Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

227. Прочитайте выражение, назовите основание и показатель степени:

1) $9^6$

2) $2,4^7$

3) $0,3^5$

4) $(-8)^2$

5) $(-0,6)^3$

6) $(-a)^{11}$

7) $73^1$

8) $(3p)^{12}$

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется выражение $a^n$. Число $a$ — это основание степени, а число $n$ — показатель степени. Основание — это то, что возводится в степень, а показатель — это число, указывающее, сколько раз основание умножается само на себя.

1) $9^6$

Выражение читается: «девять в шестой степени».

Основание степени: $9$.

Показатель степени: $6$.

Ответ: основание $9$, показатель $6$.

2) $2,4^7$

Выражение читается: «две целых четыре десятых в седьмой степени».

Основание степени: $2,4$.

Показатель степени: $7$.

Ответ: основание $2,4$, показатель $7$.

3) $0,3^5$

Выражение читается: «ноль целых три десятых в пятой степени».

Основание степени: $0,3$.

Показатель степени: $5$.

Ответ: основание $0,3$, показатель $5$.

4) $(-8)^2$

Выражение читается: «минус восемь во второй степени» или «минус восемь в квадрате».

Основание степени (в данном случае это число в скобках): $-8$.

Показатель степени: $2$.

Ответ: основание $-8$, показатель $2$.

5) $(-0,6)^3$

Выражение читается: «минус ноль целых шесть десятых в третьей степени» или «минус ноль целых шесть десятых в кубе».

Основание степени (выражение в скобках): $-0,6$.

Показатель степени: $3$.

Ответ: основание $-0,6$, показатель $3$.

6) $(-a)^{11}$

Выражение читается: «минус а в одиннадцатой степени».

Основание степени (выражение в скобках): $-a$.

Показатель степени: $11$.

Ответ: основание $-a$, показатель $11$.

7) $73^1$

Выражение читается: «семьдесят три в первой степени».

Основание степени: $73$.

Показатель степени: $1$.

Ответ: основание $73$, показатель $1$.

8) $(3p)^{12}$

Выражение читается: «выражение три пэ в двенадцатой степени».

Основание степени (целое выражение в скобках): $3p$.

Показатель степени: $12$.

Ответ: основание $3p$, показатель $12$.

228. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

1) $5 \cdot 5 \cdot 5$;

2) $(-7) \cdot (-7) \cdot (-7)$;

3) $a \cdot a \cdot a \cdot a$;

4) $2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m$;

5) $x^2 \cdot x^2 \cdot x^2$;

6) $y \cdot y \cdot \dots \cdot y$;
10 множителей

7) $0,4 \cdot 0,4 \cdot \dots \cdot 0,4$;
$k$ множителей

8) $c \cdot c \cdot \dots \cdot c$;
$m$ множителей

1) В данном выражении число $5$ умножается само на себя 4 раза. По определению степени, произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, где основание — это повторяющийся множитель, а показатель — количество повторений.

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Ответ: $5^4$.

2) В этом произведении множитель $(-7)$ повторяется 3 раза. Следовательно, это выражение можно представить в виде степени с основанием $(-7)$ и показателем $3$. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в степень возводится все число, включая знак.

$(-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = (-7)^3$.

Ответ: $(-7)^3$.

3) Произведение пяти одинаковых множителей $a$ можно заменить степенью с основанием $a$ и показателем $5$.

$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5$.

Ответ: $a^5$.

4) В данном выражении множитель $2m$ повторяется 5 раз. Запишем это произведение в виде степени, где основанием будет выражение $(2m)$, а показателем — число $5$. Скобки необходимы, чтобы показать, что в степень возводится все выражение $2m$.

$2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m = (2m)^5$.

Ответ: $(2m)^5$.

5) Здесь одинаковый множитель $x^2$ повторяется 5 раз. Это можно записать как степень с основанием $x^2$ и показателем $5$: $(x^2)^5$.

Для дальнейшего упрощения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.

Ответ: $x^{10}$.

6) В выражении $\underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}}$ множитель $y$ повторяется 10 раз, как указано под фигурной скобкой. По определению, это равно степени с основанием $y$ и показателем $10$.

$\underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}} = y^{10}$.

Ответ: $y^{10}$.

7) В выражении $\underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}}$ множитель $0,4$ повторяется $k$ раз. Это можно записать в виде степени с основанием $0,4$ и показателем $k$.

$\underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}} = (0,4)^k$.

Ответ: $(0,4)^k$.

8) В выражении $\underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}}$ множитель $c$ повторяется $m$ раз. Это равно степени с основанием $c$ и показателем $m$.

$\underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}} = c^m$.

Ответ: $c^m$.

229. Представьте в виде степени произведение:

1) $c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c$;

2) $5b \cdot 5b \cdot 5b$;

3) $(-x) \cdot (-x) \cdot \ldots \cdot (-x)$;

19 множителей

4) $(a+b) \cdot (a+b) \cdot \ldots \cdot (a+b)$.

$d$ множителей

1) Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо определить основание и показатель степени. Основание — это повторяющийся множитель. В данном случае это $c$. Показатель степени — это количество раз, которое множитель повторяется в произведении. Сосчитав количество множителей $c$, получаем 8. Таким образом, произведение записывается как степень с основанием $c$ и показателем 8.

$c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c = c^8$

Ответ: $c^8$

2) В этом произведении повторяющимся множителем является выражение $5b$. Это будет основанием степени. Количество таких множителей равно 3, это будет показатель степени. Чтобы показать, что в степень возводится все выражение $5b$, а не только переменная $b$, необходимо заключить его в скобки.

$5b \cdot 5b \cdot 5b = (5b)^3$

Ответ: $(5b)^3$

3) В данном выражении основанием степени является множитель $(-x)$. Из условия известно, что количество таких множителей равно 19. Следовательно, показатель степени равен 19. Для записи степени необходимо взять основание в скобки.

$\underbrace{(-x) \cdot (-x) \cdot \ldots \cdot (-x)}_{19 \text{ множителей}} = (-x)^{19}$

Так как 19 — нечетное число, то $(-x)^{19} = -x^{19}$. Однако представление $(-x)^{19}$ является более точной записью исходного произведения в виде степени.

Ответ: $(-x)^{19}$

4) В этом произведении основанием степени является выражение $(a+b)$, так как оно является повторяющимся множителем. Количество множителей задано переменной $d$, которая и будет показателем степени.

$\underbrace{(a+b) \cdot (a+b) \cdot \ldots \cdot (a+b)}_{d \text{ множителей}} = (a+b)^d$

Ответ: $(a+b)^d$

230. Пользуясь определением степени, представьте в виде произведения степени:

1) $11^6$;

2) $0,1^4$;

3) $(-\frac{1}{6})^2$;

4) $(5c)^3$;

5) $(-3,6)^7$;

6) $(a+b)^5$.

По определению, степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

1) Степень $11^6$ означает, что число $11$ (основание) умножается само на себя $6$ раз (показатель степени).

Ответ: $11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11$.

2) Степень $0,1^4$ означает, что число $0,1$ умножается само на себя $4$ раза.

Ответ: $0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1$.

3) Степень $(-\frac{1}{6})^2$ означает, что число $(-\frac{1}{6})$ умножается само на себя $2$ раза.

Ответ: $(-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{1}{6})$.

4) Степень $(5c)^3$ означает, что выражение $(5c)$ умножается само на себя $3$ раза.

Ответ: $(5c) \cdot (5c) \cdot (5c)$.

5) Степень $(-3,6)^7$ означает, что число $(-3,6)$ умножается само на себя $7$ раз.

Ответ

231. Пользуясь определением степени, представьте в виде произведения степень:

1) $3^7$;

2) $(2\frac{1}{7})^4$;

3) $(c+d)^3$;

4) $(a-b)^2$.

По определению, степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ (где $n > 1$) — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Формула выглядит так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Применим это определение для каждого из выражений.

1) $3^7$

В данном случае основание степени равно $3$, а показатель степени равен $7$. Это означает, что число $3$ нужно умножить само на себя $7$ раз.

$3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Ответ: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

2) $(2\frac{1}{7})^4$

Основанием степени является смешанное число $2\frac{1}{7}$, а показатель степени равен $4$. Это означает, что число $2\frac{1}{7}$ нужно умножить само на себя $4$ раза.

$(2\frac{1}{7})^4 = 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7}$

Ответ: $2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{7}$.

3) $(c + d)^3$

Основанием степени является выражение $(c + d)$, а показатель степени равен $3$. Это означает, что выражение $(c + d)$ нужно умножить само на себя $3$ раза.

$(c + d)^3 = (c + d)(c + d)(c + d)$

Ответ: $(c + d)(c + d)(c + d)$.

4) $(a - b)^2$

Основанием степени является выражение $(a - b)$, а показатель степени равен $2$. Это означает, что выражение $(a - b)$ нужно умножить само на себя $2$ раза.

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

Ответ: $(a - b)(a - b)$.

232. Чему равно значение выражения:

1) $0,6^2$;

2) $0^6$;

3) $(-9)^2$;

4) $1^{12}$;

5) $(-1)^{12}$;

6) $(\frac{2}{3})^2$?

1) Чтобы найти значение выражения $0,6^2$, нужно возвести число 0,6 во вторую степень, то есть умножить его само на себя.

$0,6^2 = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$

Ответ: 0,36

2) Чтобы найти значение выражения $0^6$, нужно возвести ноль в шестую степень. Любая натуральная степень нуля (кроме нулевой) равна нулю.

$0^6 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

3) Чтобы найти значение выражения $(-9)^2$, нужно возвести число -9 во вторую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае степень равна 2) результат будет положительным.

$(-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81$

Ответ: 81

4) Чтобы найти значение выражения $1^{12}$, нужно возвести единицу в двенадцатую степень. Единица в любой степени всегда равна единице.

$1^{12} = 1$

Ответ: 1

5) Чтобы найти значение выражения $(-1)^{12}$, нужно возвести число -1 в двенадцатую степень. Поскольку степень 12 является четным числом, результат будет положительным.

$(-1)^{12} = 1$

Ответ: 1

6) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3})^2$, нужно возвести дробь $\frac{2}{3}$ во вторую степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

233. Найдите значение выражения:

1) $8^3$

2) $1,5^2$

3) $(-1,9)^2$

4) $(\frac{1}{9})^3$

5) $(\frac{3}{4})^4$

6) $(-0,6)^3$

7) $(-0,01)^3$

8) $(-1 \frac{1}{3})^5$

1) Чтобы найти значение выражения $8^3$, нужно число 8 умножить само на себя 3 раза.
$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$.
Ответ: 512

2) Чтобы найти значение выражения $1,5^2$, нужно число 1,5 умножить само на себя.
$1,5^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$.
Ответ: 2,25

3) Чтобы найти значение выражения $(-1,9)^2$, нужно число -1,9 умножить само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в степень 2) результат будет положительным.
$(-1,9)^2 = (-1,9) \cdot (-1,9) = 1,9 \cdot 1,9 = 3,61$.
Ответ: 3,61

4) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{9})^3$, нужно дробь $\frac{1}{9}$ умножить саму на себя 3 раза. Для этого возводим в степень и числитель, и знаменатель дроби.
$(\frac{1}{9})^3 = \frac{1^3}{9^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{1}{729}$.
Ответ: $\frac{1}{729}$

5) Чтобы найти значение выражения $(\frac{3}{4})^4$, нужно возвести в 4-ю степень и числитель, и знаменатель дроби.
$(\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{81}{256}$.
Ответ: $\frac{81}{256}$

6) Чтобы найти значение выражения $(-0,6)^3$, нужно число -0,6 умножить само на себя 3 раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в степень 3) результат будет отрицательным.
$(-0,6)^3 = (-0,6) \cdot (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \cdot (-0,6) = -0,216$.
Ответ: -0,216

7) Чтобы найти значение выражения $(-0,01)^3$, нужно число -0,01 умножить само на себя 3 раза. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным.
$(-0,01)^3 = (-0,01) \cdot (-0,01) \cdot (-0,01) = 0,0001 \cdot (-0,01) = -0,000001$.
Ответ: -0,000001

8) Чтобы найти значение выражения $(-1\frac{1}{3})^5$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Теперь возведем полученную дробь в 5-ю степень. Так как основание отрицательное, а степень нечетная, результат будет отрицательным.
$(-\frac{4}{3})^5 = -(\frac{4^5}{3^5}) = -\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = -\frac{1024}{243}$.
Для удобства можно преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число: $1024 \div 243 = 4$ и в остатке $1024 - 4 \cdot 243 = 1024 - 972 = 52$.
Таким образом, получаем $-4\frac{52}{243}$.
Ответ: $-4\frac{52}{243}$

234. Выполните возведение в степень:

1) $7^2$

2) $0,5^3$

3) $1,2^2$

4) $(-1)^7$

5) $(-0,8)^3$

6) $(\frac{1}{6})^4$

1) Возведение в степень 2 (в квадрат) означает умножение числа на само себя. Таким образом, чтобы найти $7^2$, нужно 7 умножить на 7.

$7^2 = 7 \times 7 = 49$

Ответ: 49

2) Возведение в степень 3 (в куб) означает умножение числа на само себя три раза. Для $0,5^3$ мы умножаем 0,5 на 0,5, а затем результат еще раз на 0,5.

$0,5^3 = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,25 \times 0,5 = 0,125$

Ответ: 0,125

3) Для возведения десятичной дроби 1,2 в квадрат, мы умножаем это число на само себя.

$1,2^2 = 1,2 \times 1,2 = 1,44$

Ответ: 1,44

4) Необходимо возвести отрицательное число -1 в степень 7. Общее правило гласит: если основание степени отрицательное, а показатель степени — нечетное число, то результат будет отрицательным. Единица, возведенная в любую степень, равна единице.

$(-1)^7 = -1$

Ответ: -1

5) Возводим отрицательное число -0,8 в третью степень. Так как основание отрицательное, а показатель степени (3) — нечетный, результат будет со знаком минус. Сначала вычислим $0,8^3$.

$(-0,8)^3 = -(0,8 \times 0,8 \times 0,8) = -(0,64 \times 0,8) = -0,512$

Ответ: -0,512

6) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби.

$(\frac{1}{6})^4 = \frac{1^4}{6^4} = \frac{1}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{1}{1296}$

Ответ: $\frac{1}{1296}$