Номер 1, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 1, страница 40.

Условие.

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Какие выражения называют тождественно равными?

Два выражения называют тождественно равными (или просто тождественными), если их значения совпадают при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Допустимыми называют те значения переменных, при которых оба выражения имеют смысл (например, не происходит деления на ноль).

Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Процесс замены одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием.

Пример 1:
Выражения $3(a+b)$ и $3a+3b$ являются тождественно равными, так как на основе распределительного закона умножения их значения будут равны при любых значениях переменных $a$ и $b$. Равенство $3(a+b) = 3a+3b$ — это тождество.

Пример 2:
Формулы сокращенного умножения являются классическими примерами тождеств. Например, выражения $(x-y)^2$ и $x^2-2xy+y^2$ тождественно равны, так как равенство $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ выполняется для любых значений $x$ и $y$.

Пример 3 (с учетом области допустимых значений):
Рассмотрим выражения $\frac{c^2}{c}$ и $c$. Если сократить дробь в первом выражении, получится $c$. Однако эти выражения не являются тождественно равными на множестве всех чисел, потому что для первого выражения значение $c=0$ является недопустимым (деление на ноль), в то время как второе выражение при $c=0$ равно нулю. Таким образом, эти выражения тождественно равны только при всех $c \ne 0$.

Контрпример:
Выражения $x^2$ и $4$ не являются тождественно равными, так как их значения совпадают только при $x=2$ и $x=-2$, а не при всех допустимых значениях переменной $x$.

Ответ: Тождественно равными называют два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных, входящих в эти выражения.