Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

141. Решите уравнение:

1) $|x| + 3x = 12$

2) $|x| - 4x = 9$

3) $2(x-5) - 6|x| = -18$

1)

Решим уравнение $|x| + 3x = 12$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x + 3x = 12$

$4x = 12$

$x = 12 / 4$

$x = 3$

Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $3 \ge 0$, корень $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x + 3x = 12$

$2x = 12$

$x = 12 / 2$

$x = 6$

Проверяем условие $x < 0$. Так как $6$ не меньше $0$, это значение не является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 3

2)

Решим уравнение $|x| - 4x = 9$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x - 4x = 9$

$-3x = 9$

$x = 9 / (-3)$

$x = -3$

Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $-3$ не больше или равно $0$, это значение не является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x - 4x = 9$

$-5x = 9$

$x = -9/5$

$x = -1.8$

Проверяем условие $x < 0$. Так как $-1.8 < 0$, корень $x = -1.8$ является решением.

Уравнение имеет один корень.

Ответ: -1.8

3)

Решим уравнение $2(x-5) - 6|x| = -18$.

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки:

$2x - 10 - 6|x| = -18$

Перенесем $-10$ в правую часть:

$2x - 6|x| = -18 + 10$

$2x - 6|x| = -8$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x - 3|x| = -4$

Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x - 3x = -4$

$-2x = -4$

$x = -4 / (-2)$

$x = 2$

Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $2 \ge 0$, корень $x = 2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x - 3(-x) = -4$

$x + 3x = -4$

$4x = -4$

$x = -4 / 4$

$x = -1$

Проверяем условие $x < 0$. Так как $-1 < 0$, корень $x = -1$ также является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 2

142. Решите уравнение:

1) $2x - |x| = -1;$

2) $7|x| - 3(x + 2) = -10.$

1) $2x - |x| = -1$

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $x$, так как от этого зависит, как раскрывается модуль $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Подставим это в уравнение:

$2x - x = -1$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, в этом случае корней нет.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, модуль $|x|$ равен $-x$. Подставим это в уравнение:

$2x - (-x) = -1$

$2x + x = -1$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Полученное значение $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, это является корнем уравнения.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

2) $7|x| - 3(x + 2) = -10$

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки:

$7|x| - 3x - 6 = -10$

Перенесем свободный член в правую часть:

$7|x| - 3x = -10 + 6$

$7|x| - 3x = -4$

Далее, как и в предыдущем задании, рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Подставим в уравнение:

$7x - 3x = -4$

$4x = -4$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, в этом случае корней нет.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, модуль $|x|$ равен $-x$. Подставим в уравнение:

$7(-x) - 3x = -4$

$-7x - 3x = -4$

$-10x = -4$

$x = \frac{-4}{-10}$

$x = \frac{2}{5}$

Полученное значение $x = \frac{2}{5}$ не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, в этом случае корней также нет.

Так как ни в одном из случаев мы не получили корней, удовлетворяющих соответствующим условиям, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

143. При каких целых значениях a корень уравнения:

1) $x - 2 = a$;

2) $x + 7a = 9$;

3) $2x - a = 4$;

4) $x + 2a = 3$

является целым числом, которое делится нацело на 2?

1) В уравнении $x - 2 = a$ выразим корень $x$:
$x = a + 2$
По условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом, которое делится на 2. Это значит, что $x$ — четное число.
Пусть $x = 2k$, где $k$ — любое целое число.
Подставим это выражение в уравнение для $x$:
$2k = a + 2$
Теперь выразим $a$:
$a = 2k - 2 = 2(k - 1)$
Так как $k$ — целое число, то $k-1$ также является целым числом. Следовательно, $a$ должно быть произведением числа 2 на целое число, то есть $a$ должно быть четным целым числом.
Ответ: $a$ — любое четное целое число.

2) В уравнении $x + 7a = 9$ выразим корень $x$:
$x = 9 - 7a$
По условию, $x$ должен быть четным целым числом.
Рассмотрим правую часть уравнения $9 - 7a$. Чтобы разность была четным числом, уменьшаемое и вычитаемое должны иметь одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).
Число 9 — нечетное. Значит, и $7a$ должно быть нечетным числом.
Произведение двух целых чисел является нечетным только в том случае, если оба сомножителя нечетные.
Так как 7 — нечетное число, то для того, чтобы произведение $7a$ было нечетным, $a$ также должно быть нечетным целым числом.
Ответ: $a$ — любое нечетное целое число.

3) В уравнении $2x - a = 4$ выразим $x$:
$2x = a + 4$
$x = \frac{a + 4}{2}$
По условию, $x$ — четное целое число. Обозначим $x = 2k$, где $k$ — целое число.
Подставим это в выражение для $x$:
$2k = \frac{a + 4}{2}$
Умножим обе части на 2:
$4k = a + 4$
Выразим $a$:
$a = 4k - 4 = 4(k - 1)$
Поскольку $k$ — целое число, то и $k-1$ — целое число. Это означает, что $a$ должно быть целым числом, кратным 4.
Ответ: $a$ — любое целое число, кратное 4.

4) В уравнении $x + 2a = 3$ выразим корень $x$:
$x = 3 - 2a$
По условию, $x$ должен быть четным целым числом.
Рассмотрим правую часть выражения: $3 - 2a$.
Для любого целого значения $a$, произведение $2a$ является четным числом.
Число 3 является нечетным.
Разность нечетного и четного чисел всегда является нечетным числом.
Следовательно, $x$ всегда будет нечетным числом при любом целом $a$. Это противоречит условию, что $x$ — четное число.
Таким образом, не существует целых значений $a$, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: таких целых значений $a$ не существует.

144. При каких целых значениях $b$ корень уравнения:

1) $x + 3 = b;$

2) $x - 2 = b;$

3) $x - 3b = 8$

является целым числом, которое делится нацело на 3?

1) В уравнении $x + 3 = b$ выразим корень $x$:
$x = b - 3$
По условию задачи, $b$ является целым числом. Также корень $x$ должен быть целым числом, которое делится нацело на 3. Если $b$ — целое, то $x = b - 3$ также будет целым.
Условие делимости $x$ на 3 означает, что $x = 3k$ для некоторого целого числа $k$.
Подставим это в наше уравнение:
$3k = b - 3$
Выразим $b$:
$b = 3k + 3 = 3(k+1)$
Так как $k$ — целое число, то $k+1$ тоже целое число. Это означает, что $b$ должно быть числом, кратным 3.
Ответ: $b$ — любое целое число, которое делится на 3.

2) В уравнении $x - 2 = b$ выразим корень $x$:
$x = b + 2$
По условию, $b$ — целое число, а корень $x$ — целое число, делящееся на 3. Запишем условие делимости $x$ на 3 как $x = 3k$ для некоторого целого $k$.
Подставим это в выражение для $x$:
$3k = b + 2$
Выразим $b$:
$b = 3k - 2$
Это выражение означает, что число $b$ при делении на 3 должно давать остаток $-2$. В арифметике остатков это эквивалентно остатку 1, так как $3k - 2 = 3(k-1) + 1$.
Таким образом, $b$ должно быть целым числом, которое при делении на 3 дает в остатке 1.
Ответ: $b$ — любое целое число, которое при делении на 3 дает в остатке 1.

3) В уравнении $x - 3b = 8$ выразим корень $x$:
$x = 8 + 3b$
По условию, $b$ — целое число, а корень $x$ — целое число, делящееся на 3.
Рассмотрим выражение для $x$. Слагаемое $3b$ делится на 3 без остатка для любого целого $b$. Число 8 при делении на 3 дает в остатке 2 ($8 = 2 \cdot 3 + 2$).
Таким образом, вся сумма $x = 8 + 3b$ при делении на 3 всегда будет давать в остатке 2.
Математически, используя сравнения по модулю 3:
$x \equiv (8 + 3b) \pmod{3}$
$x \equiv (2 + 0) \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{3}$
Поскольку остаток от деления $x$ на 3 всегда равен 2, $x$ никогда не может делиться на 3 нацело.
Ответ: таких целых значений $b$ не существует.

145. При каких значениях $b$ корень уравнения меньше, чем $b$:

1) $3x = b$;

2) $x = 2b$?

1) Чтобы найти значения $b$, при которых корень уравнения $3x = b$ меньше, чем $b$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти корень уравнения, выразив $x$ через $b$. Для этого разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{b}{3}$
2. Составить неравенство согласно условию задачи: корень $x$ должен быть меньше $b$.
$x < b$
3. Подставить найденное выражение для $x$ в неравенство и решить его относительно $b$:
$\frac{b}{3} < b$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\frac{b}{3} - b < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{b - 3b}{3} < 0$
$\frac{-2b}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на $-3/2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$b > 0$
Ответ: $b > 0$.

2) Чтобы найти значения $b$, при которых корень уравнения $x = 2b$ меньше, чем $b$, выполним аналогичные действия:
1. Корень уравнения уже выражен через $b$:
$x = 2b$
2. Составим неравенство по условию, что корень $x$ меньше $b$:
$x < b$
3. Подставим выражение для $x$ в неравенство и решим его:
$2b < b$
Перенесем $b$ в левую часть неравенства:
$2b - b < 0$
$b < 0$
Ответ: $b < 0$.

146. При каких значениях d корень уравнения больше, чем d:

1) $4x = d$;

2) $\frac{1}{5}x = d?$

1) Для начала найдем корень (решение) уравнения $4x=d$ относительно переменной $x$. Для этого разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{d}{4}$

Теперь, согласно условию задачи, корень уравнения ($x$) должен быть больше, чем $d$. Запишем это в виде неравенства:

$x > d$

Подставим в это неравенство найденное выражение для $x$:

$\frac{d}{4} > d$

Решим это неравенство относительно $d$. Перенесем $d$ в левую часть:

$\frac{d}{4} - d > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{d - 4d}{4} > 0$

$\frac{-3d}{4} > 0$

Чтобы левая часть была больше нуля, числитель $-3d$ должен быть больше нуля, так как знаменатель 4 — положительное число.

$-3d > 0$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$d < 0$

Ответ: при $d < 0$.

2) Аналогично, сначала найдем корень уравнения $\frac{1}{5}x=d$ относительно $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 5:

$x = 5d$

Далее составим неравенство, исходя из условия, что корень уравнения ($x$) больше $d$:

$x > d$

Подставим в него выражение для $x$:

$5d > d$

Решим это неравенство. Перенесем $d$ в левую часть:

$5d - d > 0$

$4d > 0$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

$d > 0$

Ответ: при $d > 0$.

147. Один работник может выполнить задание за 45 ч, а другому для этого надо в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Для решения задачи давайте разделим ее на несколько шагов. Примем всю работу за 1 (единицу).

1. Найдем время, необходимое второму работнику.

Первый работник выполняет задание за $T_1 = 45$ часов. Второму работнику требуется в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше времени. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти время второго работника, разделим время первого на $\frac{3}{2}$:

$T_2 = 45 \div \frac{3}{2} = 45 \times \frac{2}{3} = \frac{45 \times 2}{3} = 15 \times 2 = 30$ часов.

2. Найдем производительность каждого работника.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (1 час).

Производительность первого работника: $P_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{45}$ (часть задания в час).

Производительность второго работника: $P_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{30}$ (часть задания в час).

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

Чтобы найти общее время, сначала найдем общую производительность, сложив производительности обоих работников:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{45} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 45 и 30 — это 90.

$P_{общ} = \frac{1 \times 2}{90} + \frac{1 \times 3}{90} = \frac{2}{90} + \frac{3}{90} = \frac{5}{90}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ (часть задания в час).

Теперь найдем время, за которое они выполнят всю работу (1) вместе, разделив работу на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{1}{18} = 1 \times 18 = 18$ часов.

Ответ: работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть работы выполнил каждый, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).

Часть работы, выполненная первым работником:

$W_1 = P_1 \times T_{общ} = \frac{1}{45} \times 18 = \frac{18}{45}$

Сократим дробь (разделим числитель и знаменатель на 9):

$W_1 = \frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$

Часть работы, выполненная вторым работником:

$W_2 = P_2 \times T_{общ} = \frac{1}{30} \times 18 = \frac{18}{30}$

Сократим дробь (разделим числитель и знаменатель на 6):

$W_2 = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$

Ответ: первый работник выполнит $\frac{2}{5}$ задания, а второй — $\frac{3}{5}$ задания.

148. (Из книги аль-Хорезми «Об индийском счёте») Если из числа вычесть его треть и его четверть, то получится 8. Найдите число.

Обозначим искомое число переменной $x$.

Согласно условию задачи, если из этого числа вычесть его треть ($\frac{x}{3}$) и его четверть ($\frac{x}{4}$), то получится 8.

Составим и решим уравнение, соответствующее этому условию: $x - \frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 8$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 4 — это 12. $\frac{12x}{12} - \frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} = 8$

Выполним вычитание дробей в левой части уравнения: $\frac{12x - 4x - 3x}{12} = 8$
$\frac{5x}{12} = 8$

Теперь найдем значение $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 12: $5x = 8 \cdot 12$
$5x = 96$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$: $x = \frac{96}{5}$
$x = 19,2$

Проверка:
Проверим, удовлетворяет ли найденное число $19,2$ условию задачи.
Треть числа: $19,2 \div 3 = 6,4$.
Четверть числа: $19,2 \div 4 = 4,8$.
Вычитаем из числа его треть и четверть: $19,2 - 6,4 - 4,8 = 12,8 - 4,8 = 8$.
Полученный результат (8) совпадает с условием задачи, значит, число найдено верно.

Ответ: 19,2.

149. Известно, что $n$ — натуральное число. Каким числом, чётным или нечётным, является значение выражения:

1) $4n$;

2) $2n - 1$;

3) $n(n + 1)$?

1) Рассмотрим выражение $4n$. Поскольку $n$ — натуральное число, мы можем представить это выражение как $2 \cdot (2n)$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n$ также является натуральным числом. Обозначим $k = 2n$. Тогда выражение принимает вид $2k$. Любое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число, является чётным по определению. Следовательно, значение выражения $4n$ всегда является чётным числом для любого натурального $n$.
Ответ: чётное.

2) Рассмотрим выражение $2n - 1$. Для любого натурального числа $n$, произведение $2n$ является чётным числом (как произведение числа на 2). Выражение $2n - 1$ представляет собой число, которое на единицу меньше чётного числа. Если от чётного числа отнять единицу, результат всегда будет нечётным числом. Формально, любое чётное число можно записать в виде $2k$, тогда $2n - 1$ — это число вида $2k - 1$. Это выражение можно переписать как $2k - 2 + 1 = 2(k-1) + 1$. Обозначив $m = k-1$ (где $m$ — целое число), мы получаем форму $2m+1$, которая является общей формой записи нечётного числа. Таким образом, значение выражения $2n - 1$ всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётное.

3) Рассмотрим выражение $n(n + 1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Среди двух любых последовательных натуральных чисел одно всегда является чётным, а другое — нечётным. Рассмотрим оба возможных случая.
Если $n$ — чётное число, то произведение $n(n+1)$ содержит чётный множитель $n$, и поэтому само произведение является чётным.
Если $n$ — нечётное число, то следующий за ним член $n+1$ будет чётным. В этом случае произведение $n(n+1)$ также содержит чётный множитель ($n+1$), и поэтому произведение снова является чётным.
Таким образом, поскольку в произведении $n(n+1)$ всегда есть хотя бы один чётный множитель, результат всегда будет чётным числом.
Ответ: чётное.

150. Верно ли, что при любом значении a:

1) $2a > a$;

2) $2|a| > |a|$?

1) $2a > a$
Чтобы проверить, верно ли это утверждение для любого значения $a$, решим данное неравенство. Для этого перенесем все члены в одну сторону:
$2a - a > 0$
$a > 0$
Как видим, неравенство $2a > a$ справедливо только для положительных значений $a$. Утверждение, что оно верно для любого значения $a$, является ложным, так как оно не выполняется для $a \le 0$.
Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.
Например, если $a = -3$:
$2 \cdot (-3) > -3$
$-6 > -3$
Это неверно.
Также, если $a = 0$:
$2 \cdot 0 > 0$
$0 > 0$
Это также неверно.
Ответ: нет.

2) $2|a| > |a|$
Рассмотрим это неравенство. По аналогии с предыдущим пунктом, перенесем все члены в левую сторону:
$2|a| - |a| > 0$
$|a| > 0$
По определению модуля, $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Неравенство $|a| > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме одного — когда $a=0$. В этом случае $|a|=0$.
Поскольку мы нашли значение $a=0$, при котором неравенство не выполняется, утверждение о том, что оно верно для любого $a$, является ложным.
Проверим контрпример при $a=0$:
$2|0| > |0|$
$2 \cdot 0 > 0$
$0 > 0$
Это неверно.
Ответ: нет.

151. Решая уравнение 109(2), Вася Ленивцев записал следующее:

$18 - 3x - 4 + 2x = 10;$

$-x = 10 + 18 - 4;$

$-x = 24;$

$x = -24.$

Найдите ошибки в его решении.

Анализ ошибок в решении

Вася Ленивцев решал уравнение $18 - 3x - 4 + 2x = 10$.При переходе к следующему шагу он записал: $-x = 10 + 18 - 4$.В этом действии была допущена ключевая ошибка. Согласно правилу переноса слагаемых в уравнениях, при перемещении члена из одной части уравнения в другую его знак должен меняться на противоположный.

• Вася перенес число $18$ из левой части в правую, но не поменял его знак на "минус". Правильно было бы записать $-18$.
• Аналогично, при переносе числа $-4$ его знак должен был измениться на "плюс", то есть на $+4$.

Таким образом, правильное выражение после переноса слагаемых должно выглядеть так: $-x = 10 - 18 + 4$.Из-за этой первоначальной ошибки все последующие вычисления ($-x = 24$) и конечный результат ($x = -24$) оказались неверными.

Ответ: Основная ошибка заключается в том, что при переносе слагаемых $18$ и $-4$ из левой части уравнения в правую их знаки не были изменены на противоположные.

Правильное решение уравнения

Чтобы правильно решить данное уравнение, необходимо выполнить следующие шаги.
Начнем с исходного уравнения:
$18 - 3x - 4 + 2x = 10$

Сначала сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(18 - 4) + (-3x + 2x) = 10$
$14 - x = 10$

Теперь перенесем свободный член $14$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$-x = 10 - 14$

Вычислим значение в правой части:
$-x = -4$

Наконец, умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти значение $x$:
$x = 4$

Ответ: $x = 4$.