Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что называют тождественным преобразованием выражения?

Тождественным преобразованием выражения называют замену одного выражения другим, которое тождественно равно ему.

Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного и преобразованного выражений должна совпадать.

Основная цель тождественных преобразований — упрощение выражения, приведение его к виду, более удобному для анализа, вычислений, решения уравнений и неравенств.

Примеры основных тождественных преобразований:

Приведение подобных слагаемых. Это сложение или вычитание одночленов с одинаковой буквенной частью.
Пример: $7a + 2b - 3a + b = (7a - 3a) + (2b + b) = 4a + 3b$.

Раскрытие скобок. Применение распределительного закона умножения.
Пример: $5(x - 2y) = 5x - 10y$.

Разложение на множители. Представление выражения в виде произведения.
Пример: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$ (использование формулы разности квадратов).

Действия с дробями. Сокращение, сложение, вычитание дробей.
Пример: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ (преобразование верно при $x \neq 1$).

Любое равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Сам процесс замены одной части тождества на другую и является тождественным преобразованием.

Ответ: Тождественным преобразованием выражения называется его замена другим выражением, тождественно равным ему, то есть принимающим те же значения при всех допустимых значениях переменных.

4. Какие тождественные преобразования выражений вы знаете?

Тождественное преобразование выражения — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему. То есть таким, которое имеет то же самое значение при любых допустимых значениях переменных. В основе всех тождественных преобразований лежат основные свойства действий над числами и выражениями.

Основные свойства действий (законы арифметики)

Эти свойства являются фундаментом для всех остальных преобразований:

• Переместительный (коммутативный) закон: $a+b=b+a$; $a \cdot b = b \cdot a$.

• Сочетательный (ассоциативный) закон: $(a+b)+c=a+(b+c)$; $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

• Распределительный (дистрибутивный) закон: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: Основные законы арифметики (переместительный, сочетательный, распределительный) позволяют менять порядок слагаемых/множителей и раскрывать скобки, являясь основой для более сложных преобразований.

Раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки

Эти преобразования напрямую следуют из распределительного свойства умножения.

• Раскрытие скобок — это замена выражения, содержащего скобки, на равное ему выражение без скобок. Например, $5(x+2y) = 5x+10y$. Если перед скобкой стоит знак "минус", то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $-(a-b+c) = -a+b-c$.

• Вынесение общего множителя за скобки — это обратное действие, представление выражения в виде произведения (факторизация). Например, в выражении $12a^2b - 8ab^2$ общим множителем является $4ab$. Выносим его: $12a^2b - 8ab^2 = 4ab(3a - 2b)$.

Ответ: Раскрытие скобок и вынесение общего множителя — это взаимно обратные преобразования, основанные на распределительном законе умножения.

Приведение подобных слагаемых

Подобными слагаемыми (или членами) называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Это преобразование также следует из распределительного закона: $ax + bx = (a+b)x$.
Например, в выражении $7xy - 3y^2 + 2xy + 5y^2$ подобными являются $7xy$ и $2xy$, а также $-3y^2$ и $5y^2$.
Приводим их: $(7+2)xy + (-3+5)y^2 = 9xy + 2y^2$.

Ответ: Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения путем сложения или вычитания слагаемых с одинаковой буквенной частью.

Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) — это готовые тождества, которые позволяют упрощать преобразование многочленов. Основные из них:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

• Разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

• Сумма кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

• Разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Эти формулы используются как для раскрытия скобок (слева направо), так и для разложения на множители (справа налево). Например, разложить на множители $9x^2 - 16y^2$ можно по формуле разности квадратов: $9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x-4y)(3x+4y)$.

Ответ: Формулы сокращенного умножения — это тождества для быстрого возведения в степень сумм и разностей, а также для разложения многочленов на множители.

Преобразования алгебраических дробей

К тождественным преобразованиям дробных выражений относятся:

• Сокращение дробей. Основано на основном свойстве дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение. $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$, где $B \neq 0$ и $C \neq 0$.
  Пример: $\frac{x^2-4}{x^2+2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}$ при $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

• Приведение дробей к общему знаменателю. Это преобразование, обратное сокращению, необходимое для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Например, для дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ общим знаменателем будет $ab$. Тогда $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b+a}{ab}$.

• Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Эти операции выполняются по правилам, аналогичным правилам для числовых дробей.
  Сложение/вычитание: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$.
  Умножение: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.
  Деление: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$.

Ответ: Преобразования алгебраических дробей (сокращение, приведение к общему знаменателю, арифметические действия) выполняются по тем же правилам, что и для обыкновенных числовых дробей.

Методы разложения на множители

Помимо вынесения общего множителя и использования ФСУ, существуют и другие методы:

• Группировка слагаемых. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения. Например: $ax+ay+bx+by = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

• Выделение полного квадрата. Преобразование квадратного трехчлена к виду $a(x-m)^2+n$. Это полезно для решения уравнений и разложения на множители. Например: $x^2+6x+5 = (x^2+6x+9)-9+5 = (x+3)^2-4$. Далее можно применить формулу разности квадратов: $((x+3)-2)((x+3)+2) = (x+1)(x+5)$.

Ответ: Группировка и выделение полного квадрата являются мощными методами разложения многочленов на множители, которые применяются, когда другие способы не работают.

5. Какие приёмы используют для доказательства тождеств?

Для доказательства тождеств, то есть равенств, верных при всех допустимых значениях входящих в них переменных, используют несколько основных приёмов, основанных на тождественных преобразованиях выражений. Рассмотрим наиболее распространённые из них.

1. Преобразование левой части тождества

Этот приём заключается в том, что с помощью алгебраических или тригонометрических преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, основных тригонометрических тождеств и т.д.) преобразуют левую часть равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части. Правая часть при этом остаётся без изменений.

Пример. Доказать тождество $(x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2$.

Доказательство. Преобразуем левую часть выражения. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x+y)^2 - 4xy = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = x^2 + 2xy - 4xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Теперь используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Полученное выражение $x^2 - 2xy + y^2$ в точности равно $(x-y)^2$, то есть правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Выполнение тождественных преобразований левой части равенства с целью приведения её к виду правой части.

2. Преобразование правой части тождества

Этот приём аналогичен предыдущему, но преобразованиям подвергается правая часть тождества, пока она не примет вид левой части. Левая часть при этом не изменяется.

Пример. Доказать тождество $c^2-d^2 = (c-d)(c+d)$.

Доказательство. Преобразуем правую часть выражения. Раскроем скобки:

$(c-d)(c+d) = c \cdot c + c \cdot d - d \cdot c - d \cdot d = c^2 + cd - cd - d^2 = c^2 - d^2$.

Полученное выражение $c^2-d^2$ совпадает с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: Выполнение тождественных преобразований правой части равенства с целью приведения её к виду левой части.

3. Одновременное преобразование обеих частей тождества

В этом случае обе части равенства, левую и правую, преобразуют (упрощают) по отдельности. Если в результате этих преобразований они приводятся к одному и тому же выражению, то исходное равенство является тождеством. Этот метод также называют методом "встречных" преобразований, он особенно удобен, когда обе части тождества представляют собой сложные выражения.

Пример. Доказать тождество $\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$.

Доказательство. Преобразуем отдельно левую и правую части, приводя их к более простому виду.

Преобразование левой части:$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Преобразование правой части:$\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Обе части равенства приведены к одному и тому же выражению $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$. Следовательно, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Независимое преобразование левой и правой частей равенства до тех пор, пока они не будут сведены к одинаковому выражению.

4. Метод разности

Этот приём состоит в том, что составляют разность левой и правой частей тождества и доказывают, что эта разность тождественно равна нулю. Если $A-B=0$, то отсюда следует, что $A=B$.

Пример. Доказать тождество $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$.

Доказательство. Составим разность левой и правой частей:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) - (\frac{a^2+b^2}{ab})$.

Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю $ab$:

$(\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b}) - \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{a^2+b^2}{ab} - \frac{a^2+b^2}{ab} = 0$.

Поскольку разность левой и правой частей равна нулю, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Доказательство того, что разность левой и правой частей равенства тождественно равна нулю.

5. Метод математической индукции

Этот метод применяется для доказательства тождеств, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство состоит из двух этапов:

1. База индукции: Проверяется справедливость тождества для наименьшего возможного натурального значения $n$ (обычно $n=1$).

2. Индукционный шаг: Делается предположение (индуктивная гипотеза), что тождество верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$. Затем, используя это предположение, доказывается, что тождество верно и для следующего числа $n=k+1$.

Пример. Доказать, что для любого натурального $n$ верно равенство $1+3+5+...+(2n-1) = n^2$.

Доказательство.

База индукции: При $n=1$ левая часть равна $1$, правая часть равна $1^2=1$. $1=1$, равенство верно.

Индукционный шаг: Предположим, что равенство верно для $n=k$, то есть $1+3+5+...+(2k-1) = k^2$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$, то есть $1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = (k+1)^2$.

Преобразуем левую часть равенства для $n=k+1$:

$\underbrace{1+3+5+...+(2k-1)}_{k^2 \text{ по предположению}} + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+2-1) = k^2+2k+1$.

Полученное выражение $k^2+2k+1$ является полным квадратом и равно $(k+1)^2$, что совпадает с правой частью доказываемого равенства. Таким образом, тождество доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Применение принципа математической индукции для тождеств, зависящих от натурального аргумента.

206. Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:

1) $ab + cd$ и $cd + ab$;

2) $(a + 1) + b$ и $a + (1 + b)$;

3) $a \cdot 4b$ и $4ab$;

4) $(x + 2)(x + 3)$ и $(3 + x)(2 + x)$;

5) $7(a - 4)$ и $7a - 28$?

1) $ab + cd$ и $cd + ab$

Данные выражения являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В общем виде оно записывается как $x + y = y + x$. В данном случае в качестве слагаемых выступают произведения $ab$ и $cd$.

Ответ: переместительное свойство сложения.

2) $(a + 1) + b$ и $a + (1 + b)$

Тождественное равенство этих выражений следует из сочетательного свойства сложения. Это свойство позволяет группировать слагаемые в произвольном порядке, не изменяя их сумму. В общем виде оно выглядит так: $(x + y) + z = x + (y + z)$. В этом примере $x = a$, $y = 1$ и $z = b$.

Ответ: сочетательное свойство сложения.

3) $a \cdot 4b$ и $4ab$

Равенство этих выражений обеспечивается двумя свойствами умножения: сочетательным и переместительным. Сначала, используя сочетательное свойство умножения ($(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), мы можем изменить группировку множителей: $a \cdot 4b = a \cdot (4 \cdot b) = (a \cdot 4) \cdot b$. Затем, используя переместительное свойство умножения ($x \cdot y = y \cdot x$), мы можем поменять множители $a$ и $4$ местами: $(a \cdot 4) \cdot b = (4 \cdot a) \cdot b$. Выражение $(4 \cdot a) \cdot b$ по определению записывается как $4ab$.

Ответ: сочетательное и переместительное свойства умножения.

4) $(x + 2)(x + 3)$ и $(3 + x)(2 + x)$

Здесь используется переместительное свойство как для сложения, так и для умножения. Во-первых, на основании переместительного свойства умножения, мы можем поменять местами множители (выражения в скобках): $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$. Во-вторых, на основании переместительного свойства сложения, мы можем поменять слагаемые местами внутри каждой скобки: $x + 3 = 3 + x$ и $x + 2 = 2 + x$. Совместив эти преобразования, получаем тождество: $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2) = (3 + x)(2 + x)$.

Ответ: переместительное свойство сложения и переместительное свойство умножения.

5) $7(a - 4)$ и $7a - 28$

Равенство этих выражений является следствием распределительного свойства умножения относительно вычитания. Это свойство позволяет раскрыть скобки, умножив число перед скобками на каждый член внутри скобок. В общем виде: $x(y - z) = xy - xz$. Применяя это свойство, получаем: $7(a - 4) = 7 \cdot a - 7 \cdot 4 = 7a - 28$.

Ответ: распределительное свойство умножения относительно вычитания.

207. Является ли тождеством равенство:

1) $2x - 12 = 2(x - 6);$

2) $a - b = -(b - a);$

3) $3m + 9 = 3(m + 9);$

4) $(a + b) \cdot 1 = a + b;$

5) $(a + b) \cdot 0 = a + b;$

6) $(a - a)(b + b) = 0;$

7) $3a - a = 3;$

8) $4x + 3x = 7x;$

9) $a - (b + c) = a - b + c;$

10) $m + (n - k) = m + n - k;$

11) $4a - (3a - 5) = a + 5;$

12) $(a - 5)(a + 3) = (5 - a)(3 + a)?$

1) Чтобы проверить, является ли равенство $2x - 12 = 2(x - 6)$ тождеством, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки: $2(x - 6) = 2 \cdot x - 2 \cdot 6 = 2x - 12$. После преобразования левая и правая части равенства ($2x - 12 = 2x - 12$) совпали. Следовательно, равенство верно при любом значении переменной $x$. Ответ: Да, является тождеством.

2) Преобразуем правую часть равенства $a - b = -(b - a)$. Раскроем скобки: $-(b - a) = -b + a = a - b$. Левая и правая части равенства ($a - b = a - b$) совпали, значит, равенство верно при любых значениях переменных $a$ и $b$. Ответ: Да, является тождеством.

3) Преобразуем правую часть равенства $3m + 9 = 3(m + 9)$, раскрыв скобки: $3(m + 9) = 3 \cdot m + 3 \cdot 9 = 3m + 27$. Получаем равенство $3m + 9 = 3m + 27$. Если вычесть из обеих частей $3m$, получится неверное числовое равенство $9 = 27$. Исходное равенство неверно при любом значении $m$. Ответ: Нет, не является тождеством.

4) В левой части равенства $(a + b) \cdot 1 = a + b$ применяется свойство умножения на единицу: любое выражение, умноженное на 1, равно самому себе. Таким образом, $(a + b) \cdot 1 = a + b$. Левая и правая части тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

5) В левой части равенства $(a + b) \cdot 0 = a + b$ применяется свойство умножения на ноль: любое выражение, умноженное на 0, равно 0. Таким образом, левая часть равна 0, а правая $a+b$. Равенство $0 = a+b$ выполняется не при любых значениях переменных (например, при $a=1, b=1$ оно неверно: $0 \neq 2$). Ответ: Нет, не является тождеством.

6) Упростим левую часть равенства $(a - a)(b + b) = 0$. Выражение в первых скобках равно нулю: $a - a = 0$. При умножении на ноль всё выражение обращается в ноль: $0 \cdot (b + b) = 0$. Получаем верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от значений переменных $a$ и $b$. Ответ: Да, является тождеством.

7) Упростим левую часть равенства $3a - a = 3$. Приведем подобные слагаемые: $3a - a = 2a$. Получаем уравнение $2a = 3$, которое верно только при $a = 1.5$, а не при любом значении переменной. Ответ: Нет, не является тождеством.

8) Упростим левую часть равенства $4x + 3x = 7x$. Приведем подобные слагаемые, используя распределительное свойство: $4x + 3x = (4+3)x = 7x$. Левая и правая части ($7x = 7x$) оказались тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

9) Преобразуем левую часть равенства $a - (b + c) = a - b + c$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус (знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные): $a - (b + c) = a - b - c$. Сравнивая полученное выражение с правой частью, видим, что $a - b - c = a - b + c$ не является тождеством, так как это равенство верно только при $c=0$. Ответ: Нет, не является тождеством.

10) Преобразуем левую часть равенства $m + (n - k) = m + n - k$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак плюс (знаки слагаемых в скобках сохраняются): $m + (n - k) = m + n - k$. Левая и правая части ($m + n - k = m + n - k$) совпали. Ответ: Да, является тождеством.

11) Упростим левую часть равенства $4a - (3a - 5) = a + 5$. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус: $4a - 3a + 5$. Приведем подобные слагаемые: $(4-3)a + 5 = a + 5$. Левая и правая части ($a + 5 = a + 5$) тождественно равны. Ответ: Да, является тождеством.

12) Рассмотрим равенство $(a - 5)(a + 3) = (5 - a)(3 + a)$. Преобразуем множитель $(5 - a)$ в правой части: $5 - a = -1 \cdot (-5 + a) = -(a - 5)$. Тогда правая часть примет вид: $-(a - 5)(a + 3)$. Равенство превращается в $(a - 5)(a + 3) = -(a - 5)(a + 3)$. Это равенство верно только в том случае, когда $(a - 5)(a + 3) = 0$, то есть при $a=5$ или $a=-3$. Оно не выполняется для всех остальных значений $a$. Ответ: Нет, не является тождеством.

208. Являются ли тождественно равными выражения:

1) $8(a - b + c)$ и $8a - 8b + 8c;$

2) $-2(x - 4)$ и $-2x - 8;$

3) $(5a - 4) - (2a - 7)$ и $3a - 11?$

1) Чтобы проверить, являются ли выражения тождественно равными, необходимо преобразовать одно из них и сравнить с другим. Раскроем скобки в первом выражении $8(a - b + c)$, используя распределительный закон умножения:
$8(a - b + c) = 8 \cdot a - 8 \cdot b + 8 \cdot c = 8a - 8b + 8c$.
Полученное выражение $8a - 8b + 8c$ полностью совпадает со вторым выражением. Следовательно, данные выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

2) Преобразуем первое выражение $-2(x - 4)$, раскрыв скобки:
$-2(x - 4) = -2 \cdot x - (-2) \cdot 4 = -2x + 8$.
Теперь сравним полученное выражение $-2x + 8$ со вторым выражением $-2x - 8$. Так как свободные члены $8$ и $-8$ не равны ($8 \neq -8$), то и сами выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

3) Упростим первое выражение $(5a - 4) - (2a - 7)$. Для этого раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:
$(5a - 4) - (2a - 7) = 5a - 4 - 2a + 7$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5a - 2a) + (-4 + 7) = 3a + 3$.
Сравним полученное выражение $3a + 3$ со вторым выражением $3a - 11$. Так как свободные члены $3$ и $-11$ не равны ($3 \neq -11$), то и сами выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

209. Сравните значения выражений $a^2$ и $|a|$ при $a = -1; 0; 1$. Можно ли утверждать, что равенство $a^2 = |a|$ является тождеством?

Сравните значения выражений a² и |a| при a = -1; 0; 1

Для того чтобы сравнить значения выражений, необходимо подставить указанные значения переменной a в каждое из них и вычислить результат.

1. При $a = -1$:

Вычисляем значение $a^2$: $a^2 = (-1)^2 = 1$.

Вычисляем значение $|a|$: $|a| = |-1| = 1$.

Сравниваем результаты: $1 = 1$. Значения выражений равны.

2. При $a = 0$:

Вычисляем значение $a^2$: $a^2 = 0^2 = 0$.

Вычисляем значение $|a|$: $|a| = |0| = 0$.

Сравниваем результаты: $0 = 0$. Значения выражений равны.

3. При $a = 1$:

Вычисляем значение $a^2$: $a^2 = 1^2 = 1$.

Вычисляем значение $|a|$: $|a| = |1| = 1$.

Сравниваем результаты: $1 = 1$. Значения выражений равны.

Ответ: При $a = -1$, $a = 0$ и $a = 1$ значения выражений $a^2$ и $|a|$ равны.

Можно ли утверждать, что равенство a² = |a| является тождеством?

Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Мы уже установили, что равенство $a^2 = |a|$ выполняется для значений $a = -1, 0, 1$.

Чтобы проверить, является ли это равенство тождеством, нужно проверить, выполняется ли оно для других значений a. Возьмем для примера любое другое число, например, $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в левую и правую части равенства:

Левая часть: $a^2 = 2^2 = 4$.

Правая часть: $|a| = |2| = 2$.

Сравниваем полученные значения: $4 \neq 2$.

Поскольку мы нашли значение переменной ($a=2$), при котором равенство не выполняется, мы можем заключить, что данное равенство не является тождеством.

Ответ: Нет, утверждать, что равенство $a^2 = |a|$ является тождеством, нельзя, так как оно выполняется не для всех значений a.

210. Какому из данных выражений тождественно равно выражение

$-3a + 8b - a - 11b$:

1) $-4a + 3b$;

2) $-3a + 3b$;

3) $-4a - 3b$;

4) $-3a - 3b$?

Для того чтобы найти тождественно равное выражение, необходимо упростить исходное выражение. Упрощение алгебраического выражения достигается путем приведения подобных слагаемых.

Исходное выражение: $ -3a + 8b - a - 11b $.

1. Группировка подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении подобными являются $-3a$ и $-a$, а также $8b$ и $-11b$. Сгруппируем их:

$(-3a - a) + (8b - 11b)$

2. Сложение подобных слагаемых

Теперь выполним арифметические операции с коэффициентами внутри каждой группы.

Для слагаемых с переменной $a$:

$-3a - a = (-3 - 1)a = -4a$

Для слагаемых с переменной $b$:

$8b - 11b = (8 - 11)b = -3b$

3. Запись итогового выражения

Объединим полученные результаты, чтобы получить упрощенное выражение:

$-4a - 3b$

Таким образом, выражение $-3a + 8b - a - 11b$ тождественно равно выражению $-4a - 3b$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами:

1. $-4a + 3b$
2. $-3a + 3b$
3. $-4a - 3b$
4. $-3a - 3b$

Мы видим, что наш результат совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $-4a - 3b$

211. Среди выражений $-10a + 7$; $-10a - 7$; $-14a + 7$; $-14a - 7$ найдите выражение, тождественно равное выражению $-12a + (7 - 2a)$.

Чтобы найти выражение, тождественно равное выражению $-12a + (7 - 2a)$, необходимо его упростить.

1. Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются:

$-12a + (7 - 2a) = -12a + 7 - 2a$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и выполним их сложение:

$-12a - 2a + 7 = (-12 - 2)a + 7 = -14a + 7$

3. Таким образом, исходное выражение тождественно равно $-14a + 7$.

4. Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

$-10a + 7$; $-10a - 7$; $-14a + 7$; $-14a - 7$

Выражение $-14a + 7$ совпадает с третьим вариантом.

Ответ: $-14a + 7$

212. Докажите тождество:

1) $-5x - 6(9 - 2x) = 7x - 54;$

2) $\frac{1}{3}(12 - 0,6y) + 0,3y = 0,1y + 4;$

3) $3(7 - a) - 7(1 - 3a) = 14 + 18a;$

4) $(6x - 8) - 5x - (4 - 9x) = 10x - 12;$

5) $3(2,1m - n) - 0,9(7m + 2n) = -4,8n;$

6) $\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{8}x + 6\right) - \frac{1}{6}\left(24 - 1\frac{1}{2}x\right) = 0.$

1) $-5x - 6(9 - 2x) = 7x - 54$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-5x - 6(9 - 2x) = -5x - 6 \cdot 9 - 6 \cdot (-2x) = -5x - 54 + 12x = (-5x + 12x) - 54 = 7x - 54$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой ($7x - 54 = 7x - 54$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) $\frac{1}{3}(12 - 0,6y) + 0,3y = 0,1y + 4$

Преобразуем левую часть тождества:
$\frac{1}{3}(12 - 0,6y) + 0,3y = \frac{1}{3} \cdot 12 - \frac{1}{3} \cdot 0,6y + 0,3y = 4 - 0,2y + 0,3y = 4 + 0,1y$.

Левая часть стала равна правой ($4 + 0,1y = 0,1y + 4$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) $3(7 - a) - 7(1 - 3a) = 14 + 18a$

Преобразуем левую часть тождества:
$3(7 - a) - 7(1 - 3a) = 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-a) - 7 \cdot 1 - 7 \cdot (-3a) = 21 - 3a - 7 + 21a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(21 - 7) + (-3a + 21a) = 14 + 18a$.

Левая часть стала равна правой ($14 + 18a = 14 + 18a$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) $(6x - 8) - 5x - (4 - 9x) = 10x - 12$

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки:
$(6x - 8) - 5x - (4 - 9x) = 6x - 8 - 5x - 4 + 9x$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6x - 5x + 9x) + (-8 - 4) = 10x - 12$.

Левая часть стала равна правой ($10x - 12 = 10x - 12$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5) $3(2,1m - n) - 0,9(7m + 2n) = -4,8n$

Преобразуем левую часть тождества:
$3(2,1m - n) - 0,9(7m + 2n) = 6,3m - 3n - 6,3m - 1,8n$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6,3m - 6,3m) + (-3n - 1,8n) = 0 - 4,8n = -4,8n$.

Левая часть стала равна правой ($-4,8n = -4,8n$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

6) $\frac{2}{3}(-\frac{3}{8}x + 6) - \frac{1}{6}(24 - 1\frac{1}{2}x) = 0$

Преобразуем левую часть тождества. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь раскроем скобки:
$\frac{2}{3}(-\frac{3}{8}x + 6) - \frac{1}{6}(24 - \frac{3}{2}x) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{8}x) + \frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{6} \cdot 24 - \frac{1}{6} \cdot (-\frac{3}{2}x) = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}x + \frac{2 \cdot 6}{3} - \frac{24}{6} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 2}x$.

Выполним вычисления и сократим дроби:
$-\frac{6}{24}x + \frac{12}{3} - 4 + \frac{3}{12}x = -\frac{1}{4}x + 4 - 4 + \frac{1}{4}x$.

Приведем подобные слагаемые:
$(-\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}x) + (4 - 4) = 0 + 0 = 0$.

Левая часть стала равна правой ($0 = 0$). Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.