Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

196. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между ними составляло 30 км. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

Пусть $x$ км/ч — скорость одного автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля, согласно условию, равна $(x + 10)$ км/ч. Автомобили движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $x + (x + 10) = (2x + 10)$ км/ч.

В задаче сказано, что через 2 часа расстояние между автомобилями составило 30 км. Это условие может быть выполнено в двух случаях:
1. Автомобили еще не встретились.
2. Автомобили уже встретились, проехали мимо друг друга и удалились на 30 км.
Рассмотрим оба случая как два возможных решения.

Решение для случая, когда автомобили еще не встретились

Изначальное расстояние между автомобилями было 270 км. Если они еще не встретились, и расстояние между ними стало 30 км, то вместе они проехали: $S_1 = 270 - 30 = 240$ км.

Это расстояние они проехали за 2 часа со скоростью сближения $(2x + 10)$ км/ч. Составим и решим уравнение: $(2x + 10) \times 2 = 240$
$4x + 20 = 240$
$4x = 220$
$x = \frac{220}{4}$
$x = 55$

Таким образом, скорость одного автомобиля равна 55 км/ч. Скорость второго автомобиля: $x + 10 = 55 + 10 = 65$ км/ч.

Ответ: скорости автомобилей 55 км/ч и 65 км/ч.

Решение для случая, когда автомобили встретились и разъехались

Если автомобили встретились и разъехались на 30 км, то суммарно они проехали расстояние, равное начальному расстоянию между ними плюс 30 км: $S_2 = 270 + 30 = 300$ км.

Это расстояние они также проехали за 2 часа. Составим и решим уравнение: $(2x + 10) \times 2 = 300$
$4x + 20 = 300$
$4x = 280$
$x = \frac{280}{4}$
$x = 70$

Таким образом, скорость одного автомобиля равна 70 км/ч. Скорость второго автомобиля: $x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: скорости автомобилей 70 км/ч и 80 км/ч.

197. Есть два сплава меди и цинка. Первый сплав содержит 9%, а второй – 30% цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23% цинка?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ кг – масса первого сплава (с 9% цинка), который необходимо взять.
Пусть $y$ кг – масса второго сплава (с 30% цинка), который необходимо взять.

Согласно условию, общая масса полученного сплава должна быть 300 кг. На основе этого составляем первое уравнение:
$x + y = 300$

Теперь составим уравнение на основе массы цинка в сплавах.
Масса цинка в первом сплаве составляет 9% от его массы, то есть $0.09x$ кг.
Масса цинка во втором сплаве составляет 30% от его массы, то есть $0.30y$ кг.
Итоговый сплав массой 300 кг должен содержать 23% цинка. Найдем абсолютную массу цинка в этом сплаве:
$300 \times 0.23 = 69$ кг.

Сумма масс цинка из двух исходных сплавов должна равняться массе цинка в конечном сплаве. Составляем второе уравнение:
$0.09x + 0.30y = 69$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 300 \\ 0.09x + 0.30y = 69 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 300 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$0.09(300 - y) + 0.30y = 69$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$27 - 0.09y + 0.30y = 69$
$27 + 0.21y = 69$
$0.21y = 69 - 27$
$0.21y = 42$
$y = \frac{42}{0.21}$
$y = 200$

Таким образом, масса второго сплава равна 200 кг.

Теперь найдем массу первого сплава, используя ранее полученное выражение $x = 300 - y$:
$x = 300 - 200$
$x = 100$

Следовательно, масса первого сплава равна 100 кг.

Ответ: необходимо взять 100 кг первого сплава и 200 кг второго сплава.

198. Есть два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит 25% соли, а второй – 40% соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить раствор массой 50 кг, содержащий 34% соли?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.
Пусть $x$ кг — это масса первого раствора (с концентрацией соли 25%), которую необходимо взять.
Пусть $y$ кг — это масса второго раствора (с концентрацией соли 40%), которую необходимо взять.

По условию, общая масса конечного раствора должна быть 50 кг. Следовательно, сумма масс двух исходных растворов равна 50 кг. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 50$

Теперь составим уравнение на основе массы соли.
Масса соли в первом растворе составляет 25% от его массы, то есть $0.25x$ кг.
Масса соли во втором растворе составляет 40% от его массы, то есть $0.40y$ кг.
Масса соли в конечном растворе должна составлять 34% от его общей массы (50 кг), то есть:
$50 \times 0.34 = 17$ кг.
Сумма масс соли из двух первоначальных растворов должна быть равна массе соли в итоговом растворе. Это дает нам второе уравнение:
$0.25x + 0.40y = 17$

Получаем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 0.25x + 0.40y = 17 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 50 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$0.25(50 - y) + 0.40y = 17$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$12.5 - 0.25y + 0.40y = 17$
$0.15y = 17 - 12.5$
$0.15y = 4.5$
$y = \frac{4.5}{0.15}$
$y = \frac{450}{15}$
$y = 30$

Таким образом, масса второго (40%) раствора равна 30 кг.
Теперь найдем массу первого раствора, подставив значение $y$ в выражение $x = 50 - y$:
$x = 50 - 30$
$x = 20$
Следовательно, масса первого (25%) раствора равна 20 кг.

Ответ: необходимо взять 20 кг первого раствора и 30 кг второго раствора.

199. Вычислите значение выражения:

1) $ -9,6 : 12 - 29 : (-5,8) + 4 : (-25); $

2) $ -3,4 \cdot (4 - 4,6) + 12,4 \cdot (-0,8 - 2,2); $

3) $ (0,4 - \frac{3}{20}) \cdot 6\frac{2}{3} - 1,75 : (-7\frac{7}{8}); $

4) $ (6,3 : (-\frac{9}{20}) - 2,6 : (-\frac{1}{20})) \cdot (-\frac{4}{19}) - 0,6 : (-0,36). $

1)

Вычислим значение выражения $-9,6 : 12 - 29 : (-5,8) + 4 : (-25)$ по действиям, соблюдая порядок операций (сначала деление, затем вычитание и сложение слева направо):

1. Первое деление: $-9,6 : 12 = -0,8$.

2. Второе деление: $-29 : (-5,8) = 290 : 58 = 5$.

3. Третье деление: $4 : (-25) = -0,16$.

4. Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание и сложение: $-0,8 - (-5) + (-0,16) = -0,8 + 5 - 0,16 = 4,2 - 0,16 = 4,04$.

Ответ: $4,04$.

2)

Вычислим значение выражения $-3,4 \cdot (4 - 4,6) + 12,4 \cdot (-0,8 - 2,2)$ по действиям:

1. Сначала выполним действия в скобках:

$4 - 4,6 = -0,6$.

$-0,8 - 2,2 = -3$.

2. Теперь выполним умножение:

$-3,4 \cdot (-0,6) = 2,04$.

$12,4 \cdot (-3) = -37,2$.

3. Наконец, выполним сложение полученных результатов: $2,04 + (-37,2) = 2,04 - 37,2 = -35,16$.

Ответ: $-35,16$.

3)

Вычислим значение выражения $\left(0,4 - \frac{3}{20}\right) \cdot 6\frac{2}{3} - 1,75 : \left(-7\frac{7}{8}\right)$. Для удобства вычислений переведем все десятичные и смешанные числа в обыкновенные дроби:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

$-7\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 8 + 7}{8} = -\frac{63}{8}$

Выражение примет вид: $\left(\frac{2}{5} - \frac{3}{20}\right) \cdot \frac{20}{3} - \frac{7}{4} : \left(-\frac{63}{8}\right)$.

1. Действие в скобках (приводим к общему знаменателю 20): $\frac{2}{5} - \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3}{20} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

2. Умножение: $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{1 \cdot 20}{4 \cdot 3} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.

3. Деление (заменяем деление на умножение на обратную дробь): $\frac{7}{4} : \left(-\frac{63}{8}\right) = \frac{7}{4} \cdot \left(-\frac{8}{63}\right) = -\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 63} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 9} = -\frac{2}{9}$.

4. Вычитание (приводим к общему знаменателю 9): $\frac{5}{3} - \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{5}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{9} = \frac{15}{9} + \frac{2}{9} = \frac{17}{9} = 1\frac{8}{9}$.

Ответ: $1\frac{8}{9}$.

4)

Вычислим значение выражения $\left(6,3 : \left(-\frac{9}{20}\right) - 2,6 : \left(-\frac{1}{20}\right)\right) \cdot \left(-\frac{4}{19}\right) - 0,6 : (-0,36)$.

1. Сначала выполним действия в больших скобках. Для этого преобразуем дроби в десятичные:

$-\frac{9}{20} = -0,45$; $-\frac{1}{20} = -0,05$.

Первое деление в скобках: $6,3 : (-0,45) = -14$.

Второе деление в скобках: $2,6 : (-0,05) = -52$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках: $-14 - (-52) = -14 + 52 = 38$.

3. Умножим полученный результат на дробь: $38 \cdot \left(-\frac{4}{19}\right) = \frac{38}{1} \cdot \left(-\frac{4}{19}\right) = -\frac{38 \cdot 4}{19} = -2 \cdot 4 = -8$.

4. Выполним последнее деление. Для этого преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,6 : (-0,36) = \frac{6}{10} : \left(-\frac{36}{100}\right) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{100}{36}\right) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{25}{9}\right) = -\frac{3 \cdot 25}{5 \cdot 9} = -\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = -\frac{5}{3}$.

5. Завершим вычисление, выполнив вычитание: $-8 - \left(-\frac{5}{3}\right) = -8 + \frac{5}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{19}{3} = -6\frac{1}{3}$.

Ответ: $-6\frac{1}{3}$.

200. Найдите значение выражения:

1) $14 - 6x$, если $x = -2; 0; \frac{3}{8}$;

2) $a^2 + 3$, если $a = 7; 0,4; -1 \frac{1}{3}$;

3) $(2m - 1)n$, если $m = 0,2, n = -0,6$.

1) Найдем значение выражения $14 - 6x$ при заданных значениях $x$.

Если $x = -2$, то:

$14 - 6x = 14 - 6 \cdot (-2) = 14 - (-12) = 14 + 12 = 26$.

Если $x = 0$, то:

$14 - 6x = 14 - 6 \cdot 0 = 14 - 0 = 14$.

Если $x = \frac{3}{8}$, то:

$14 - 6x = 14 - 6 \cdot \frac{3}{8} = 14 - \frac{18}{8} = 14 - \frac{9}{4} = \frac{14 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4} = \frac{56 - 9}{4} = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4}$.

Ответ: 26; 14; $11\frac{3}{4}$.

2) Найдем значение выражения $a^2 + 3$ при заданных значениях $a$.

Если $a = 7$, то:

$a^2 + 3 = 7^2 + 3 = 49 + 3 = 52$.

Если $a = 0,4$, то:

$a^2 + 3 = (0,4)^2 + 3 = 0,16 + 3 = 3,16$.

Если $a = -1\frac{1}{3}$, то сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.

$a^2 + 3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 3 = \frac{16}{9} + 3 = \frac{16}{9} + \frac{27}{9} = \frac{43}{9} = 4\frac{7}{9}$.

Ответ: 52; 3,16; $4\frac{7}{9}$.

3) Найдем значение выражения $(2m - 1)n$ при $m = 0,2$ и $n = -0,6$.

Подставим значения $m$ и $n$ в выражение:

$(2m - 1)n = (2 \cdot 0,2 - 1) \cdot (-0,6)$.

Выполним действия по порядку:

$1) \ 2 \cdot 0,2 = 0,4$

$2) \ 0,4 - 1 = -0,6$

$3) \ (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36$

Таким образом, $(2 \cdot 0,2 - 1) \cdot (-0,6) = (0,4 - 1) \cdot (-0,6) = -0,6 \cdot (-0,6) = 0,36$.

Ответ: 0,36.

201. Заполните таблицу, вычислив значение выражения $-3x + 2$ для данных значений $x$.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить соответствующее значение выражения $-3x + 2$.

При $x = -4$: значение выражения равно $-3 \cdot (-4) + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14

При $x = -3$: значение выражения равно $-3 \cdot (-3) + 2 = 9 + 2 = 11$.
Ответ: 11

При $x = -2$: значение выражения равно $-3 \cdot (-2) + 2 = 6 + 2 = 8$.
Ответ: 8

При $x = -1$: значение выражения равно $-3 \cdot (-1) + 2 = 3 + 2 = 5$.
Ответ: 5

При $x = 0$: значение выражения равно $-3 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$.
Ответ: 2

При $x = 1$: значение выражения равно $-3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.
Ответ: -1

При $x = 2$: значение выражения равно $-3 \cdot 2 + 2 = -6 + 2 = -4$.
Ответ: -4

При $x = 3$: значение выражения равно $-3 \cdot 3 + 2 = -9 + 2 = -7$.
Ответ: -7

При $x = 4$: значение выражения равно $-3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.
Ответ: -10

Теперь внесем все вычисленные значения в таблицу:

202. Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37, чтобы полученное число делилось нацело на 6?

Обозначим искомую цифру, которую нужно приписать слева и справа, через $x$. Тогда из числа 37 мы получим четырехзначное число вида $\overline{x37x}$. В этом числе $x$ является первой цифрой (разряд тысяч) и последней цифрой (разряд единиц). Так как $x$ — первая цифра числа, она не может быть равной нулю. Таким образом, $x$ может быть любой цифрой от 1 до 9.

Согласно условию, число $\overline{x37x}$ должно делиться нацело на 6. Для этого оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 2 и на 3.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2, если его последняя цифра четная. В нашем случае последняя цифра — это $x$. Значит, $x$ должен быть четной цифрой. С учетом того, что $x \ne 0$, возможные значения для $x$: 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $\overline{x37x}$:$S = x + 3 + 7 + x = 2x + 10$

Теперь проверим, при каком из возможных значений $x$ из набора {2, 4, 6, 8} сумма цифр $S = 2x + 10$ будет делиться на 3.

- При $x = 2$, сумма $S = 2 \cdot 2 + 10 = 14$. 14 не делится на 3.
- При $x = 4$, сумма $S = 2 \cdot 4 + 10 = 18$. 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$). Этот вариант подходит.
- При $x = 6$, сумма $S = 2 \cdot 6 + 10 = 22$. 22 не делится на 3.
- При $x = 8$, сумма $S = 2 \cdot 8 + 10 = 26$. 26 не делится на 3.

Единственная цифра, удовлетворяющая обоим условиям, — это 4. Если приписать цифру 4 слева и справа к числу 37, получится число 4374.

Выполним проверку, разделив полученное число на 6:$4374 \div 6 = 729$.Деление выполняется нацело, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 4.

203. Имеет ли корни уравнение:

1) $x^2 = 0$;

2) $x^2 = -1$;

3) $|x| = x$;

4) $|x| = -x$?

В случае утвердительного ответа укажите их.

1) $x^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным. Чтобы найти его корень, необходимо найти число, квадрат которого равен нулю. Таким числом является только ноль. Можно решить уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей: $x = \sqrt{0}$ $x = 0$ Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: Да, уравнение имеет корень $x = 0$.

2) $x^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-1$). Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: Нет, в множестве действительных чисел уравнение корней не имеет.

3) $|x| = x$
Рассмотрим это уравнение, используя определение модуля (абсолютной величины):
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для всех значений $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все числа $x \ge 0$ являются корнями.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако это значение не входит в промежуток $x < 0$.
Объединяя результаты, получаем, что корнями уравнения являются все неотрицательные числа.
Ответ: Да, уравнение имеет корни. Корнями являются все числа $x$ такие, что $x \ge 0$, или в виде промежутка $[0; +\infty)$.

4) $|x| = -x$
Рассмотрим это уравнение, используя определение модуля:
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = -x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$ и является корнем.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = -x$. Это тождество, верное для всех значений $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все числа $x < 0$ являются корнями.
Объединяя результаты, получаем, что корнями уравнения являются все неположительные числа ($x=0$ и все отрицательные $x$).
Ответ: Да, уравнение имеет корни. Корнями являются все числа $x$ такие, что $x \le 0$, или в виде промежутка $(-\infty; 0]$.