Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

235. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $a$ из верхней строки вычислить его вторую, третью и четвертую степени.

$a^2$

Возводим в квадрат каждое значение $a$ из первой строки. Важно помнить, что при возведении в четную степень (в данном случае, во вторую) любого числа (как положительного, так и отрицательного) результат всегда будет положительным.

Для $a = 2$: $a^2 = 2^2 = 4$
Для $a = -2$: $a^2 = (-2)^2 = 4$
Для $a = 10$: $a^2 = 10^2 = 100$
Для $a = -10$: $a^2 = (-10)^2 = 100$
Для $a = 0,1$: $a^2 = (0,1)^2 = 0,01$
Для $a = -0,1$: $a^2 = (-0,1)^2 = 0,01$
Для $a = \frac{1}{2}$: $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$
Для $a = -\frac{1}{2}$: $a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{(-1)^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: Вторая строка таблицы ($a^2$): 4; 4; 100; 100; 0,01; 0,01; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$.

$a^3$

Возводим в куб каждое значение $a$. При возведении в нечетную степень (в данном случае, в третью) знак результата совпадает со знаком исходного числа.

Для $a = 2$: $a^3 = 2^3 = 8$
Для $a = -2$: $a^3 = (-2)^3 = -8$
Для $a = 10$: $a^3 = 10^3 = 1000$
Для $a = -10$: $a^3 = (-10)^3 = -1000$
Для $a = 0,1$: $a^3 = (0,1)^3 = 0,001$
Для $a = -0,1$: $a^3 = (-0,1)^3 = -0,001$
Для $a = \frac{1}{2}$: $a^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
Для $a = -\frac{1}{2}$: $a^3 = (-\frac{1}{2})^3 = \frac{(-1)^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$

Ответ: Третья строка таблицы ($a^3$): 8; -8; 1000; -1000; 0,001; -0,001; $\frac{1}{8}$; $-\frac{1}{8}$.

$a^4$

Возводим в четвертую степень каждое значение $a$. Четвертая степень, как и вторая, является четной, поэтому результат всегда будет положительным. Для удобства вычислений можно возвести в квадрат уже найденные значения $a^2$, так как $a^4 = (a^2)^2$.

Для $a = 2$: $a^4 = 2^4 = (2^2)^2 = 4^2 = 16$
Для $a = -2$: $a^4 = (-2)^4 = ((-2)^2)^2 = 4^2 = 16$
Для $a = 10$: $a^4 = 10^4 = (10^2)^2 = 100^2 = 10000$
Для $a = -10$: $a^4 = (-10)^4 = ((-10)^2)^2 = 100^2 = 10000$
Для $a = 0,1$: $a^4 = (0,1)^4 = ((0,1)^2)^2 = (0,01)^2 = 0,0001$
Для $a = -0,1$: $a^4 = (-0,1)^4 = ((-0,1)^2)^2 = (0,01)^2 = 0,0001$
Для $a = \frac{1}{2}$: $a^4 = (\frac{1}{2})^4 = ((\frac{1}{2})^2)^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$
Для $a = -\frac{1}{2}$: $a^4 = (-\frac{1}{2})^4 = ((-\frac{1}{2})^2)^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Ответ: Четвертая строка таблицы ($a^4$): 16; 16; 10000; 10000; 0,0001; 0,0001; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{16}$.

Итоговая заполненная таблица:

236. Заполните таблицу.

a

-6

6

-0,4

0,4

3

0,03

$1/2$

-1

0

$10a^2$

$(10a)^2$

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения переменной $a$ из верхней строки вычислить соответствующие значения выражений $10a^2$ и $(10a)^2$.

При a = -6

Вычислим значение для выражения $10a^2$. Подставим $a = -6$:

$10a^2 = 10 \cdot (-6)^2 = 10 \cdot 36 = 360$

Вычислим значение для выражения $(10a)^2$. Подставим $a = -6$:

$(10a)^2 = (10 \cdot (-6))^2 = (-60)^2 = 3600$

Ответ: Значения для столбца: 360 и 3600.

При a = 6

Вычислим $10a^2$ при $a = 6$:

$10a^2 = 10 \cdot 6^2 = 10 \cdot 36 = 360$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = 6$:

$(10a)^2 = (10 \cdot 6)^2 = 60^2 = 3600$

Ответ: Значения для столбца: 360 и 3600.

При a = -0,4

Вычислим $10a^2$ при $a = -0,4$:

$10a^2 = 10 \cdot (-0,4)^2 = 10 \cdot 0,16 = 1,6$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = -0,4$:

$(10a)^2 = (10 \cdot (-0,4))^2 = (-4)^2 = 16$

Ответ: Значения для столбца: 1,6 и 16.

При a = 0,4

Вычислим $10a^2$ при $a = 0,4$:

$10a^2 = 10 \cdot 0,4^2 = 10 \cdot 0,16 = 1,6$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = 0,4$:

$(10a)^2 = (10 \cdot 0,4)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: Значения для столбца: 1,6 и 16.

При a = 3

Вычислим $10a^2$ при $a = 3$:

$10a^2 = 10 \cdot 3^2 = 10 \cdot 9 = 90$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = 3$:

$(10a)^2 = (10 \cdot 3)^2 = 30^2 = 900$

Ответ: Значения для столбца: 90 и 900.

При a = 0,03

Вычислим $10a^2$ при $a = 0,03$:

$10a^2 = 10 \cdot (0,03)^2 = 10 \cdot 0,0009 = 0,009$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = 0,03$:

$(10a)^2 = (10 \cdot 0,03)^2 = (0,3)^2 = 0,09$

Ответ: Значения для столбца: 0,009 и 0,09.

При a = $\frac{1}{2}$

Вычислим $10a^2$ при $a = \frac{1}{2}$:

$10a^2 = 10 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = \frac{1}{2}$:

$(10a)^2 = (10 \cdot \frac{1}{2})^2 = 5^2 = 25$

Ответ: Значения для столбца: 2,5 и 25.

При a = -1

Вычислим $10a^2$ при $a = -1$:

$10a^2 = 10 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 1 = 10$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = -1$:

$(10a)^2 = (10 \cdot (-1))^2 = (-10)^2 = 100$

Ответ: Значения для столбца: 10 и 100.

При a = 0

Вычислим $10a^2$ при $a = 0$:

$10a^2 = 10 \cdot 0^2 = 10 \cdot 0 = 0$

Вычислим $(10a)^2$ при $a = 0$:

$(10a)^2 = (10 \cdot 0)^2 = 0^2 = 0$

Ответ: Значения для столбца: 0 и 0.

После выполнения всех вычислений, заполняем таблицу:

237. Площадь острова Сахалин – самого большого острова России – составляет $7{,}64 \cdot 10^4 \text{ км}^2$. Выразите эту площадь натуральным числом в квадратных километрах.

В задаче требуется выразить площадь, записанную в стандартном виде $7,64 \cdot 10^4$ км², натуральным числом. Стандартный вид числа используется для удобной записи очень больших или очень маленьких чисел.

Для преобразования числа из стандартного вида в натуральное, нужно выполнить умножение. Множитель $10^4$ означает, что число 10 умножается само на себя 4 раза:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

Теперь умножим данное число $7,64$ на $10000$:
$7,64 \cdot 10000 = 76400$.

Это действие равносильно переносу десятичной запятой на 4 знака вправо. В числе 7,64 мы переносим запятую за цифру 4 (это 2 знака), и так как нужно перенести еще на 2 знака, мы дописываем два нуля.

Следовательно, площадь острова Сахалин, выраженная натуральным числом, равна 76400 квадратных километров.

Ответ: 76400 км².

238. Расстояние от Земли до Солнца равно $1.495 \cdot 10^{11}$ м. Выразите это расстояние натуральным числом в метрах.

Чтобы выразить расстояние, записанное в стандартном виде $1,495 \cdot 10^{11}$ м, в виде натурального числа, необходимо выполнить умножение.

Умножение числа на $10^{11}$ означает перенос десятичной запятой на 11 знаков вправо.

В числе $1,495$ перенесем запятую на 11 знаков вправо. Сначала переносим запятую на 3 знака, чтобы получить целое число: $1495$.

После этого нам нужно перенести запятую еще на $11 - 3 = 8$ знаков. Это делается путем добавления восьми нулей в конец числа.

Таким образом, получаем: $1495$ и еще 8 нулей, то есть $149 500 000 000$.

Ответ: $149 500 000 000$ м.

239. Площадь материков и островов Земли составляет $1,49 \cdot 10^8 \text{ км}^2$, а площадь океанов – $3,61 \cdot 10^8 \text{ км}^2$. Выразите эти площади натуральными числами в квадратных километрах.

Чтобы выразить число, записанное в стандартном виде $a \cdot 10^n$, в виде натурального числа, необходимо десятичную запятую в числе $a$ перенести на $n$ знаков вправо. В данной задаче $n=8$.

Площадь материков и островов

Исходное значение площади материков и островов составляет $1,49 \cdot 10^8 \text{ км}^2$. Для преобразования этого числа в натуральное, перенесем запятую в числе $1,49$ на 8 знаков вправо. Поскольку после запятой стоят две цифры (4 и 9), нам потребуется дописать $8 - 2 = 6$ нулей.

$1,49 \cdot 10^8 = 1,49 \cdot 100\;000\;000 = 149\;000\;000$.

Таким образом, площадь материков и островов равна $149\;000\;000 \text{ км}^2$.

Ответ: $149\;000\;000 \text{ км}^2$.

Площадь океанов

Исходное значение площади океанов составляет $3,61 \cdot 10^8 \text{ км}^2$. Аналогично первому случаю, перенесем запятую в числе $3,61$ на 8 знаков вправо. Для этого также допишем $8 - 2 = 6$ нулей.

$3,61 \cdot 10^8 = 3,61 \cdot 100\;000\;000 = 361\;000\;000$.

Таким образом, площадь океанов равна $361\;000\;000 \text{ км}^2$.

Ответ: $361\;000\;000 \text{ км}^2$.

240. Вычислите:

1) $8^2 - 1^{10}$;

2) $0,3 \cdot 2^4$;

3) $(4,2 - 3,8)^4 \cdot 25^2$;

4) $(6^3 : 200 - 0,4^2) : 0,2^3$.

1) $8^2 - 1^{10}$

Для решения этого примера необходимо поочередно выполнить действия возведения в степень, а затем вычитание.

Первым шагом возведем число 8 во вторую степень:$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.

Вторым шагом возведем число 1 в десятую степень. Единица в любой степени равна единице:$1^{10} = 1$.

Последним шагом выполним вычитание полученных результатов:$64 - 1 = 63$.

Ответ: $63$.

2) $0,3 \cdot 2^4$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполним возведение в степень, а затем умножение.

Возведем число 2 в четвертую степень:$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Теперь умножим результат на 0,3:$0,3 \cdot 16 = 4,8$.

Ответ: $4,8$.

3) $(4,2 - 3,8)^4 \cdot 25^2$

Сначала выполним действие в скобках:$4,2 - 3,8 = 0,4$.

Теперь выражение выглядит следующим образом: $0,4^4 \cdot 25^2$.Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и воспользуемся свойствами степеней.$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.$25 = 5^2$.

Подставим эти значения в выражение:$(\frac{2}{5})^4 \cdot (5^2)^2$.

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$(\frac{2}{5})^4 \cdot 5^{2 \cdot 2} = (\frac{2}{5})^4 \cdot 5^4$.

Применяя свойства $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получаем:$\frac{2^4}{5^4} \cdot 5^4 = 2^4 \cdot (\frac{5^4}{5^4}) = 2^4$.

Вычислим конечный результат:$2^4 = 16$.

Ответ: $16$.

4) $(6^3 : 200 - 0,4^2) : 0,2^3$

Решение выполняется в соответствии с порядком действий: сначала операции в скобках (возведение в степень, затем деление и вычитание), затем возведение в степень за скобками и, наконец, деление.

1. Вычислим значения степеней внутри скобок:$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.$0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$.

2. Подставим результаты в скобки и выполним деление:$216 : 200 = 1,08$.

3. Выполним вычитание в скобках:$1,08 - 0,16 = 0,92$.

4. Теперь выражение имеет вид: $0,92 : 0,2^3$. Вычислим степень делителя:$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.

5. Выполним финальное деление:$0,92 : 0,008$.Для удобства можно представить это как деление обыкновенных дробей или умножить делимое и делитель на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков:$\frac{0,92}{0,008} = \frac{0,92 \cdot 1000}{0,008 \cdot 1000} = \frac{920}{8} = 115$.

Ответ: $115$.

241. Вычислите:

1) $4^3 + 3^5$

2) $0.6^3 - 0.4^3$

3) $0.12 \cdot 5^4$

1) Для вычисления выражения $4^3 + 3^5$ сначала возведем каждое число в соответствующую степень.
Возводим 4 в куб: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Возводим 3 в пятую степень: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
Теперь сложим полученные результаты: $64 + 243 = 307$.
Ответ: 307.

2) Для вычисления выражения $0.6^3 - 0.4^3$ сначала возведем каждую десятичную дробь в куб.
Возводим 0,6 в куб: $0.6^3 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.36 \cdot 0.6 = 0.216$.
Возводим 0,4 в куб: $0.4^3 = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.16 \cdot 0.4 = 0.064$.
Теперь вычтем из первого результата второй: $0.216 - 0.064 = 0.152$.
Ответ: 0.152.

3) Для вычисления выражения $0.12 \cdot 5^4$ сначала возведем 5 в четвертую степень.
Возводим 5 в четвертую степень: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Теперь умножим 0,12 на полученный результат. Это можно сделать несколькими способами. Например, представив 0,12 в виде обыкновенной дроби: $0.12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.
Выполним умножение: $\frac{3}{25} \cdot 625$. Сократим 625 и 25 ($625 \div 25 = 25$).
Получаем: $3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: 75.

242. Найдите значение выражения:

1) $x^2 - x^3$, если $x = 0,1;$

2) $15a^2$, если $a = 0,4;$

3) $(x - y)^5$, если $x = 0,8, y = 0,6;$

4) $a^2b^3$, если $a = 0,6, b = 0,5;$

5) $(x^2 - y^2) : (x - y)$, если $x = 5, y = 3;$

6) $(x^2 - y^2) : x - y$, если $x = 5, y = 3;$

7) $x^2 - y^2 : (x - y)$, если $x = 5, y = 3;$

8) $x^2 - y^2 : x - y$, если $x = 5, y = 3.$

1) Чтобы найти значение выражения $x^2 - x^3$ при $x = 0,1$, подставим это значение в выражение:

$ (0,1)^2 - (0,1)^3 $

Сначала вычислим степени:

$ (0,1)^2 = 0,1 \times 0,1 = 0,01 $

$ (0,1)^3 = 0,1 \times 0,1 \times 0,1 = 0,001 $

Теперь выполним вычитание:

$ 0,01 - 0,001 = 0,009 $

Ответ: 0,009

2) Найдем значение выражения $15a^2$ при $a = 0,4$.

Подставляем значение $a$ в выражение:

$ 15 \times (0,4)^2 $

Сначала возводим в квадрат:

$ (0,4)^2 = 0,4 \times 0,4 = 0,16 $

Затем выполняем умножение:

$ 15 \times 0,16 = 2,4 $

Ответ: 2,4

3) Найдем значение выражения $(x - y)^5$ при $x = 0,8$ и $y = 0,6$.

Сначала выполним действие в скобках:

$ x - y = 0,8 - 0,6 = 0,2 $

Теперь возведем результат в пятую степень:

$ (0,2)^5 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,00032 $

Ответ: 0,00032

4) Найдем значение выражения $a^2b^3$ при $a = 0,6$ и $b = 0,5$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$ (0,6)^2 \times (0,5)^3 $

Вычисляем значения степеней по отдельности:

$ a^2 = (0,6)^2 = 0,36 $

$ b^3 = (0,5)^3 = 0,125 $

Теперь перемножаем полученные значения:

$ 0,36 \times 0,125 = 0,045 $

Ответ: 0,045

5) Найдем значение выражения $(x^2 - y^2) : (x - y)$ при $x = 5$ и $y = 3$.

Способ 1: Прямая подстановка.

Сначала вычислим значения в скобках:

$ x^2 - y^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 $

$ x - y = 5 - 3 = 2 $

Теперь выполним деление:

$ 16 : 2 = 8 $

Способ 2: Упрощение выражения.

Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$ (x^2 - y^2) : (x - y) = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y $

Подставим значения $x$ и $y$ в упрощенное выражение:

$ x + y = 5 + 3 = 8 $

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 8

6) Найдем значение выражения $(x^2 - y^2) : x - y$ при $x = 5$ и $y = 3$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем действие в скобках, затем деление, а потом вычитание.

1. Вычисляем значение в скобках:

$ x^2 - y^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 $

2. Выполняем деление полученного результата на $x$:

$ 16 : x = 16 : 5 = 3,2 $

3. Вычитаем $y$:

$ 3,2 - y = 3,2 - 3 = 0,2 $

Ответ: 0,2

7) Найдем значение выражения $x^2 - y^2 : (x - y)$ при $x = 5$ и $y = 3$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем действие в скобках, затем деление, а потом вычитание.

1. Вычисляем значение в скобках:

$ x - y = 5 - 3 = 2 $

2. Выполняем деление $y^2$ на результат в скобках:

$ y^2 : 2 = 3^2 : 2 = 9 : 2 = 4,5 $

3. Вычитаем полученное значение из $x^2$:

$ x^2 - 4,5 = 5^2 - 4,5 = 25 - 4,5 = 20,5 $

Ответ: 20,5

8) Найдем значение выражения $x^2 - y^2 : x - y$ при $x = 5$ и $y = 3$.

В выражении отсутствуют скобки. Согласно порядку действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание слева направо. Выражение равносильно $x^2 - (y^2 : x) - y$.

1. Выполняем деление:

$ y^2 : x = 3^2 : 5 = 9 : 5 = 1,8 $

2. Выполняем вычитание слева направо:

$ x^2 - 1,8 - y = 5^2 - 1,8 - 3 = 25 - 1,8 - 3 $

$ 25 - 1,8 = 23,2 $

$ 23,2 - 3 = 20,2 $

Ответ: 20,2