Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

263. В таблице приведены площади некоторых государств Европы.

Запишите названия этих государств в порядке возрастания их площа- дей.

Для того чтобы записать названия государств в порядке возрастания их площадей, необходимо сравнить числовые значения этих площадей. Для этого приведем все значения, представленные в стандартном виде, к десятичной записи.

Италия
Площадь: $3,021 \cdot 10^5 = 3,021 \cdot 100~000 = 302~100$ км².

Андорра
Площадь: $4,64 \cdot 10^2 = 4,64 \cdot 100 = 464$ км².

Люксембург
Площадь: $2,586 \cdot 10^3 = 2,586 \cdot 1000 = 2~586$ км².

Венгрия
Площадь: $9,3 \cdot 10^4 = 9,3 \cdot 10~000 = 93~000$ км².

Теперь сравним полученные значения площадей и расположим их в порядке возрастания (от меньшего к большему):
$464$ (Андорра) < $2~586$ (Люксембург) < $93~000$ (Венгрия) < $302~100$ (Италия).

Следовательно, названия государств в порядке возрастания их площадей: Андорра, Люксембург, Венгрия, Италия.
Ответ: Андорра, Люксембург, Венгрия, Италия.

264. Какие из чисел -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

1) $x^4 = 16$;

2) $x^5 = -243$;

3) $x^2 + x = 2$;

4) $x^3 + x^2 = 6x$?

Для того чтобы определить, какие из чисел {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} являются корнями уравнений, необходимо подставить каждое число в уравнение и проверить, обращается ли оно в верное равенство.

Проверим каждое число из заданного множества:

• При $x = -3$: $(-3)^4 = 81$. Так как $81 \neq 16$, число -3 не является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^4 = 16$. Так как $16 = 16$, число -2 является корнем уравнения.
• При $x = -1$: $(-1)^4 = 1$. Так как $1 \neq 16$, число -1 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^4 = 0$. Так как $0 \neq 16$, число 0 не является корнем.
• При $x = 1$: $1^4 = 1$. Так как $1 \neq 16$, число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: $2^4 = 16$. Так как $16 = 16$, число 2 является корнем уравнения.
• При $x = 3$: $3^4 = 81$. Так как $81 \neq 16$, число 3 не является корнем.

Ответ: -2, 2.

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $(-3)^5 = -243$. Так как $-243 = -243$, число -3 является корнем уравнения.
• При $x = -2$: $(-2)^5 = -32$. Так как $-32 \neq -243$, число -2 не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^5 = -1$. Так как $-1 \neq -243$, число -1 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^5 = 0$. Так как $0 \neq -243$, число 0 не является корнем.
• При $x = 1$: $1^5 = 1$. Так как $1 \neq -243$, число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: $2^5 = 32$. Так как $32 \neq -243$, число 2 не является корнем.
• При $x = 3$: $3^5 = 243$. Так как $243 \neq -243$, число 3 не является корнем.

Ответ: -3.

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $(-3)^2 + (-3) = 9 - 3 = 6$. Так как $6 \neq 2$, число -3 не является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$. Так как $2 = 2$, число -2 является корнем уравнения.
• При $x = -1$: $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$. Так как $0 \neq 2$, число -1 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^2 + 0 = 0$. Так как $0 \neq 2$, число 0 не является корнем.
• При $x = 1$: $1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Так как $2 = 2$, число 1 является корнем уравнения.
• При $x = 2$: $2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$. Так как $6 \neq 2$, число 2 не является корнем.
• При $x = 3$: $3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$. Так как $12 \neq 2$, число 3 не является корнем.

Ответ: -2, 1.

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: левая часть $(-3)^3 + (-3)^2 = -27 + 9 = -18$. Правая часть $6 \cdot (-3) = -18$. Так как $-18 = -18$, число -3 является корнем уравнения.
• При $x = -2$: левая часть $(-2)^3 + (-2)^2 = -8 + 4 = -4$. Правая часть $6 \cdot (-2) = -12$. Так как $-4 \neq -12$, число -2 не является корнем.
• При $x = -1$: левая часть $(-1)^3 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$. Правая часть $6 \cdot (-1) = -6$. Так как $0 \neq -6$, число -1 не является корнем.
• При $x = 0$: левая часть $0^3 + 0^2 = 0$. Правая часть $6 \cdot 0 = 0$. Так как $0 = 0$, число 0 является корнем уравнения.
• При $x = 1$: левая часть $1^3 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Правая часть $6 \cdot 1 = 6$. Так как $2 \neq 6$, число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: левая часть $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$. Правая часть $6 \cdot 2 = 12$. Так как $12 = 12$, число 2 является корнем уравнения.
• При $x = 3$: левая часть $3^3 + 3^2 = 27 + 9 = 36$. Правая часть $6 \cdot 3 = 18$. Так как $36 \neq 18$, число 3 не является корнем.

Ответ: -3, 0, 2.

265. При каком значении $x$ равно нулю значение выражения:

1) $(2x - 3)^2$

2) $(x + 4)^4$

3) $(6x - 1)^5$?

1) Чтобы найти значение $x$, при котором значение выражения $(2x - 3)^2$ равно нулю, необходимо приравнять это выражение к нулю и решить полученное уравнение.
Выражение, возведенное в степень, равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю.
$(2x - 3)^2 = 0$
$2x - 3 = 0$
Перенесем слагаемое $-3$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$2x = 3$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{3}{2}$
$x = 1.5$
Ответ: $1.5$

2) Аналогично решаем для выражения $(x + 4)^4$. Приравниваем его к нулю.
$(x + 4)^4 = 0$
Основание степени должно быть равно нулю:
$x + 4 = 0$
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$x = -4$
Ответ: $-4$

3) Для выражения $(6x - 1)^5$ поступаем таким же образом.
$(6x - 1)^5 = 0$
Приравниваем основание степени к нулю:
$6x - 1 = 0$
Переносим $-1$ в правую часть:
$6x = 1$
Делим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

266. Решите уравнение:

1) $x^{10} = -1;$

2) $(x - 5)^4 = -16.$

1) $x^{10} = -1$

В левой части уравнения стоит переменная $x$ в десятой степени. Показатель степени 10 — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^{10} \ge 0$.

В правой части уравнения стоит число -1, которое является отрицательным.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет.

2) $(x - 5)^4 = -16$

В левой части уравнения стоит выражение $(x - 5)$ в четвертой степени. Показатель степени 4 — четное число. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выражение $(x - 5)$ будет каким-то действительным числом, и при возведении его в четвертую (четную) степень результат будет неотрицательным. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $(x - 5)^4 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит число -16, которое является отрицательным.

Мы получаем, что неотрицательное значение в левой части должно быть равно отрицательному значению в правой, что является невозможным. Следовательно, это уравнение также не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет.

267. При каких натуральных значениях n верно неравенство $8 < 3^n < 85$?

Для решения данного двойного неравенства $8 < 3^n < 85$ необходимо найти все натуральные числа n, которые ему удовлетворяют. Мы можем сделать это методом подбора, последовательно проверяя натуральные значения n.

1. Проверим $n=1$:
$3^1 = 3$. Неравенство $8 < 3 < 85$ неверно, так как $8$ не меньше $3$.

2. Проверим $n=2$:
$3^2 = 9$. Неравенство $8 < 9 < 85$ верно, так как $8 < 9$ и $9 < 85$.

3. Проверим $n=3$:
$3^3 = 27$. Неравенство $8 < 27 < 85$ верно, так как $8 < 27$ и $27 < 85$.

4. Проверим $n=4$:
$3^4 = 81$. Неравенство $8 < 81 < 85$ верно, так как $8 < 81$ и $81 < 85$.

5. Проверим $n=5$:
$3^5 = 243$. Неравенство $8 < 243 < 85$ неверно, так как $243$ не меньше $85$.

Поскольку функция $y=3^n$ является возрастающей, при всех последующих натуральных значениях n (т.е. при $n > 4$) значение $3^n$ будет еще больше, чем $243$, и, следовательно, правая часть неравенства $3^n < 85$ выполняться не будет.

Таким образом, неравенство верно при $n = 2, 3, 4$.

Ответ: 2, 3, 4.

268. При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство

$0,07 < 0,4^m < 0,5?$

Требуется найти все натуральные значения m, для которых выполняется двойное неравенство $0,07 < 0,4^m < 0,5$.

Поскольку m — это натуральное число ($m \in \{1, 2, 3, ...\}$), мы можем решить задачу, последовательно проверяя значения m, начиная с 1. Рассмотрим показательную функцию $y(m) = 0,4^m$. Так как основание степени $0,4$ меньше 1 и больше 0, функция является монотонно убывающей. Это означает, что с увеличением натурального показателя m значение выражения $0,4^m$ будет уменьшаться.

Проверим первые несколько натуральных значений m:

• При $m = 1$:
  $0,4^1 = 0,4$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,4 < 0,5$. Неравенство верное. Значит, $m=1$ является решением.
• При $m = 2$:
  $0,4^2 = 0,16$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,16 < 0,5$. Неравенство верное. Значит, $m=2$ является решением.
• При $m = 3$:
  $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4^2 = 0,4 \cdot 0,16 = 0,064$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,064 < 0,5$. Левая часть этого двойного неравенства, $0,07 < 0,064$, неверна. Значит, $m=3$ не является решением.

Поскольку функция $y = 0,4^m$ убывающая, для любого натурального $m \ge 3$ значение $0,4^m$ будет еще меньше, чем $0,4^3=0,064$. Следовательно, $0,4^m \le 0,064 < 0,07$. Это означает, что для $m \ge 3$ левая часть исходного неравенства $0,07 < 0,4^m$ выполняться не будет.

Таким образом, неравенство верно только при натуральных значениях $m=1$ и $m=2$.

Ответ: 1, 2.

269. Докажите, что выражение $x^2 + (x-1)^2$ принимает только положительные значения.

Для доказательства того, что выражение $x^2 + (x-1)^2$ принимает только положительные значения, можно использовать несколько подходов.

Сначала преобразуем данное выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x-1)^2 = x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 2x + 1$

Мы получили квадратичный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$. Значения этого выражения совпадают со значениями квадратичной функции $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола.

1. Старший коэффициент $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения $2x^2 - 2x + 1 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает и не касается оси абсцисс ($Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола целиком лежит в верхней полуплоскости, то есть все ее значения строго положительны.
Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы: $y_{верш} = -\frac{D}{4a} = -\frac{-4}{4 \cdot 2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Поскольку наименьшее значение выражения равно $\frac{1}{2}$, а $\frac{1}{2} > 0$, то выражение всегда положительно.

Рассмотрим исходное выражение $x^2 + (x-1)^2$. Оно состоит из двух слагаемых.

1. Слагаемое $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $(x-1)^2$ также является квадратом, поэтому оно тоже неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной. Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Проверим, могут ли они быть равны нулю одновременно:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$(x-1)^2 = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$

Так как $x$ не может одновременно быть равным $0$ и $1$, эти два слагаемых никогда не обращаются в ноль одновременно. Хотя бы одно из них всегда строго положительно.

Следовательно, сумма $x^2 + (x-1)^2$ всегда является строго положительным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $x^2 + (x-1)^2$ всегда принимает значения больше нуля при любом действительном $x$.

270. Докажите, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения.

Чтобы доказать, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения, необходимо показать, что $(x+1)^2 + |x| > 0$ для любого действительного числа $x$.

Для доказательства рассмотрим два возможных случая, основанных на определении модуля $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$

Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в исходное выражение: $ (x+1)^2 + |x| = (x+1)^2 + x $

Раскроем скобки и упростим: $ (x^2 + 2x + 1) + x = x^2 + 3x + 1 $

Проанализируем полученное выражение $x^2 + 3x + 1$ при условии $x \ge 0$. Поскольку $x \ge 0$, то каждое слагаемое неотрицательно: $x^2 \ge 0$ и $3x \ge 0$. Следовательно, их сумма с единицей будет строго положительной: $ x^2 + 3x + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1 $. Таким образом, в этом случае выражение всегда больше или равно 1, а значит, строго положительно.

Случай 2: $x < 0$

Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в исходное выражение: $ (x+1)^2 + |x| = (x+1)^2 - x $

Раскроем скобки и упростим: $ (x^2 + 2x + 1) - x = x^2 + x + 1 $

Рассмотрим полученный квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Чтобы определить знак этого трехчлена, найдем его дискриминант $D$: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Следовательно, он будет положительным и для всех $x < 0$.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ и в каждом случае получили, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ строго положительно.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(x+1)^2 + |x|$ всегда положительно, так как при $x \ge 0$ его значение не меньше 1, а при $x < 0$ оно равно квадратному трехчлену $x^2+x+1$, который всегда положителен (так как его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен).

271. Докажите, что не имеет положительных корней уравнение:

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0;$

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0.$

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0$

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет положительных корней, рассмотрим его левую часть при условии, что переменная $x$ принимает положительные значения.

Пусть $x$ – любое положительное число, то есть $x > 0$.

Проанализируем каждый член выражения $2x^2 + 5x + 2$:

Первый член, $2x^2$: поскольку $x > 0$, то и $x^2 > 0$. Умножение положительного числа $x^2$ на положительное число 2 даёт в результате положительное число, то есть $2x^2 > 0$.

Второй член, $5x$: поскольку $x > 0$, произведение $5x$ также будет положительным, то есть $5x > 0$.

Третий член, $2$, является положительной константой.

Таким образом, левая часть уравнения, $2x^2 + 5x + 2$, представляет собой сумму трех строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда является положительным числом. В данном случае, $2x^2 + 5x + 2 > 0 + 0 + 2 = 2$.

Поскольку для любого $x > 0$ значение выражения $2x^2 + 5x + 2$ строго больше нуля, оно не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$ не имеет положительных корней, так как для любого $x > 0$ левая часть уравнения строго больше нуля.

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$

Для доказательства воспользуемся аналогичным методом. Рассмотрим левую часть уравнения при условии, что $x > 0$.

Пусть $x$ – любое положительное число, то есть $x > 0$.

Проанализируем каждый член многочлена $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$:

- Член $x^4$: если $x > 0$, то любая его натуральная степень, включая четвертую, будет положительной, то есть $x^4 > 0$.

- Член $3x^3$: если $x > 0$, то $x^3 > 0$, и следовательно произведение $3x^3 > 0$.

- Член $4x^2$: если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и следовательно произведение $4x^2 > 0$.

- Член $3x$: если $x > 0$, то произведение $3x > 0$.

- Член $1$ является положительной константой.

Все слагаемые в левой части уравнения являются строго положительными при $x > 0$. Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. В данном случае, $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 > 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Поскольку для любого $x > 0$ значение выражения $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$ строго больше нуля, оно не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$ не имеет положительных корней, так как для любого $x > 0$ левая часть уравнения строго больше нуля.

272. Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:

1) $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0;$

2) $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x.$

1)

Рассмотрим уравнение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0$.
Для доказательства того, что у него нет отрицательных корней, предположим, что существует отрицательный корень $x < 0$.
Проанализируем знаки каждого слагаемого в левой части уравнения при $x < 0$:
- Слагаемое $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^4$ всегда положительно ($x^4 > 0$).
- Слагаемое $-5x^3$: так как $x < 0$, то $x^3 < 0$. Умножая на отрицательное число $-5$, получаем $-5x^3 > 0$.
- Слагаемое $6x^2$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^2 > 0$. Следовательно, $6x^2 > 0$.
- Слагаемое $-7x$: так как $x < 0$, умножение на $-7$ дает $-7x > 0$.
- Слагаемое $5$: это положительная константа, $5 > 0$.
Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна. Следовательно, для любого $x < 0$ выражение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5$ будет строго больше нуля и никогда не сможет равняться нулю.
Это доказывает, что у уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.

2)

Рассмотрим уравнение $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x$.
Для доказательства того, что у него нет отрицательных корней, предположим, что существует отрицательный корень $x < 0$.
Проанализируем знаки левой и правой частей уравнения при $x < 0$.
Левая часть: $x^8 + x^4 + 1$
- $x^8$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^8 > 0$.
- $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^4 > 0$.
- $1$: положительная константа.
Сумма трех положительных слагаемых является положительным числом. Значит, левая часть уравнения всегда больше нуля: $x^8 + x^4 + 1 > 0$.
Правая часть: $x^7 + x^3 + x$
- $x^7$: так как $x < 0$ и степень нечетная, $x^7 < 0$.
- $x^3$: так как $x < 0$ и степень нечетная, $x^3 < 0$.
- $x$: по предположению, $x < 0$.
Сумма трех отрицательных слагаемых является отрицательным числом. Значит, правая часть уравнения всегда меньше нуля: $x^7 + x^3 + x < 0$.
Получаем, что для любого отрицательного $x$ левая часть уравнения (положительная) должна быть равна правой части (отрицательной). Положительное число не может равняться отрицательному.
Следовательно, равенство $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x$ невозможно при $x < 0$.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.

273. При каких значениях $x$ и $y$ верно равенство:

1) $x^2 + y^2 = 0;$

2) $(x - 1)^4 + (y + 2)^6 = 0?$

1) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 = 0$.

Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения x. Аналогично, выражение $y^2$ также всегда неотрицательно: $y^2 \ge 0$ для любого значения y.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, равенство $x^2 + y^2 = 0$ возможно только при одновременном выполнении условий: $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$.

Из уравнения $x^2 = 0$ следует, что $x = 0$. Из уравнения $y^2 = 0$ следует, что $y = 0$.

Таким образом, данное равенство верно только при $x = 0$ и $y = 0$.

Ответ: $x = 0$, $y = 0$.

2) Рассмотрим уравнение $(x-1)^4 + (y+2)^6 = 0$.

Выражение $(x-1)^4$ представляет собой число, возведенное в четную степень (4), поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-1)^4 \ge 0$ для любого значения x. Аналогично, выражение $(y+2)^6$ представляет собой число, возведенное в четную степень (6), поэтому оно также всегда неотрицательно: $(y+2)^6 \ge 0$ для любого значения y.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Поэтому равенство $(x-1)^4 + (y+2)^6 = 0$ выполняется только тогда, когда одновременно верны два условия: $(x-1)^4 = 0$ и $(y+2)^6 = 0$.

Решим первое уравнение: $(x-1)^4 = 0$ $x-1 = 0$ $x = 1$

Решим второе уравнение: $(y+2)^6 = 0$ $y+2 = 0$ $y = -2$

Следовательно, данное равенство верно только при $x = 1$ и $y = -2$.

Ответ: $x = 1$, $y = -2$.

274. При каких значениях х и у верно равенство $x^8 + (y - 3)^2 = 0$?

Данное равенство $x^8 + (y-3)^2 = 0$ представляет собой сумму двух слагаемых.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. Слагаемое $x^8$. Так как показатель степени 8 является четным числом, то значение выражения $x^8$ будет всегда неотрицательным для любого действительного значения $x$. То есть, $x^8 \ge 0$. Равенство $x^8 = 0$ возможно только в одном случае: когда $x = 0$.

2. Слагаемое $(y-3)^2$. Это выражение представляет собой квадрат числа. Квадрат любого действительного числа также всегда неотрицателен. То есть, $(y-3)^2 \ge 0$. Равенство $(y-3)^2 = 0$ возможно только в том случае, если основание степени равно нулю: $y-3 = 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы оба слагаемых одновременно были равны нулю. Это приводит нас к системе уравнений:

$ \begin{cases} x^8 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим:

Из первого уравнения $x^8 = 0$ получаем $x = 0$.

Из второго уравнения $(y-3)^2 = 0$ получаем $y-3 = 0$, откуда $y = 3$.

Таким образом, единственная пара чисел $(x, y)$, при которой равенство верно, это $(0, 3)$.

Ответ: Равенство верно при $x = 0$ и $y = 3$.

275. При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее значение:

1) $x^2 + 7;$

2) $(x - 1)^4 + 16?$

1) Чтобы найти, при каком значении переменной выражение $x^2 + 7$ принимает наименьшее значение, проанализируем его структуру. Выражение состоит из двух слагаемых: переменного слагаемого $x^2$ и постоянного слагаемого $7$.
Поскольку $7$ — это константа, значение всего выражения зависит только от значения слагаемого $x^2$.
Свойство квадрата любого действительного числа заключается в том, что он всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $x^2$ равно $0$.
Это наименьшее значение достигается, когда $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^2 + 7$ будет достигнуто при $x = 0$ и будет равно $0^2 + 7 = 7$.
Ответ: $x = 0$.

2) Теперь рассмотрим выражение $(x - 1)^4 + 16$. Аналогично первому случаю, это выражение является суммой двух слагаемых: $(x - 1)^4$ и $16$.
Слагаемое $16$ — это константа. Значение всего выражения определяется слагаемым $(x - 1)^4$.
Выражение $(x - 1)$ возводится в четвертую степень. Так как степень четная ($4$), результат всегда будет неотрицательным: $(x - 1)^4 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x - 1)^4$, равно $0$.
Это значение достигается тогда, когда основание степени равно нулю: $x - 1 = 0$
Отсюда находим $x$: $x = 1$
Таким образом, выражение $(x - 1)^4 + 16$ принимает свое наименьшее значение при $x = 1$. Это значение равно $(1 - 1)^4 + 16 = 0^4 + 16 = 16$.
Ответ: $x = 1$.

276. При каком значении переменной данное выражение принимает наибольшее значение:

1) $10 - x^2$;

2) $24 - (x + 3)^6$?

1) Чтобы выражение $10 - x^2$ принимало наибольшее значение, необходимо, чтобы вычитаемое $x^2$ было как можно меньшим. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $x^2$ равно 0. Это значение достигается, когда $x = 0$. При этом значении $x$ все выражение будет равно $10 - 0^2 = 10$, что является его наибольшим возможным значением.

Ответ: при $x = 0$.

2) Чтобы выражение $24 - (x + 3)^6$ принимало наибольшее значение, необходимо, чтобы вычитаемое $(x + 3)^6$ было наименьшим. Так как любое число, возведенное в четную степень (в данном случае в 6-ю степень), является неотрицательным, то $(x + 3)^6 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение, которое может принять вычитаемое, равно 0. Это происходит, когда основание степени равно нулю:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

При $x = -3$ выражение принимает свое наибольшее значение, равное $24 - (-3 + 3)^6 = 24 - 0^6 = 24$.

Ответ: при $x = -3$.