Номер 207, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 207, страница 41.

Условие.

207. Является ли тождеством равенство:

1) $2x - 12 = 2(x - 6);$

2) $a - b = -(b - a);$

3) $3m + 9 = 3(m + 9);$

4) $(a + b) \cdot 1 = a + b;$

5) $(a + b) \cdot 0 = a + b;$

6) $(a - a)(b + b) = 0;$

7) $3a - a = 3;$

8) $4x + 3x = 7x;$

9) $a - (b + c) = a - b + c;$

10) $m + (n - k) = m + n - k;$

11) $4a - (3a - 5) = a + 5;$

12) $(a - 5)(a + 3) = (5 - a)(3 + a)?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы проверить, является ли равенство $2x - 12 = 2(x - 6)$ тождеством, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки: $2(x - 6) = 2 \cdot x - 2 \cdot 6 = 2x - 12$. После преобразования левая и правая части равенства ($2x - 12 = 2x - 12$) совпали. Следовательно, равенство верно при любом значении переменной $x$. Ответ: Да, является тождеством.

2) Преобразуем правую часть равенства $a - b = -(b - a)$. Раскроем скобки: $-(b - a) = -b + a = a - b$. Левая и правая части равенства ($a - b = a - b$) совпали, значит, равенство верно при любых значениях переменных $a$ и $b$. Ответ: Да, является тождеством.

3) Преобразуем правую часть равенства $3m + 9 = 3(m + 9)$, раскрыв скобки: $3(m + 9) = 3 \cdot m + 3 \cdot 9 = 3m + 27$. Получаем равенство $3m + 9 = 3m + 27$. Если вычесть из обеих частей $3m$, получится неверное числовое равенство $9 = 27$. Исходное равенство неверно при любом значении $m$. Ответ: Нет, не является тождеством.

4) В левой части равенства $(a + b) \cdot 1 = a + b$ применяется свойство умножения на единицу: любое выражение, умноженное на 1, равно самому себе. Таким образом, $(a + b) \cdot 1 = a + b$. Левая и правая части тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

5) В левой части равенства $(a + b) \cdot 0 = a + b$ применяется свойство умножения на ноль: любое выражение, умноженное на 0, равно 0. Таким образом, левая часть равна 0, а правая $a+b$. Равенство $0 = a+b$ выполняется не при любых значениях переменных (например, при $a=1, b=1$ оно неверно: $0 \neq 2$). Ответ: Нет, не является тождеством.

6) Упростим левую часть равенства $(a - a)(b + b) = 0$. Выражение в первых скобках равно нулю: $a - a = 0$. При умножении на ноль всё выражение обращается в ноль: $0 \cdot (b + b) = 0$. Получаем верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от значений переменных $a$ и $b$. Ответ: Да, является тождеством.

7) Упростим левую часть равенства $3a - a = 3$. Приведем подобные слагаемые: $3a - a = 2a$. Получаем уравнение $2a = 3$, которое верно только при $a = 1.5$, а не при любом значении переменной. Ответ: Нет, не является тождеством.

8) Упростим левую часть равенства $4x + 3x = 7x$. Приведем подобные слагаемые, используя распределительное свойство: $4x + 3x = (4+3)x = 7x$. Левая и правая части ($7x = 7x$) оказались тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

9) Преобразуем левую часть равенства $a - (b + c) = a - b + c$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус (знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные): $a - (b + c) = a - b - c$. Сравнивая полученное выражение с правой частью, видим, что $a - b - c = a - b + c$ не является тождеством, так как это равенство верно только при $c=0$. Ответ: Нет, не является тождеством.

10) Преобразуем левую часть равенства $m + (n - k) = m + n - k$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак плюс (знаки слагаемых в скобках сохраняются): $m + (n - k) = m + n - k$. Левая и правая части ($m + n - k = m + n - k$) совпали. Ответ: Да, является тождеством.

11) Упростим левую часть равенства $4a - (3a - 5) = a + 5$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус: $4a - 3a + 5$. Приведем подобные слагаемые: $(4-3)a + 5 = a + 5$. Левая и правая части ($a + 5 = a + 5$) тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

12) Рассмотрим равенство $(a - 5)(a + 3) = (5 - a)(3 + a)$. Преобразуем множитель $(5 - a)$ в правой части: $5 - a = -1 \cdot (-5 + a) = -(a - 5)$. Тогда правая часть примет вид: $-(a - 5)(a + 3)$. Равенство превращается в $(a - 5)(a + 3) = -(a - 5)(a + 3)$. Это равенство верно только в том случае, когда $(a - 5)(a + 3) = 0$, то есть при $a=5$ или $a=-3$. Оно не выполняется для всех остальных значений $a$. Ответ: Нет, не является тождеством.