Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое уравнение называют линейным уравнением с одной переменной?

1. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Число $a$ называется коэффициентом при переменной, а число $b$ — свободным членом. Важно отметить, что любое уравнение, которое с помощью равносильных преобразований (перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака, умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число) можно свести к виду $ax = b$, также является линейным.

Например, уравнение $5x - 11 = 2x + 4$ является линейным, так как его можно преобразовать:

$5x - 2x = 4 + 11$

$3x = 15$

Это уравнение имеет стандартный вид $ax = b$, где $a=3$ и $b=15$.

В зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$ линейное уравнение может иметь:

1. Один корень, если $a \neq 0$. Корень находится по формуле $x = \frac{b}{a}$. В примере выше $x = \frac{15}{3} = 5$.

2. Ни одного корня, если $a = 0$ и $b \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что невозможно, так как $0$ не равно никакому ненулевому числу $b$. Например, уравнение $0x=7$ не имеет корней.

3. Бесконечно много корней, если $a = 0$ и $b = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. В таком случае говорят, что корнем уравнения является любое число.

Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

2. Сколько корней имеет линейное уравнение $ax = b$, если:

1) $a \neq 0$;

2) $a = 0, b \neq 0$;

3) $a = b = 0$?

Рассмотрим линейное уравнение $ax = b$ и проанализируем количество его корней в зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$.

1) $a \neq 0$;

Если коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$), то мы можем разделить обе части уравнения на $a$. Эта операция является корректной, так как деление на ноль запрещено, а $a$ не ноль.

$ax = b$
$x = \frac{b}{a}$

При любых значениях $b$ (включая $b=0$) и любом ненулевом $a$, это выражение дает единственное, уникальное значение для $x$. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: один корень.

2) $a = 0, b \neq 0$;

Подставим данные значения в исходное уравнение $ax = b$.

$0 \cdot x = b$

Левая часть уравнения, произведение $0 \cdot x$, всегда равна нулю, независимо от того, какое значение принимает $x$. Правая часть, по условию, не равна нулю ($b \neq 0$).

В результате мы получаем неверное равенство:

$0 = b$, где $b \neq 0$.

Поскольку это равенство ложно, не существует такого значения $x$, которое могло бы его удовлетворить. Следовательно, у уравнения нет корней.

Ответ: нет корней.

3) $a = b = 0$?

Подставим значения $a = 0$ и $b = 0$ в уравнение $ax = b$.

$0 \cdot x = 0$

Как и в предыдущем случае, левая часть $0 \cdot x$ всегда равна нулю. Правая часть также равна нулю. Мы получаем равенство:

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно при абсолютно любом значении переменной $x$. Какое бы число мы ни подставили вместо $x$, мы всегда получим верное равенство $0 = 0$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.

Ответ: бесконечно много корней.

100. Является ли число 4 корнем уравнения:

1) $4x = 12$;

2) $\frac{1}{4}x = 1$;

3) $0x = 0$;

4) $0x = 4$?

Для того чтобы определить, является ли число 4 корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в каждое уравнение и проверить, получится ли верное числовое равенство.

Подставим $x = 4$ в уравнение $4x = 12$:
$4 \cdot 4 = 12$
$16 = 12$
Полученное равенство является неверным, так как 16 не равно 12. Следовательно, число 4 не является корнем данного уравнения.
Ответ: нет.

Подставим $x = 4$ в уравнение $\frac{1}{4}x = 1$:
$\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$
$1 = 1$
Полученное равенство является верным. Следовательно, число 4 является корнем данного уравнения.
Ответ: да.

Подставим $x = 4$ в уравнение $0x = 0$:
$0 \cdot 4 = 0$
$0 = 0$
Полученное равенство является верным. Любое число при умножении на 0 дает 0, поэтому корнем этого уравнения является любое число, в том числе и 4.
Ответ: да.

Подставим $x = 4$ в уравнение $0x = 4$:
$0 \cdot 4 = 4$
$0 = 4$
Полученное равенство является неверным, так как 0 не равно 4. Умножение любого числа на 0 дает в результате 0, поэтому данное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет.

101. Сколько корней имеет уравнение:

1) $3x=-10;$

2) $0x=6;$

3) $0x=0;$

4) $5x=0?$

1) Это линейное уравнение вида $ax = b$, где $a = 3$ и $b = -10$. Поскольку коэффициент при $x$ не равен нулю ($a \neq 0$), уравнение имеет единственный корень. Чтобы найти его, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-10}{3}$
$x = -3\frac{1}{3}$
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: один корень.

2) В уравнении $0x = 6$ левая часть при любом значении $x$ равна нулю, так как произведение любого числа на ноль есть ноль. Правая часть равна 6. Мы получаем неверное равенство $0 = 6$. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы данному уравнению.
Ответ: нет корней.

3) В уравнении $0x = 0$ левая часть при любом значении $x$ равна нулю. Правая часть также равна нулю. Мы получаем верное тождество $0 = 0$, которое справедливо для абсолютно любого значения $x$. Следовательно, корнем этого уравнения является любое число.
Ответ: бесконечно много корней.

4) Это линейное уравнение вида $ax = b$, где $a = 5$ и $b = 0$. Так как коэффициент при $x$ не равен нулю ($a \neq 0$), уравнение имеет единственный корень. Чтобы найти его, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{0}{5}$
$x = 0$
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: один корень.

102. Решите уравнение:

1) $\frac{5}{9}x=1$;

2) $-3x=\frac{6}{7}$;

3) $-1,4x=2,1$;

4) $-\frac{1}{6}x=6$.

1) $\frac{5}{9}x = 1$

Это линейное уравнение вида $ax = b$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($1$) разделить на известный множитель ($\frac{5}{9}$).

$x = 1 : \frac{5}{9}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. Обратная дробь для $\frac{5}{9}$ это $\frac{9}{5}$.

$x = 1 \cdot \frac{9}{5}$

$x = \frac{9}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{4}{5}$.

2) $-3x = \frac{6}{7}$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($\frac{6}{7}$) на известный множитель ($-3$).

$x = \frac{6}{7} : (-3)$

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить прежним. Знак результата будет отрицательным, так как мы делим положительное число на отрицательное.

$x = -\frac{6}{7 \cdot 3}$

$x = -\frac{6}{21}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 3.

$x = -\frac{6:3}{21:3} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}$.

3) $-1,4x = 2,1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-1,4$.

$x = 2,1 : (-1,4)$

Результат деления будет отрицательным. Запишем деление в виде дроби:

$x = -\frac{2,1}{1,4}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 10 (это не изменит значения дроби).

$x = -\frac{2,1 \cdot 10}{1,4 \cdot 10} = -\frac{21}{14}$

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 7.

$x = -\frac{21:7}{14:7} = -\frac{3}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

4) $-\frac{1}{6}x = 6$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($6$) разделить на известный множитель ($-\frac{1}{6}$).

$x = 6 : (-\frac{1}{6})$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на обратную дробь. Обратная дробь для $-\frac{1}{6}$ это $-\frac{6}{1}$ или просто $-6$.

$x = 6 \cdot (-6)$

$x = -36$

Ответ: $-36$.

103. Решите уравнение:

1) $-6x = \frac{1}{3}$;

2) $0,1x = -2,75$;

3) $\frac{1}{3}x = 12$;

4) $\frac{5}{7}x = -\frac{10}{49}$.

1) Решим уравнение $-6x = \frac{1}{3}$.
Это линейное уравнение, в котором $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти $x$, нужно произведение ($\frac{1}{3}$) разделить на известный множитель ($-6$).
$x = \frac{1}{3} : (-6)$
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число.
$x = -\frac{1}{3 \cdot 6}$
$x = -\frac{1}{18}$
Ответ: $x = -\frac{1}{18}$.

2) Решим уравнение $0,1x = -2,75$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($-2,75$) на известный множитель ($0,1$).
$x = -2,75 : 0,1$
Деление на десятичную дробь $0,1$ эквивалентно умножению на $10$. Для этого достаточно перенести запятую в делимом на один знак вправо.
$x = -27,5$
Ответ: $x = -27,5$.

3) Решим уравнение $\frac{1}{3}x = 12$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($12$) на известный множитель ($\frac{1}{3}$).
$x = 12 : \frac{1}{3}$
Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. Обратной для $\frac{1}{3}$ является дробь $\frac{3}{1}$ или просто $3$.
$x = 12 \cdot 3$
$x = 36$
Ответ: $x = 36$.

4) Решим уравнение $\frac{5}{7}x = -\frac{10}{49}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($-\frac{10}{49}$) на известный множитель ($\frac{5}{7}$).
$x = -\frac{10}{49} : \frac{5}{7}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратной для $\frac{5}{7}$ является дробь $\frac{7}{5}$.
$x = -\frac{10}{49} \cdot \frac{7}{5}$
Перед умножением выполним сокращение: числитель первой дроби ($10$) и знаменатель второй ($5$) делятся на $5$; знаменатель первой дроби ($49$) и числитель второй ($7$) делятся на $7$.
$x = -\frac{\cancel{10}^2}{\cancel{49}_7} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{5}_1}$
$x = -\frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = -\frac{2}{7}$
Ответ: $x = -\frac{2}{7}$.

104. Равносильны ли уравнения:

1) $7x = 28$ и $x + 4 = 11;$

2) $\frac{1}{6}x = 2$ и $-0,1x = -1,2;$

3) $x - 8 = 0$ и $x(x - 8) = 0;$

4) $x + 4 = 4 + x$ и $|x| = x;$

5) $\frac{7}{x} = 0$ и $2x = 0;$

6) $x^2 = -100$ и $\frac{10}{x} = 0?$

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Чтобы проверить равносильность, найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $7x = 28$.
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{28}{7}$
$x = 4$.
Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.

Решим второе уравнение: $x + 4 = 11$.
Вычтем 4 из обеих частей:
$x = 11 - 4$
$x = 7$.
Множество решений второго уравнения: $\{7\}$.

Множества решений не совпадают ( $\{4\} \neq \{7\}$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

2) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{1}{6}x = 2$.
Умножим обе части на 6:
$x = 2 \cdot 6$
$x = 12$.
Множество решений первого уравнения: $\{12\}$.

Решим второе уравнение: $-0,1x = -1,2$.
Разделим обе части на -0,1:
$x = \frac{-1,2}{-0,1}$
$x = 12$.
Множество решений второго уравнения: $\{12\}$.

Множества решений совпадают ( $\{12\} = \{12\}$ ), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

3) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x - 8 = 0$.
$x = 8$.
Множество решений первого уравнения: $\{8\}$.

Решим второе уравнение: $x(x - 8) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 8 = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Множество решений второго уравнения: $\{0, 8\}$.

Множества решений не совпадают ( $\{8\} \neq \{0, 8\}$ ), так как второе уравнение имеет дополнительный корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

4) Найдем множества решений каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x + 4 = 4 + x$.
Вычтем $x$ из обеих частей: $4 = 4$.
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что любое число является решением этого уравнения.
Множество решений первого уравнения — все действительные числа: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе уравнение: $|x| = x$.
По определению модуля числа, это равенство верно только для неотрицательных чисел.
Множество решений второго уравнения: $x \in [0; +\infty)$.

Множества решений не совпадают ( $(-\infty; +\infty) \neq [0; +\infty)$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

5) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $\frac{7}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Числитель дроби равен 7, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $2x = 0$.
$x = \frac{0}{2}$
$x = 0$.
Множество решений второго уравнения: $\{0\}$.

Множества решений не совпадают ( $\emptyset \neq \{0\}$ ), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.

6) Найдем корни каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $x^2 = -100$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$).
Следовательно, это уравнение не имеет действительных решений.
Множество решений первого уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $\frac{10}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель дроби равен 10, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение также не имеет решений.
Множество решений второго уравнения — пустое множество: $\emptyset$.

Оба уравнения не имеют решений. Так как множества их решений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.

105. Какие из данных уравнений являются линейными:

1) $3x = 6;$

2) $x = 4;$

3) $x^2 = 4;$

4) $|x| = 2;$

5) $\frac{4}{x} = 2;$

6) $\frac{1}{4}x = 2;$

7) $x = 0;$

8) $0x = 8?$

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. В таком уравнении переменная $x$ должна быть в первой степени и не должна находиться в знаменателе, под знаком корня, модуля или другой нелинейной функции. Проанализируем каждое из данных уравнений.

1) $3x = 6$
Это уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax = b$, где $a=3$ и $b=6$. Переменная $x$ находится в первой степени.

Ответ: является линейным.

2) $x = 4$
Это уравнение можно представить в виде $1 \cdot x = 4$. Оно соответствует стандартному виду $ax=b$, где $a=1$ и $b=4$.

Ответ: является линейным.

3) $x^2 = 4$
В этом уравнении переменная $x$ возведена во вторую степень. Уравнения, где наибольшая степень переменной равна 2, называются квадратными, а не линейными.

Ответ: не является линейным.

4) $|x| = 2$
Переменная $x$ находится под знаком модуля (абсолютной величины). Это не является линейной функцией, поэтому и уравнение не является линейным.

Ответ: не является линейным.

5) $\frac{4}{x} = 2$
В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Такие уравнения, содержащие деление на переменную, называются дробно-рациональными и не относятся к линейным.

Ответ: не является линейным.

6) $\frac{1}{4}x = 2$
Это уравнение соответствует виду $ax = b$, где коэффициент $a = \frac{1}{4}$, а $b=2$. Коэффициент при $x$ является числом, а сам $x$ находится в первой степени.

Ответ: является линейным.

7) $x = 0$
Это уравнение можно представить как $1 \cdot x = 0$. Оно соответствует стандартному виду $ax=b$, где $a=1$ и $b=0$.

Ответ: является линейным.

8) $0x = 8$
Это уравнение также соответствует стандартному виду $ax = b$, где $a=0$ и $b=8$. Несмотря на то, что оно не имеет решений (поскольку $0 \neq 8$), по своей форме оно является линейным.

Ответ: является линейным.

106. Решите уравнение:

1) $18 - 16x = -30x - 10;$

2) $-7x + 2 = 3x - 1;$

3) $10 - 2x = 12 + x;$

4) $6x - 19 = -2x - 15;$

5) $0,2x + 3,4 = 0,6x - 2,6;$

6) $\frac{5}{6}x + 12 = \frac{1}{4}x - 2.$

1) $18 - 16x = -30x - 10$
Чтобы решить уравнение, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$-16x + 30x = -10 - 18$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$14x = -28$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 14:
$x = \frac{-28}{14}$
$x = -2$
Ответ: -2.

2) $-7x + 2 = 3x - 1$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-7x - 3x = -1 - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$-10x = -3$
Разделим обе части уравнения на -10:
$x = \frac{-3}{-10}$
$x = 0,3$
Ответ: 0,3.

3) $10 - 2x = 12 + x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-2x - x = 12 - 10$
Приведем подобные слагаемые:
$-3x = 2$
Разделим обе части уравнения на -3:
$x = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4) $6x - 19 = -2x - 15$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$6x + 2x = -15 + 19$
Приведем подобные слагаемые:
$8x = 4$
Разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$x = 0,5$
Ответ: 0,5.

5) $0,2x + 3,4 = 0,6x - 2,6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$0,2x - 0,6x = -2,6 - 3,4$
Приведем подобные слагаемые:
$-0,4x = -6$
Разделим обе части уравнения на -0,4:
$x = \frac{-6}{-0,4} = \frac{60}{4}$
$x = 15$
Ответ: 15.

6) $\frac{5}{6}x + 12 = \frac{1}{4}x - 2$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 4). НОК(6, 4) = 12.
$12 \cdot (\frac{5}{6}x + 12) = 12 \cdot (\frac{1}{4}x - 2)$
$12 \cdot \frac{5}{6}x + 12 \cdot 12 = 12 \cdot \frac{1}{4}x - 12 \cdot 2$
$10x + 144 = 3x - 24$
Теперь решаем полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$10x - 3x = -24 - 144$
Приведем подобные слагаемые:
$7x = -168$
Разделим обе части уравнения на 7:
$x = \frac{-168}{7}$
$x = -24$
Ответ: -24.