Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

287. Представьте в виде степени произведение:

1) $m^5m^4$;

2) $xx^7$;

3) $a^3a^3$;

4) $6^8 \cdot 6^3$;

5) $y^3y^5y^9$;

6) $c^8c^9c$;

7) $(b-c)^{10}(b-c)^6$;

8) $11^2 \cdot 11^4 \cdot 11^6$;

9) $x^4xx^{11}x^2$;

10) $(ab)^5 \cdot (ab)^{15}$;

11) $(2x+3y)^6 \cdot (2x+3y)^{14}$;

12) $(-xy)^2 \cdot (-xy)^7 \cdot (-xy)^9$.

Для решения всех пунктов данной задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

1) $m^5m^4$

В данном произведении основание степени равно $m$. Чтобы найти итоговую степень, нужно сложить показатели 5 и 4. $m^5 \cdot m^4 = m^{5+4} = m^9$.
Ответ: $m^9$.

2) $xx^7$

Множитель $x$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $x^1$. Основание у обоих множителей — $x$. Складываем показатели 1 и 7. $x^1 \cdot x^7 = x^{1+7} = x^8$.
Ответ: $x^8$.

3) $a^3a^3$

Основание степени — $a$. Складываем показатели степеней, которые равны 3 и 3. $a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$.
Ответ: $a^6$.

4) $6^8 \cdot 6^3$

Основание степени в этом произведении — число 6. Складываем показатели 8 и 3. $6^8 \cdot 6^3 = 6^{8+3} = 6^{11}$.
Ответ: $6^{11}$.

5) $y^3y^5y^9$

Правило сложения показателей применяется и для трех множителей. Основание степени — $y$. Складываем показатели 3, 5 и 9. $y^3 \cdot y^5 \cdot y^9 = y^{3+5+9} = y^{17}$.
Ответ: $y^{17}$.

6) $c^8c^9c$

Множитель $c$ эквивалентен $c^1$. Основание у всех множителей — $c$. Складываем показатели 8, 9 и 1. $c^8 \cdot c^9 \cdot c^1 = c^{8+9+1} = c^{18}$.
Ответ: $c^{18}$.

7) $(b-c)^{10}(b-c)^6$

В данном случае основанием степени является выражение в скобках $(b-c)$. Складываем показатели 10 и 6. $(b-c)^{10} \cdot (b-c)^6 = (b-c)^{10+6} = (b-c)^{16}$.
Ответ: $(b-c)^{16}$.

8) $11^2 \cdot 11^4 \cdot 11^6$

Основание степени — число 11. Складываем показатели 2, 4 и 6. $11^2 \cdot 11^4 \cdot 11^6 = 11^{2+4+6} = 11^{12}$.
Ответ: $11^{12}$.

9) $x^4xx^{11}x^2$

Множитель $x$ в этом выражении имеет показатель 1. Основание у всех множителей — $x$. Складываем все показатели: 4, 1, 11 и 2. $x^4 \cdot x^1 \cdot x^{11} \cdot x^2 = x^{4+1+11+2} = x^{18}$.
Ответ: $x^{18}$.

10) $(ab)^5 \cdot (ab)^{15}$

Основание степени здесь — произведение $(ab)$. Складываем показатели 5 и 15. $(ab)^5 \cdot (ab)^{15} = (ab)^{5+15} = (ab)^{20}$.
Ответ: $(ab)^{20}$.

11) $(2x+3y)^6 \cdot (2x+3y)^{14}$

Основанием степени является двучлен $(2x+3y)$. Складываем показатели 6 и 14. $(2x+3y)^6 \cdot (2x+3y)^{14} = (2x+3y)^{6+14} = (2x+3y)^{20}$.
Ответ: $(2x+3y)^{20}$.

12) $(-xy)^2 \cdot (-xy)^7 \cdot (-xy)^9$

Основание степени в данном произведении равно $(-xy)$. Складываем показатели 2, 7 и 9. $(-xy)^2 \cdot (-xy)^7 \cdot (-xy)^9 = (-xy)^{2+7+9} = (-xy)^{18}$. Поскольку показатель степени 18 является четным числом, знак минус можно опустить: $(-xy)^{18} = (xy)^{18}$. Оба варианта верны, но оставим с исходным основанием.
Ответ: $(-xy)^{18}$.

288. Представьте в виде степени выражение:

1) $a^5a^8$;

2) $a^2a^2$;

3) $a^9a$;

4) $aa^2a^3$;

5) $(m+n)^{13} \cdot (m+n)$;

6) $(cd)^8 \cdot (cd)^{18} \cdot (cd)$.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. В данном случае основание — это $a$.
$a^5 a^8 = a^{5+8} = a^{13}$.
Ответ: $a^{13}$.

2) Аналогично первому пункту, складываем показатели степеней при одинаковом основании $a$.
$a^2 a^2 = a^{2+2} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

3) Любое число или выражение без указания степени считается находящимся в первой степени, то есть $a = a^1$.
$a^9 a = a^9 a^1 = a^{9+1} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

4) Правило сложения показателей распространяется на любое количество множителей с одинаковым основанием. Помним, что $a = a^1$.
$a a^2 a^3 = a^1 a^2 a^3 = a^{1+2+3} = a^6$.
Ответ: $a^6$.

5) В этом выражении основанием степени является скобка $(m+n)$. Применяем то же правило: складываем показатели степеней, учитывая, что $(m+n) = (m+n)^1$.
$(m+n)^{13} \cdot (m+n) = (m+n)^{13} \cdot (m+n)^1 = (m+n)^{13+1} = (m+n)^{14}$.
Ответ: $(m+n)^{14}$.

6) Основанием степени здесь является произведение $(cd)$. Складываем показатели всех множителей, где $(cd) = (cd)^1$.
$(cd)^8 \cdot (cd)^{18} \cdot (cd) = (cd)^8 \cdot (cd)^{18} \cdot (cd)^1 = (cd)^{8+18+1} = (cd)^{27}$.
Ответ: $(cd)^{27}$.

289. Замените звёздочку такой степенью с основанием $a$, чтобы образовалось верное равенство:

1) $a^6 \cdot * = a^{14}$

2) $* \cdot a^6 = a^7$

3) $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}$

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним.

1) Рассматриваем равенство: $a^6 \cdot * = a^{14}$.

Обозначим искомую степень (звёздочку) как $a^x$. Тогда равенство примет вид: $a^6 \cdot a^x = a^{14}$.

Применяя свойство умножения степеней к левой части, получаем: $a^{6+x} = a^{14}$.

Так как основания степеней в обеих частях равенства одинаковы, для сохранения равенства их показатели также должны быть равны:

$6 + x = 14$

Чтобы найти $x$, вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$x = 14 - 6$

$x = 8$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^8$.

Проверка: $a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $a^8$

2) Рассматриваем равенство: $* \cdot a^6 = a^7$.

Обозначим искомую степень как $a^x$. Равенство примет вид: $a^x \cdot a^6 = a^7$.

Применяя свойство умножения степеней, получаем: $a^{x+6} = a^7$.

Приравниваем показатели степеней:

$x + 6 = 7$

Находим $x$:

$x = 7 - 6$

$x = 1$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^1$.

Проверка: $a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$. Равенство верно.

Ответ: $a^1$

3) Рассматриваем равенство: $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}$.

Обозначим искомую степень как $a^x$. Равенство примет вид: $a^{10} \cdot a^x \cdot a^2 = a^{18}$.

Применяя свойство умножения степеней к левой части, мы можем сложить все показатели: $a^{10+x+2} = a^{18}$.

Упростим показатель в левой части: $a^{12+x} = a^{18}$.

Приравниваем показатели степеней:

$12 + x = 18$

Находим $x$:

$x = 18 - 12$

$x = 6$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^6$.

Проверка: $a^{10} \cdot a^6 \cdot a^2 = a^{10+6+2} = a^{18}$. Равенство верно.

Ответ: $a^6$

290. Представьте выражение $a^{12}$ в виде произведения двух степеней с основаниями $a$, одна из которых равна:

1) $a^{6}$;

2) $a^{4}$;

3) $a^{3}$;

4) $a^{5}$;

5) $a$.

Для решения задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Нам необходимо представить выражение $a^{12}$ как произведение двух множителей, один из которых задан. Если известный множитель - это $a^x$, то второй множитель $a^y$ должен удовлетворять условию $x + y = 12$. Следовательно, показатель степени второго множителя будет $y = 12 - x$.

1) $a^6$;

Задан один множитель $a^6$. Показатель степени второго множителя равен $12 - 6 = 6$. Таким образом, искомое произведение — $a^6 \cdot a^6$.
Ответ: $a^6 \cdot a^6$.

2) $a^4$;

Задан один множитель $a^4$. Показатель степени второго множителя равен $12 - 4 = 8$. Таким образом, искомое произведение — $a^4 \cdot a^8$.
Ответ: $a^4 \cdot a^8$.

3) $a^3$;

Задан один множитель $a^3$. Показатель степени второго множителя равен $12 - 3 = 9$. Таким образом, искомое произведение — $a^3 \cdot a^9$.
Ответ: $a^3 \cdot a^9$.

4) $a^5$;

Задан один множитель $a^5$. Показатель степени второго множителя равен $12 - 5 = 7$. Таким образом, искомое произведение — $a^5 \cdot a^7$.
Ответ: $a^5 \cdot a^7$.

5) $a$.

Задан один множитель $a$, который можно представить как $a^1$. Показатель степени второго множителя равен $12 - 1 = 11$. Таким образом, искомое произведение — $a \cdot a^{11}$.
Ответ: $a \cdot a^{11}$.

291. Представьте в виде степени частное:

1) $a^{12} : a^3$;

2) $b^6 : b$;

3) $c^7 : c^6$;

4) $(a+b)^8 : (a+b)^4$.

1) Чтобы представить частное в виде степени, необходимо воспользоваться свойством деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. При таком делении основание степени остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. В данном выражении основанием является $a$, показатель делимого равен $12$, а показатель делителя — $3$.
Выполним вычитание показателей: $a^{12} : a^3 = a^{12-3} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

2) Применяем то же правило деления степеней. Необходимо учесть, что переменная $b$ без явного показателя степени находится в первой степени, то есть $b = b^1$. Основание — $b$, показатель делимого — $6$, показатель делителя — $1$.
Вычисляем: $b^6 : b = b^6 : b^1 = b^{6-1} = b^5$.
Ответ: $b^5$.

3) В данном примере основание степени — это $c$. Показатель степени делимого равен $7$, а показатель делителя — $6$.
Выполняем вычитание показателей: $c^7 : c^6 = c^{7-6} = c^1 = c$.
Ответ: $c$.

4) В этом выражении основанием степени является вся скобка $(a+b)$. Правило деления степеней применяется так же: основание оставляем без изменений, а показатели вычитаем. Показатель делимого — $8$, показатель делителя — $4$.
Выполняем вычисление: $(a+b)^8 : (a+b)^4 = (a+b)^{8-4} = (a+b)^4$.
Ответ: $(a+b)^4$.

292. Найдите значение выражения:

1) $7^7 : 7^5;$

2) $10^{18} : 10^{14};$

3) $0,6^9 : 0,6^6;$

4) $\left(-1\frac{1}{8}\right)^5 : \left(-1\frac{1}{8}\right)^3.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $7^7 : 7^5$, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае основание $a = 7$, а показатели степеней $m = 7$ и $n = 5$.

$7^7 : 7^5 = 7^{7-5} = 7^2$.

Вычислим полученное значение:

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: 49.

2) Для выражения $10^{18} : 10^{14}$ применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Здесь основание $a = 10$, показатели степеней $m = 18$ и $n = 14$.

$10^{18} : 10^{14} = 10^{18-14} = 10^4$.

Вычислим значение $10^4$:

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

Ответ: 10000.

3) В выражении $0,6^9 : 0,6^6$ основание $a = 0,6$, а показатели степеней $m = 9$ и $n = 6$.

Используем свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$0,6^9 : 0,6^6 = 0,6^{9-6} = 0,6^3$.

Теперь вычислим значение $0,6^3$:

$0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \cdot 0,6 = 0,216$.

Ответ: 0,216.

4) Для выражения $(-1\frac{1}{8})^5 : (-1\frac{1}{8})^3$ основание $a = -1\frac{1}{8}$, показатели степеней $m = 5$ и $n = 3$.

Применяем свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(-1\frac{1}{8})^5 : (-1\frac{1}{8})^3 = (-1\frac{1}{8})^{5-3} = (-1\frac{1}{8})^2$.

Для удобства вычислений представим смешанное число $-1\frac{1}{8}$ в виде неправильной дроби:

$-1\frac{1}{8} = -(\frac{1 \cdot 8 + 1}{8}) = -\frac{9}{8}$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(-\frac{9}{8})^2 = (-\frac{9}{8}) \cdot (-\frac{9}{8}) = \frac{9 \cdot 9}{8 \cdot 8} = \frac{81}{64}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{81}{64} = 1\frac{17}{64}$.

Ответ: $1\frac{17}{64}$.

293. Выполните деление:

1) $m^{10} : m^{2}$;

2) $x^{5} : x^{4}$;

3) $y^{18} : y^{6}$.

Для решения данной задачи используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. В общем виде это правило записывается формулой: $a^n : a^k = a^{n-k}$.

1) Необходимо выполнить деление $m^{10} : m^2$.
Основание степени в данном случае - это $m$. Показатель степени делимого равен 10, а показатель степени делителя равен 2.
Применяя указанное выше правило, вычитаем показатели: $m^{10} : m^2 = m^{10-2} = m^8$.
Ответ: $m^8$.

2) Необходимо выполнить деление $x^5 : x^4$.
Основание степени - $x$. Показатель степени делимого - 5, показатель степени делителя - 4.
Выполняем вычитание показателей степеней: $x^5 : x^4 = x^{5-4} = x^1$.
Любое число или переменная в первой степени равна самой себе, поэтому $x^1 = x$.
Ответ: $x$.

3) Необходимо выполнить деление $y^{18} : y^6$.
Основание степени - $y$. Показатель степени делимого - 18, показатель степени делителя - 6.
Применяем правило деления степеней: $y^{18} : y^6 = y^{18-6} = y^{12}$.
Ответ: $y^{12}$.

294. Представьте в виде степени с основанием m выражение:

1) $(m^5)^3$,

2) $(m^3)^4$,

3) $((m^2)^4)^6$,

4) $(m^7)^2 \cdot (m^4)^9$.

1) Чтобы представить выражение $(m^5)^3$ в виде степени с основанием m, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$.
В нашем случае основание $a=m$, а показатели степеней $n=5$ и $k=3$.
Применим правило:
$(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$.
Ответ: $m^{15}$.

2) Для выражения $(m^3)^4$ применяется то же свойство возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$.
Здесь основание $a=m$, а показатели $n=3$ и $k=4$.
Перемножим показатели:
$(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$.
Ответ: $m^{12}$.

3) В выражении $((m^2)^4)^6$ правило возведения степени в степень применяется последовательно.
Сначала возведем $(m^2)$ в степень 4:
$(m^2)^4 = m^{2 \cdot 4} = m^8$.
Теперь получившееся выражение $(m^8)$ возведем в степень 6:
$(m^8)^6 = m^{8 \cdot 6} = m^{48}$.
Можно также перемножить все показатели сразу: $m^{2 \cdot 4 \cdot 6} = m^{48}$.
Ответ: $m^{48}$.

4) Для упрощения выражения $(m^7)^2 \cdot (m^4)^9$ необходимо использовать два свойства степеней: возведение степени в степень и умножение степеней с одинаковым основанием.
1. Сначала упростим каждый множитель отдельно, используя правило $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$:
$(m^7)^2 = m^{7 \cdot 2} = m^{14}$.
$(m^4)^9 = m^{4 \cdot 9} = m^{36}$.
2. Теперь перемножим полученные степени, используя правило $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$, которое гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$m^{14} \cdot m^{36} = m^{14 + 36} = m^{50}$.
Ответ: $m^{50}$.

295. Представьте в виде степени с основанием $n$ выражение:

1) $(n^2)^8$;

2) $(n^9)^5$;

3) $((n^3)^2)^{10}$;

4) $(n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2$.

1) Чтобы представить выражение $(n^2)^8$ в виде степени с основанием $n$, нужно использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$. При этом основание $a$ остается тем же, а показатели $m$ и $k$ перемножаются.

Применяя это правило к нашему выражению, где основание $n$, а показатели степеней $2$ и $8$, получаем:

$(n^2)^8 = n^{2 \cdot 8} = n^{16}$.

Ответ: $n^{16}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Для выражения $(n^9)^5$ основание равно $n$, а показатели степеней — $9$ и $5$. Перемножаем показатели:

$(n^9)^5 = n^{9 \cdot 5} = n^{45}$.

Ответ: $n^{45}$.

3) В выражении $((n^3)^2)^{10}$ свойство возведения степени в степень применяется последовательно дважды.

Сначала возведем в степень внутреннее выражение: $(n^3)^2 = n^{3 \cdot 2} = n^6$.

Теперь результат возведем в степень $10$: $(n^6)^{10} = n^{6 \cdot 10} = n^{60}$.

В качестве альтернативы можно сразу перемножить все показатели: $((n^3)^2)^{10} = n^{3 \cdot 2 \cdot 10} = n^{60}$.

Ответ: $n^{60}$.

4) Данное выражение $(n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2$ требует применения двух свойств степеней: возведения степени в степень и умножения степеней с одинаковым основанием.

Шаг 1: Упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Первый множитель: $(n^{12})^4 = n^{12 \cdot 4} = n^{48}$.

Второй множитель: $(n^{21})^2 = n^{21 \cdot 2} = n^{42}$.

Шаг 2: Теперь перемножим полученные степени. Для этого используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Основание остается тем же, а показатели складываются.

$n^{48} \cdot n^{42} = n^{48+42} = n^{90}$.

Ответ: $n^{90}$.

296. Представьте степень в виде произведения степеней:

1) $(ab)^6$;

2) $(mnp)^5$;

3) $(3c)^7$;

4) $(-8xy)^3$;

5) $(-0.2cd)^4$;

6) $(\frac{3}{7}kt)^9$.

Для решения этого задания необходимо использовать свойство возведения произведения в степень. Оно гласит, что для того чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Общая формула: $(abc...)^n = a^n b^n c^n ...$.

1) Чтобы возвести произведение $(ab)$ в степень 6, нужно каждый множитель, $a$ и $b$, возвести в эту степень, согласно правилу $(xy)^n = x^n y^n$.

$(ab)^6 = a^6b^6$.

Ответ: $a^6b^6$.

2) Аналогично, возводим каждый из трех множителей ($m$, $n$ и $p$) в степень 5.

$(mnp)^5 = m^5n^5p^5$.

Ответ: $m^5n^5p^5$.

3) Возводим в степень 7 каждый множитель произведения $3c$.

$(3c)^7 = 3^7 \cdot c^7$.

Теперь вычислим числовой коэффициент $3^7$:

$3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2187$.

Следовательно, итоговое выражение: $2187c^7$.

Ответ: $2187c^7$.

4) Возводим в куб (третью степень) каждый множитель: $-8$, $x$ и $y$.

$(-8xy)^3 = (-8)^3 \cdot x^3 \cdot y^3$.

Вычислим $(-8)^3$. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным:

$(-8)^3 = -(8^3) = -512$.

Поэтому, $(-8xy)^3 = -512x^3y^3$.

Ответ: $-512x^3y^3$.

5) Возводим в четвертую степень каждый множитель: $-0,2$, $c$ и $d$.

$(-0,2cd)^4 = (-0,2)^4 \cdot c^4 \cdot d^4$.

Вычислим $(-0,2)^4$. Так как степень четная, результат будет положительным:

$(-0,2)^4 = (0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016$.

Таким образом, $(-0,2cd)^4 = 0,0016c^4d^4$.

Ответ: $0,0016c^4d^4$.

6) Возводим в степень 9 каждый множитель: $\frac{3}{7}$, $k$ и $t$.

$(\frac{3}{7}kt)^9 = (\frac{3}{7})^9 \cdot k^9 \cdot t^9$.

Для возведения дроби в степень применяем правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, поэтому $(\frac{3}{7})^9 = \frac{3^9}{7^9}$.

Так как вычисление $3^9$ и $7^9$ приводит к большим числам, принято оставлять ответ в виде степеней.

Итоговое выражение: $\frac{3^9}{7^9}k^9t^9$.

Ответ: $\frac{3^9}{7^9}k^9t^9$.

297. Представьте степень в виде произведения степеней:

1) $(ax)^2$

2) $(xyz)^{12}$

3) $(7m)^8$

4) $(-0,3bc)^{11}$

Для решения данной задачи используется свойство возведения произведения в степень. Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Это правило можно записать в виде формулы: $(abc...)^n = a^n b^n c^n ...$.

1) Дано выражение $(ax)^2$. Здесь основанием степени является произведение $ax$, а показателем степени — число 2. Чтобы представить это выражение в виде произведения степеней, необходимо каждый множитель в скобках ($a$ и $x$) возвести в степень 2.
$(ax)^2 = a^2 \cdot x^2 = a^2x^2$
Ответ: $a^2x^2$.

2) Дано выражение $(xyz

298. Представьте в виде степени выражение:

1) $a^3b^3$;

2) $-m^7$;

3) $9m^2n^2$;

4) $64x^3y^3$;

5) $-\frac{27}{343}c^3d^3$;

6) $0,0001k^4p^4$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство степени произведения: $x^n y^n = (xy)^n$. Это свойство гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем.

1) Дано выражение $a^3b^3$.

Поскольку у множителей $a^3$ и $b^3$ одинаковый показатель степени, равный 3, мы можем применить свойство степени произведения. Объединяем основания $a$ и $b$ под общим показателем 3.

$a^3b^3 = (ab)^3$.

Ответ: $(ab)^3$

2) Дано выражение $-m^7$.

Показатель степени 7 является нечетным числом. Для любой нечетной степени $n$ справедливо равенство $(-x)^n = -x^n$. Это означает, что мы можем внести знак "минус" в основание степени.

$-m^7 = (-m)^7$.

Ответ: $(-m)^7$

3) Дано выражение $9m^2n^2$.

Сначала представим числовой коэффициент 9 в виде степени. Поскольку остальные множители во второй степени, удобно представить 9 как $3^2$.

Выражение принимает вид: $3^2m^2n^2$.

Все множители ($3$, $m$, $n$) возведены в одну и ту же степень 2. Применяем свойство степени произведения:

$3^2m^2n^2 = (3mn)^2$.

Ответ: $(3mn)^2$

4) Дано выражение $64x^3y^3$.

Показатель степени у переменных $x$ и $y$ равен 3. Представим коэффициент 64 как число в третьей степени. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Выражение можно записать как: $4^3x^3y^3$.

Все множители ($4$, $x$, $y$) находятся в одной и той же степени 3. Объединяем их под общим показателем:

$4^3x^3y^3 = (4xy)^3$.

Ответ: $(4xy)^3$

5) Дано выражение $-\frac{27}{343}c^3d^3$.

Показатель степени у всех переменных равен 3. Представим дробный коэффициент в виде степени с показателем 3.

$27 = 3^3$ и $343 = 7^3$.

Следовательно, $\frac{27}{343} = \frac{3^3}{7^3} = \left(\frac{3}{7}\right)^3$.

Выражение принимает вид: $-\left(\frac{3}{7}\right)^3 c^3 d^3$.

Так как показатель степени 3 является нечетным, мы можем внести знак "минус" в основание степени: $-\left(\frac{3}{7}\right)^3 = \left(-\frac{3}{7}\right)^3$.

Теперь все множители имеют одинаковый показатель 3, и мы можем их сгруппировать:

$\left(-\frac{3}{7}\right)^3 c^3 d^3 = \left(-\frac{3}{7}cd\right)^3$.

Ответ: $\left(-\frac{3}{7}cd\right)^3$

6) Дано выражение $0,0001k^4p^4$.

Показатель степени у переменных равен 4. Представим десятичную дробь 0,0001 в виде степени с показателем 4.

$0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = (0,1)^4$.

Выражение принимает вид: $(0,1)^4 k^4 p^4$.

Все множители ($(0,1)$, $k$, $p$) возведены в степень 4. Применяем свойство степени произведения:

$(0,1)^4 k^4 p^4 = (0,1kp)^4$.

Ответ: $(0,1kp)^4$