билеты никогда не совпадают, общее число счастливых билетов чётно.