Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Какие выражения называют тождественно равными?

Два выражения называют тождественно равными (или просто тождественными), если их значения совпадают при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Допустимыми называют те значения переменных, при которых оба выражения имеют смысл (например, не происходит деления на ноль).

Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Процесс замены одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием.

Пример 1:
Выражения $3(a+b)$ и $3a+3b$ являются тождественно равными, так как на основе распределительного закона умножения их значения будут равны при любых значениях переменных $a$ и $b$. Равенство $3(a+b) = 3a+3b$ — это тождество.

Пример 2:
Формулы сокращенного умножения являются классическими примерами тождеств. Например, выражения $(x-y)^2$ и $x^2-2xy+y^2$ тождественно равны, так как равенство $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ выполняется для любых значений $x$ и $y$.

Пример 3 (с учетом области допустимых значений):
Рассмотрим выражения $\frac{c^2}{c}$ и $c$. Если сократить дробь в первом выражении, получится $c$. Однако эти выражения не являются тождественно равными на множестве всех чисел, потому что для первого выражения значение $c=0$ является недопустимым (деление на ноль), в то время как второе выражение при $c=0$ равно нулю. Таким образом, эти выражения тождественно равны только при всех $c \ne 0$.

Контрпример:
Выражения $x^2$ и $4$ не являются тождественно равными, так как их значения совпадают только при $x=2$ и $x=-2$, а не при всех допустимых значениях переменной $x$.

Ответ: Тождественно равными называют два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных, входящих в эти выражения.

2. Что называют тождеством?

В математике тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Это означает, что какую бы допустимую числовую или иную величину мы ни подставили вместо переменной (или переменных), мы всегда получим верное числовое равенство.

Ключевое отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, справедливо лишь для определённых значений переменных (называемых корнями или решениями), в то время как тождество справедливо для всей области допустимых значений переменных.

Левая и правая части тождества представляют собой, по сути, одно и то же математическое выражение, но записанное в разной форме. Процесс доказательства тождества часто сводится к тому, чтобы с помощью тождественных преобразований (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) привести одну часть равенства к виду другой части.

Примеры тождеств:

Алгебраические тождества (формулы сокращённого умножения):
Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство будет верным для любых числовых значений $a$ и $b$.

Тригонометрические тождества:
Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Это равенство верно для любого угла $\alpha$.

Тождества с учётом области допустимых значений (ОДЗ):
Равенство $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ является тождеством для всех значений $x$, кроме $x = 2$. При $x = 2$ знаменатель левой части обращается в ноль, и выражение теряет смысл. Таким образом, это равенство является тождеством на своей области допустимых значений, то есть для всех $x \ne 2$.

Ответ: Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.