Номер 2, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 2, страница 40.

Условие.

2. Что называют тождеством?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

2. Что называют тождеством?

В математике тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Это означает, что какую бы допустимую числовую или иную величину мы ни подставили вместо переменной (или переменных), мы всегда получим верное числовое равенство.

Ключевое отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, справедливо лишь для определённых значений переменных (называемых корнями или решениями), в то время как тождество справедливо для всей области допустимых значений переменных.

Левая и правая части тождества представляют собой, по сути, одно и то же математическое выражение, но записанное в разной форме. Процесс доказательства тождества часто сводится к тому, чтобы с помощью тождественных преобразований (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) привести одну часть равенства к виду другой части.

Примеры тождеств:

Алгебраические тождества (формулы сокращённого умножения):
Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство будет верным для любых числовых значений $a$ и $b$.

Тригонометрические тождества:
Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Это равенство верно для любого угла $\alpha$.

Тождества с учётом области допустимых значений (ОДЗ):
Равенство $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ является тождеством для всех значений $x$, кроме $x = 2$. При $x = 2$ знаменатель левой части обращается в ноль, и выражение теряет смысл. Таким образом, это равенство является тождеством на своей области допустимых значений, то есть для всех $x \ne 2$.

Ответ: Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.