Номер 5, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 5, страница 41.

Условие.

5. Какие приёмы используют для доказательства тождеств?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства тождеств, то есть равенств, верных при всех допустимых значениях входящих в них переменных, используют несколько основных приёмов, основанных на тождественных преобразованиях выражений. Рассмотрим наиболее распространённые из них.

1. Преобразование левой части тождества

Этот приём заключается в том, что с помощью алгебраических или тригонометрических преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, основных тригонометрических тождеств и т.д.) преобразуют левую часть равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части. Правая часть при этом остаётся без изменений.

Пример. Доказать тождество $(x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2$.

Доказательство. Преобразуем левую часть выражения. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x+y)^2 - 4xy = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = x^2 + 2xy - 4xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Теперь используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Полученное выражение $x^2 - 2xy + y^2$ в точности равно $(x-y)^2$, то есть правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Выполнение тождественных преобразований левой части равенства с целью приведения её к виду правой части.

2. Преобразование правой части тождества

Этот приём аналогичен предыдущему, но преобразованиям подвергается правая часть тождества, пока она не примет вид левой части. Левая часть при этом не изменяется.

Пример. Доказать тождество $c^2-d^2 = (c-d)(c+d)$.

Доказательство. Преобразуем правую часть выражения. Раскроем скобки:

$(c-d)(c+d) = c \cdot c + c \cdot d - d \cdot c - d \cdot d = c^2 + cd - cd - d^2 = c^2 - d^2$.

Полученное выражение $c^2-d^2$ совпадает с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: Выполнение тождественных преобразований правой части равенства с целью приведения её к виду левой части.

3. Одновременное преобразование обеих частей тождества

В этом случае обе части равенства, левую и правую, преобразуют (упрощают) по отдельности. Если в результате этих преобразований они приводятся к одному и тому же выражению, то исходное равенство является тождеством. Этот метод также называют методом "встречных" преобразований, он особенно удобен, когда обе части тождества представляют собой сложные выражения.

Пример. Доказать тождество $\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$.

Доказательство. Преобразуем отдельно левую и правую части, приводя их к более простому виду.

Преобразование левой части:$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Преобразование правой части:$\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Обе части равенства приведены к одному и тому же выражению $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$. Следовательно, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Независимое преобразование левой и правой частей равенства до тех пор, пока они не будут сведены к одинаковому выражению.

4. Метод разности

Этот приём состоит в том, что составляют разность левой и правой частей тождества и доказывают, что эта разность тождественно равна нулю. Если $A-B=0$, то отсюда следует, что $A=B$.

Пример. Доказать тождество $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$.

Доказательство. Составим разность левой и правой частей:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) - (\frac{a^2+b^2}{ab})$.

Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю $ab$:

$(\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b}) - \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{a^2+b^2}{ab} - \frac{a^2+b^2}{ab} = 0$.

Поскольку разность левой и правой частей равна нулю, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Доказательство того, что разность левой и правой частей равенства тождественно равна нулю.

5. Метод математической индукции

Этот метод применяется для доказательства тождеств, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство состоит из двух этапов:

1. База индукции: Проверяется справедливость тождества для наименьшего возможного натурального значения $n$ (обычно $n=1$).

2. Индукционный шаг: Делается предположение (индуктивная гипотеза), что тождество верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$. Затем, используя это предположение, доказывается, что тождество верно и для следующего числа $n=k+1$.

Пример. Доказать, что для любого натурального $n$ верно равенство $1+3+5+...+(2n-1) = n^2$.

Доказательство.

База индукции: При $n=1$ левая часть равна $1$, правая часть равна $1^2=1$. $1=1$, равенство верно.

Индукционный шаг: Предположим, что равенство верно для $n=k$, то есть $1+3+5+...+(2k-1) = k^2$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$, то есть $1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = (k+1)^2$.

Преобразуем левую часть равенства для $n=k+1$:

$\underbrace{1+3+5+...+(2k-1)}_{k^2 \text{ по предположению}} + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+2-1) = k^2+2k+1$.

Полученное выражение $k^2+2k+1$ является полным квадратом и равно $(k+1)^2$, что совпадает с правой частью доказываемого равенства. Таким образом, тождество доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Применение принципа математической индукции для тождеств, зависящих от натурального аргумента.