Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

255. Представьте число:

1) 10 000;

2) -32;

3) 0,125;

4) -0,00001;

5) $-\frac{8}{343}$

в виде степени с показателем, большим 1, и наименьшим по модулю основанием.

1) Чтобы представить число $10\,000$ в виде степени $a^n$, где показатель $n > 1$ и основание $a$ имеет наименьший возможный модуль, необходимо найти наибольший возможный показатель степени $n$. Разложим $10\,000$ на простые множители: $10\,000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$. Наибольший общий делитель показателей степеней простых множителей (в данном случае оба равны 4) равен 4. Следовательно, наибольший возможный показатель степени $n=4$. При $n=4$ основание $a$ будет равно $\sqrt[4]{10\,000} = 10$. Таким образом, получаем представление $10^4$. Для сравнения, можно было бы взять $n=2$, тогда $10\,000=100^2$, но основание $100$ больше по модулю, чем $10$. Наименьшее по модулю основание достигается при наибольшем показателе.
Ответ: $10^4$.

2) Число $-32$ отрицательное, поэтому для представления его в виде степени $a^n$ основание $a$ должно быть отрицательным, а показатель $n$ — нечетным. Разложим модуль числа на множители: $32 = 2^5$. Так как показатель $5$ является нечетным, мы можем записать: $-32 = -(2^5) = (-2)^5$. Здесь основание $a = -2$, а показатель $n=5$. Условие $n > 1$ выполняется. Поскольку показатель 5 является простым числом, невозможно найти больший целый показатель, а значит, и основание с меньшим модулем. Модуль основания равен $|-2|=2$.
Ответ: $(-2)^5$.

3) Представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим числитель и знаменатель в виде степеней: $1 = 1^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, $\frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. Это можно записать в виде десятичной дроби как $(0,5)^3$. Здесь основание $a=0,5$, а показатель $n=3$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 3 — простое число, поэтому это единственное возможное представление с целым показателем больше 1, что гарантирует наименьший по модулю основание.
Ответ: $(0,5)^3$.

4) Представим десятичную дробь $-0,00001$ в виде обыкновенной: $-0,00001 = -\frac{1}{100\,000} = -\frac{1}{10^5}$. Так как число отрицательное, основание степени должно быть отрицательным, а показатель — нечетным. Показатель $5$ является нечетным, поэтому мы можем записать: $-\frac{1}{10^5} = -(\frac{1}{10})^5 = (-\frac{1}{10})^5$. В виде десятичной дроби это $(-0,1)^5$. Здесь основание $a=-0,1$, показатель $n=5$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 5 — простое число, что означает, что основание с модулем $|-0,1|=0,1$ является наименьшим по модулю.
Ответ: $(-0,1)^5$.

5) Число $-\frac{8}{343}$ является отрицательной дробью. Для представления в виде степени $a^n$ основание $a$ должно быть отрицательным, а показатель $n$ — нечетным. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$ и $343 = 7^3$. Тогда дробь можно записать как $-\frac{2^3}{7^3} = -(\frac{2}{7})^3$. Поскольку показатель $3$ нечетный, мы можем внести знак минуса в основание: $(-\frac{2}{7})^3$. Здесь основание $a = -\frac{2}{7}$, а показатель $n=3$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 3 — простое число, поэтому основание $a = -\frac{2}{7}$ является наименьшим по модулю.
Ответ: $(-\frac{2}{7})^3$.

256. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) квадрат разности чисел 7 и 5;

$(7-5)^2$

2) разность квадратов чисел 7 и 5;

$7^2 - 5^2$

3) куб суммы чисел 4 и 3;

$(4+3)^3$

4) сумма кубов чисел 4 и 3.

$4^3 + 3^3$

1) квадрат разности чисел 7 и 5;
"Разность чисел 7 и 5" записывается как $7 - 5$. "Квадрат разности" означает, что результат этого вычитания нужно возвести во вторую степень. Таким образом, составляем числовое выражение и находим его значение:
$(7 - 5)^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

2) разность квадратов чисел 7 и 5;
"Квадраты чисел 7 и 5" — это $7^2$ и $5^2$. "Разность квадратов" означает, что нужно вычесть квадрат второго числа из квадрата первого. Составляем числовое выражение и находим его значение:
$7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Ответ: 24

3) куб суммы чисел 4 и 3;
"Сумма чисел 4 и 3" записывается как $4 + 3$. "Куб суммы" означает, что результат сложения нужно возвести в третью степень. Составляем числовое выражение и находим его значение:
$(4 + 3)^3 = 7^3 = 343$.
Ответ: 343

4) сумма кубов чисел 4 и 3.
"Кубы чисел 4 и 3" — это $4^3$ и $3^3$. "Сумма кубов" означает, что нужно сложить эти два значения. Составляем числовое выражение и находим его значение:
$4^3 + 3^3 = 64 + 27 = 91$.
Ответ: 91

257. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8: $5^3 + 8^2$

2) куб разности чисел 9 и 8: $(9 - 8)^3$

3) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25: $(2.5)^2 + (0.25)^2$

4) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2: $(7.8 + 8.2)^2$

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8;
Составим числовое выражение согласно условию. Куб числа 5 — это возведение числа 5 в третью степень, что записывается как $5^3$. Квадрат числа 8 — это возведение числа 8 во вторую степень, что записывается как $8^2$. Сумма этих двух значений представляет собой выражение: $5^3 + 8^2$.
Теперь найдем значение этого выражения, соблюдая порядок действий:
Сначала вычислим степени:
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
$8^2 = 8 \times 8 = 64$
Затем выполним сложение:
$125 + 64 = 189$
Ответ: 189

2) куб разности чисел 9 и 8;
Составим числовое выражение. Разность чисел 9 и 8 записывается как $(9 - 8)$. Куб этой разности означает, что результат вычитания нужно возвести в третью степень. Выражение будет выглядеть так: $(9 - 8)^3$.
Теперь найдем значение этого выражения:
Сначала выполним действие в скобках:
$9 - 8 = 1$
Затем возведем результат в куб:
$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
Ответ: 1

3) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25;
Составим числовое выражение. Квадрат числа 2,5 записывается как $2.5^2$. Квадрат числа 0,25 записывается как $0.25^2$. Сумма этих квадратов представляет собой выражение: $2.5^2 + 0.25^2$.
Теперь найдем значение этого выражения:
Сначала вычислим квадраты чисел:
$2.5^2 = 2.5 \times 2.5 = 6.25$
$0.25^2 = 0.25 \times 0.25 = 0.0625$
Затем выполним сложение:
$6.25 + 0.0625 = 6.3125$
Ответ: 6.3125

4) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2.
Составим числовое выражение. Сумма чисел 7,8 и 8,2 записывается как $(7.8 + 8.2)$. Квадрат этой суммы означает, что результат сложения нужно возвести во вторую степень. Выражение будет выглядеть так: $(7.8 + 8.2)^2$.
Теперь найдем значение этого выражения:
Сначала выполним действие в скобках:
$7.8 + 8.2 = 16$
Затем возведем результат в квадрат:
$16^2 = 16 \times 16 = 256$
Ответ: 256

258. Сколько в 1 км содержится:

1) метров;

2) сантиметров;

3) миллиметров?

Ответ запишите в виде степени числа 10.

1) метров;

Чтобы определить, сколько метров содержится в одном километре, необходимо знать соотношение между этими единицами измерения. Приставка "кило" означает тысячу (1000).

Следовательно, 1 километр (км) равен 1000 метрам (м).

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Согласно условию задачи, ответ нужно записать в виде степени числа 10. Число 1000 можно представить как произведение трех множителей, равных 10:

$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$

Таким образом, в 1 километре содержится $10^3$ метров.

Ответ: $10^3$

2) сантиметров;

Чтобы найти, сколько сантиметров в одном километре, воспользуемся известными соотношениями. Сначала переведем километры в метры, а затем метры в сантиметры.

Из предыдущего пункта мы знаем, что в 1 километре содержится 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$

В каждом метре содержится 100 сантиметров (см):

$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 10^2 \text{ см}$

Чтобы найти общее количество сантиметров в километре, умножим количество метров в километре на количество сантиметров в метре:

$1 \text{ км} = (1000 \text{ м}) \times (100 \frac{\text{см}}{\text{м}}) = 100\,000 \text{ см}$

Теперь представим полученное число в виде степени числа 10. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \times a^n = a^{m+n}$):

$10^3 \times 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$

Следовательно, в 1 километре содержится $10^5$ сантиметров.

Ответ: $10^5$

3) миллиметров?

Для определения количества миллиметров в одном километре, мы можем последовательно перевести километры в метры, а затем метры в миллиметры.

Мы знаем, что 1 километр равен 1000 метрам:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$

В свою очередь, 1 метр содержит 1000 миллиметров (мм), так как приставка "милли" означает одну тысячную:

$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} = 10^3 \text{ мм}$

Умножим количество метров в километре на количество миллиметров в метре:

$1 \text{ км} = (1000 \text{ м}) \times (1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}}) = 1\,000\,000 \text{ мм}$

Запишем это число как степень числа 10, используя правило умножения степеней:

$10^3 \times 10^3 = 10^{3+3} = 10^6$

Альтернативно, можно отталкиваться от сантиметров. В 1 км содержится $10^5$ см (из п.2), а в 1 см — 10 мм ($10^1$ мм). Тогда:

$1 \text{ км} = 10^5 \text{ см} \times 10 \frac{\text{мм}}{\text{см}} = 10^5 \times 10^1 = 10^{5+1} = 10^6 \text{ мм}$

Итак, в 1 километре содержится $10^6$ миллиметров.

Ответ: $10^6$

259. Какое число надо подставить в показатель степени вместо звёздочки, чтобы образовалось верное равенство:

1) $1 \text{ га} = 10^* \text{ а};$

2) $1 \text{ га} = 10^* \text{ м}^2;$

3) $1 \text{ а} = 10^* \text{ м}^2;$

4) $1 \text{ га} = 10^* \text{ см}^2?$

1) 1 га = 10* а;
Чтобы найти, сколько ар (соток) в одном гектаре, необходимо знать соотношение этих единиц площади.
1 гектар (га) представляет собой площадь квадрата со стороной 100 метров. Таким образом, его площадь в квадратных метрах составляет: $1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10\ 000 \text{ м}^2$.
1 ар (а), также называемый соткой, представляет собой площадь квадрата со стороной 10 метров. Его площадь равна: $1 \text{ а} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$.
Теперь разделим площадь гектара на площадь ара, чтобы найти, сколько ар содержится в одном гектаре:
$ \frac{1 \text{ га}}{1 \text{ а}} = \frac{10\ 000 \text{ м}^2}{100 \text{ м}^2} = 100 $.
Следовательно, $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Чтобы выразить число 100 в виде степени с основанием 10, мы записываем: $100 = 10^2$.
В итоге получаем равенство: $1 \text{ га} = 10^2 \text{ а}$.
Значит, вместо звездочки нужно подставить число 2.
Ответ: 2.

2) 1 га = 10* м²;
По определению, 1 гектар (га) — это единица площади, равная площади квадрата со стороной 100 метров.
Вычислим эту площадь в квадратных метрах: $1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10\ 000 \text{ м}^2$.
Теперь необходимо представить число 10 000 в виде степени с основанием 10. Поскольку в числе 10 000 четыре нуля, это равно $10^4$.
$10\ 000 = 10^4$.
Таким образом, верное равенство выглядит так: $1 \text{ га} = 10^4 \text{ м}^2$.
Значит, вместо звездочки нужно подставить число 4.
Ответ: 4.

3) 1 а = 10* м²;
1 ар (а) — это единица площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров.
Вычислим эту площадь в квадратных метрах: $1 \text{ а} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$.
Представим число 100 как степень числа 10. Так как $10 \times 10 = 100$, то $100 = 10^2$.
Следовательно, верное равенство: $1 \text{ а} = 10^2 \text{ м}^2$.
Значит, вместо звездочки нужно подставить число 2.
Ответ: 2.

4) 1 га = 10* см²?
Для решения этой задачи выполним перевод единиц в два этапа: сначала из гектаров в квадратные метры, а затем из квадратных метров в квадратные сантиметры.
1. Перевод гектаров в квадратные метры:
Из пункта 2 мы знаем, что $1 \text{ га} = 10\ 000 \text{ м}^2$.
2. Перевод квадратных метров в квадратные сантиметры:
В 1 метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Тогда в 1 квадратном метре содержится: $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10\ 000 \text{ см}^2$.
3. Объединим результаты:
$1 \text{ га} = 10\ 000 \text{ м}^2 = 10\ 000 \times (10\ 000 \text{ см}^2) = 100\ 000\ 000 \text{ см}^2$.
Теперь представим число 100 000 000 в виде степени с основанием 10. В этом числе 8 нулей, поэтому $100\ 000\ 000 = 10^8$.
Итоговое равенство: $1 \text{ га} = 10^8 \text{ см}^2$.
Значит, вместо звездочки нужно подставить число 8.
Ответ: 8.

260. Скорость света в вакууме равна $300\,000 \text{ км/с}$.

1) Запишите эту величину, используя степень числа 10.

2) Выразите скорость света в метрах в секунду, запишите результат, используя степень числа 10.

1) Исходная скорость света дана как 300 000 км/с. Чтобы записать это число, используя степень числа 10, мы представляем его в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Число 300 000 можно представить как произведение 3 и 100 000.

$300 000 = 3 \times 100 000$

Число 100 000 содержит 5 нулей, поэтому его можно записать как $10^5$.

Таким образом, скорость света в вакууме равна:

$3 \times 10^5$ км/с

Ответ: $3 \times 10^5$ км/с.

2) Для того чтобы выразить скорость света в метрах в секунду, необходимо перевести километры в метры. Мы знаем, что в 1 километре содержится 1000 метров.

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$

Теперь умножим значение скорости света в км/с на количество метров в одном километре. Используем результат из первого пункта:

$3 \times 10^5 \text{ км/с} = (3 \times 10^5) \times 10^3 \text{ м/с}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \times a^n = a^{m+n}$):

$3 \times 10^5 \times 10^3 = 3 \times 10^{5+3} = 3 \times 10^8$

Следовательно, скорость света в метрах в секунду составляет $3 \times 10^8$ м/с.

Ответ: $3 \times 10^8$ м/с.

261. Сколько в $1 \text{ м}^2$ содержится:

1) квадратных дециметров;

2) квадратных сантиметров;

3) квадратных миллиметров?

Ответ запишите в виде степени числа 10.

1) квадратных дециметров

Чтобы определить, сколько квадратных дециметров (дм²) содержится в одном квадратном метре (м²), необходимо вспомнить соотношение между метрами и дециметрами.
В одном метре содержится 10 дециметров:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
Квадратный метр – это площадь квадрата со стороной 1 метр. Чтобы найти эту площадь в квадратных дециметрах, нужно длину стороны в дециметрах возвести в квадрат:
$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) = 100 \text{ дм}^2$
Согласно условию, ответ нужно записать в виде степени числа 10.
$100 = 10^2$
Следовательно, в 1 квадратном метре содержится $10^2$ квадратных дециметров.
Ответ: $10^2$

2) квадратных сантиметров

Аналогично определим, сколько квадратных сантиметров (см²) содержится в одном квадратном метре.
В одном метре содержится 100 сантиметров:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 10^2 \text{ см}$
Чтобы найти площадь в квадратных сантиметрах, возведем в квадрат длину стороны, выраженную в сантиметрах:
$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 10000 \text{ см}^2$
Теперь запишем результат в виде степени числа 10.
$10000 = 10^4$
Следовательно, в 1 квадратном метре содержится $10^4$ квадратных сантиметров.
Ответ: $10^4$

3) квадратных миллиметров

Найдем, сколько квадратных миллиметров (мм²) содержится в одном квадратном метре.
В одном метре содержится 1000 миллиметров:
$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} = 10^3 \text{ мм}$
Чтобы найти площадь в квадратных миллиметрах, возведем в квадрат длину стороны, выраженную в миллиметрах:
$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (1000 \text{ мм}) \times (1000 \text{ мм}) = 1000000 \text{ мм}^2$
Запишем полученное число в виде степени числа 10.
$1000000 = 10^6$
Следовательно, в 1 квадратном метре содержится $10^6$ квадратных миллиметров.
Ответ: $10^6$

262. В таблице приведены расстояния от Солнца до некоторых планет Солнечной системы.

Марс: $2,28 \cdot 10^8$ км

Сатурн: $1,427 \cdot 10^9$ км

Меркурий: $5,79 \cdot 10^7$ км

Юпитер: $7,785 \cdot 10^8$ км

Запишите названия планет в порядке убывания расстояния от них до Солнца.

Чтобы записать названия планет в порядке убывания расстояния от них до Солнца, необходимо сравнить указанные в таблице расстояния. Все расстояния представлены в стандартном виде ($a \cdot 10^n$). Для их сравнения удобнее всего привести все числа к одной и той же степени 10. В данном случае удобно привести все расстояния к множителю $10^8$.

Марс

Расстояние от Солнца до Марса составляет $2,28 \cdot 10^8$ км. Это значение уже имеет нужный нам порядок.

Сатурн

Расстояние от Солнца до Сатурна составляет $1,427 \cdot 10^9$ км. Чтобы привести это число к степени $10^8$, представим $10^9$ как $10 \cdot 10^8$:
$1,427 \cdot 10^9 = 1,427 \cdot 10 \cdot 10^8 = 14,27 \cdot 10^8$ км.

Меркурий

Расстояние от Солнца до Меркурия составляет $5,79 \cdot 10^7$ км. Чтобы привести это число к степени $10^8$, представим $10^7$ как $0,1 \cdot 10^8$:
$5,79 \cdot 10^7 = 5,79 \cdot 0,1 \cdot 10^8 = 0,579 \cdot 10^8$ км.

Юпитер

Расстояние от Солнца до Юпитера составляет $7,785 \cdot 10^8$ км. Это значение также уже имеет порядок $10^8$.

Теперь, когда все расстояния приведены к общему множителю $10^8$, мы можем сравнить их числовые коэффициенты (мантиссы):

• Сатурн: $14,27 \cdot 10^8$ км
• Юпитер: $7,785 \cdot 10^8$ км
• Марс: $2,28 \cdot 10^8$ км
• Меркурий: $0,579 \cdot 10^8$ км

Расположим коэффициенты в порядке убывания (от большего к меньшему):
$14,27 > 7,785 > 2,28 > 0,579$

Этому неравенству соответствует следующий порядок планет по убыванию их расстояния от Солнца.
Ответ: Сатурн, Юпитер, Марс, Меркурий.